黑龙江省佳木斯市桦南县联考2023-2024学年八年级（上）期末数学试题（含解析）

这是一份黑龙江省佳木斯市桦南县联考2023-2024学年八年级（上）期末数学试题（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学试卷
一、选择题（每题3分，满分30分）
1．下面的四个实验器材中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，，点在边上，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．已知等腰三角形两边的长x、y满足，则等腰三角形周长为（ ）
A．10B．11C．12D．10或11
5．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
6．如图，是的中线，分别在边上（不与端点重合），且，则（ ）．
A．B．
C．D．与的长短关系不确定
7．已知，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
8．若的结果中不含项，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．若关于x的分式方程有增根，则a的值为（ ）
A．−3B．3C．2D．
10．如图，在和中，，，，，连接，交于点F，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每题3分，满分30分）
11．纳米是一种长度单位，1纳米米，冠状病毒的直径约为120纳米，将120纳米用科学记数法表示为 米．
12．若分式的值为，则的值为 .
13．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝ °．

14．在平面直角坐标系中，已知点和点关于x轴对称，则的值是 ．
15．如图，在中，，点O为的三条角平分线的交点，，，，垂足分别是D、E、F，且，，，则点O到的距离为 ．
16．若是一个完全平方式，则的值是 ．
17．已知，则 ．
18．如图，点在等边三角形的边上，，射线，垂足为，是射线上一动点，是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ．
19．在直角三角形中，，，直线过点，，，垂足分别为，，，，则的长是 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边三角形……按此规律继续作下去，则点的纵坐标为 ．

三、解答题（满分60分）
21．（1）计算：；
（2）因式分解：．
22．解方程：
(1)；
(2)．
23．先化简：，然后在-1，0，1，2四个数中给a选择一个你喜欢的数代入求值．
24．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)在图中作出关于x轴的对称图形 ；
(2)请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标： ；
(3)请直接写出的面积： ．
25．将两数和（差）的平方公式：，通过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若，，求的值．
解：，，
．
请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题：
(1)若，，求的值；
(2)将边长为x的正方形和边长为y的正方形按如图所示放置，其中点D在边上，连接，，若，，求阴影部分的面积．
26．在等边的两边所在直线上分别有两点为外一点，且，，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系．
(1)如图，当点在边上，且时，之间的数量关系是___________．
(2)如图，点在边上，且当时，猜想(1)问的结论还成立吗？若成立请写出结论并证明；若不成立请说明理由．
(3)如图，当分别在边的延长线上时，探索之间的数量关系如何？并给出证明．
27．某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等．篮球售价为每个150元，足球售价为每个110元．
(1)篮球和足球的单价各是多少元？
(2)商场售出足球的数量比篮球数量的三分之一还多10个，且获利超过1300元，问篮球最少卖出多少个？
(3)商场计划用不超过10350元购进两种球共100个，其中篮球不少于43个，问商场有几种进货方案？哪种方案商场获利最大？
28．如图，在平面直角坐标系中，已知，，．其中，，满足关系式，．
(1)________，________，________；
(2)如果在第四象限内有一点，使得的面积是面积的一半，求点的坐标；
(3)在平面内是否存在点，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案与解析
1．C
【分析】根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，进行判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查轴对称图形的识别．熟练掌握轴对称图形的定义，是解题的关键．
2．A
【分析】根据幂的乘方法则、合并同类项法则、积的乘方法则、同底数幂的除法法则，逐项计算即可得出答案．
【详解】解：A、，该选项运算正确，符合题意；
B、，该选项运算错误，不合题意；
C、，该选项运算错误，不合题意；
D、，该选项运算错误，不合题意；
故选A．
【点睛】本题考查幂的乘方、合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握各项运算法则是解题的关键．
3．B
【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是由，得到，．由全等三角形的性质推出，由等腰三角形的性质得到，求出，，即可得到．
【详解】解：，
，
∵，
∴，
，
，
∴．
故选： B ．
4．D
【分析】先利用绝对值和平方的非负性可得求出的值，然后分两种情况分别进行计算即可解答．
【详解】∵，
∴，，
∴或（舍去），，
分两种情况：
当等腰三角形的腰长为4，底边长为3时，
∴等腰三角形的周长；
当等腰三角形的腰长为3，底边长为4时，
∴等腰三角形的周长；
综上所述：等腰三角形的周长是10或11，
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值和平方的非负性，等腰三角形的性质，三角形三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
5．D
【分析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据多边形的内角和公式与多边形的外角和定理列式进行计算即可解答．
【详解】设这个多边形是n边形，根据题意，得
，
解得：，
∴这个多边形是六边形．
故选：D
6．A
【分析】延长至点G，使，连接，证明，可得，进而根据三角形三边关系即可得．
【详解】如图，延长至点G，使，连接，
是边上的中线，
,
又，
是的垂直平分线，
，
又
(SAS)，
，
．
故选A．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的性质与判定，三角形三边关系，证明是解题的关键．
7．A
【分析】利用幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则即可解答．
【详解】解：∵，，
∴



，
故选：．
【点睛】本题考查了幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，熟练对应法则是解题的关键．
8．B
【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，由题可得含的平方的项的系数为，求出即可．
【详解】解：

，
的结果中不含项，
，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，能熟练地运用法则进行化简是解此题的关键．
9．A
【分析】去分母化分式方程为整式方程，将增根x=2代入整式方程即可求得．
【详解】解：，
去分母，得：．
∵分式方程有增根，
∴增根为x=2，
将x=2代入整式方程，得：，
得：．
解得
故选A．
【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，熟练掌握增根的定义是解题的关键．
10．C
【分析】本题主要考查全等三角形的判定及其性质、三角形内角和定理和角平分线的判定，利用题干已知，得到，证明，则有①成立；由，得，进一步有，则有②成立；作，，利用面积相等有，根据角平分线定义得平分，④成立；结合平分和得到，利用三角形内角和定理得，则③不成立．
【详解】解：①∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，①正确，符合题意；
②∵
∴，
∵
，
∴，②正确，符合题意；
③过点A作交于点P，交于点Q，如图，

∵
∴，，
∴，
∴点A在的平分线上，
则平分，④正确，符合题意；
④∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴
则，
故不平分，③错误，不符合题意；
综上所述，①②④正确．
故选：C．
11．
【分析】本题主要考查科学记数法的运用，负指数的运用，同底数幂的运算，科学记数法的表示为，确定的值的方法是：原数变为时，小数点移动的位数与的绝对值相同．当小数点向右移动时，为负数；当小数点向左移动时，为正数；最后根据同底数幂的运算法则即可求解．
【详解】解：纳米=，
故答案为：．
12．
【分析】分式的值为零，分子等于零且分母不等于零．
【详解】依题意得：x＋2＝0且x−3≠0，
解得x＝−2．
故答案是：．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
13．30
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．
【详解】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，
故答案为：30．
【点睛】本题考查了角平分线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
14．3
【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得m、n的值，根据有理数的加法，可得答案．
【详解】由点和点关于x轴对称，得.
则.
故答案为：3 .
【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，得出m、n的值是解题关键．
15．2
【分析】根据角平分线的性质得出，再根据全等三角形的判定与性质可得，，根据正方形的判定与性质可得，设，，，，再根据，即，求解即可．
【详解】解：如图，连接，，
∵点O为的三条角平分线的交点，，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可证，，
∵，，
∴四边形是正方形，
∴，
设，，，，
∴，即，
解得，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查角平分线的性质、全等直角三角形的判定与性质、正方形的判定与性质，设未知数，并用未知数表示各边是解题的关键．
16．
【分析】根据完全平方公式的特征即可解答．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的特征，熟练掌握完全平方公式的特征“两数的平方和加上（减去）这两个数积的2倍，即为两数和（差）的平方”是解本题的关键．
17．3．
【分析】先将要求解的式子进行改写整理再利用已知方程进行求解即可．
【详解】解：，
又∵，
∴，
则，
故答案为：3．
【点睛】本题是一元二次方程求对应解的题目，解题的关键是将求解式子进行变形再利用已知方程进行简便运算．
18．
【分析】本题主要考查轴对称-最短路径，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，根据题意，作点关于的对称点，连接，当点三点共线，时，的值最小，由此即可求解，掌握轴对称-最短路径，含角的直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，
∴，，
∴，
当点三点共线，时，的值最小，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴，
故答案为：．
19．2或4##4或2
【分析】此题考查了三角形全等的判定与性质，三角形的内角和定理，同角的余角相等等知识．熟练掌握并运用相关的定理与性质是解此题的关键．分两种情况讨论：再根据已知条件证明，然后得，即可求出．
【详解】解：如图，当在直线的异侧时，
，
，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
．
当在直线的同侧时，如图，
同理可得：，
，
．
故答案为：2或4．
20．
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点坐标的规律，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质，点坐标的规律的计算是解题的关键．
根据等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质可得点，点的纵坐标的规律，由此即可求解．
【详解】解：∵点的坐标为，三角形是等边三角形，
∴，，
∴，
∵轴，
∴在中，，，则，，
∴，则点的纵坐标为，
同理，，
，
…
∴，
∴点的纵坐标为，
故答案为：．
21．（1）；（2）
【分析】本题考查的是整式的混合运算，因式分解，掌握基础运算是解本题的关键；
（1）先计算括号内的整式的乘法运算，再计算单项式除以单项式即可；
（2）先计算多项式乘以多项式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
22．(1)
(2)
【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握解分式方程的步骤是解本题的关键；
（1）先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可；
（2）先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可；
【详解】（1）解：，
去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的根；
（2），
∴，
去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
∴是方程的增根，原方程无解．
23．；3
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后根据分式有意义的条件求出a的值，将a的值代入原式即可求出答案．
【详解】解：
＝•
＝•
＝•
＝
＝，
∵要使分式有意义，故a+1≠0且a﹣2≠0，
∴a≠﹣1且a≠2，
∴a＝1时，原式＝＝3．
【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
24．(1)见解析
(2)
(3)4
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出，，的坐标，然后描点即可；
（2）利用关于y轴对称的点的坐标特征求解；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积．
【详解】（1）如图，为所作；
（2）关于y轴对称的两个点满足：横坐标互为相反数，纵坐标相等，所以点关于y轴的对称点的坐标为；
故答案为：
（3）
故答案为：4
【点睛】本题考查坐标系下的轴对称变换以及简单的利用网格计算三角形面积，熟记轴对称的性质是本题的解题关键．
25．(1)；
(2)．
【分析】（1）两边平方，可得，将已知带入求解即可；
（2）运用割补法阴影部分的面积为：，根据面积公式结合题意化简整理得，将已知代入计算即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2）阴影部分的面积为：
，，
．
【点睛】本题考查了整式的运算；掌握完全平方公式和整式的运算法则是解题的关键．
26．(1)；
(2)成立，；
(3)，见解析
【分析】（1）由，可得是等边三角形，得到，然后由直角三角形的性质即可求解；
（2）在的延长线上截取，连接，可证，得到，从而得到，即可求证；
（3）在上截取，连接，可证得，即可求证．
【详解】（1）解：之间的数量关系．
∵，
∴是等边三角形，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）猜想：结论仍然成立．
证明：在的延长线上截取，连接．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3），理由如下：
证明：在上截取，连接
由（2）得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是注意数形结合思想的应用，作出合适的辅助线，构造出全等三角形．
27．(1)足球单价为90元，则篮球单价为120元；
(2)篮球最少要卖33个；
(3)商场共有6种进货方案，购买篮球45个，购买足球55个，商场获利最大．
【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）找准等量关系，正确列出一元一次不等式．
（1）利用分式方程即可求出篮球和足球的单价；
（2）设购买篮球个，则购买足球个，根据题意列不等式即可；
（3）设购买篮球个，则购买足球个，根据题意求出的取值范围，再根据（1）的结论列不等式即可得出购买方案，设商场获利元，列出关于的函数关系式，利用一次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：设足球单价为元，则篮球单价为元，由题意得：
，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
则，
答：足球单价为90元，则篮球单价为120元；
（2）设购买篮球个，则购买足球个，由题意得：
，
解得：，且为整数，
∴m的最小整数值为33，
故篮球最少要卖33个；
（3）设购买篮球个，则购买足球个，
由题意得：，
解得：，
篮球不少于40个，
，
有6种方案：
设商场获利元，
由题意得：，
，
随的增大而增大，
时，有最大值，
（个，
答：商场共有6种进货方案，购买篮球45个，购买足球55个，商场获利最大．
28．(1)，，
(2)点的坐标
(3)在平面内存在点，使是以为腰的等腰直角三角形，点的坐标为或或或
【分析】（1）根据绝对值，平方数的非负性即可求解；
（2）根据点坐标的分别求出的长，如图所示，过点作延长线于点，可求出的，再根据三角形的面积即可求解；
（3）根据题意，是等腰直角三角形，根据题意，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，可分类讨论，①是等腰直角三角形；②是等腰直角三角形；③是等腰直角三角形；④是等腰直角三角形，证明方法同时；再根据全等三角形的判定和性质即可求解．
【详解】（1）解：已知，，
∴，
∵，，
∴，，则，，
∵，
∴，则，
故答案为：，，．
（2）解：根据题意可得，，，，
∴轴，
如图所示，过点作延长线于点，
∴，，
∴，
∵的面积是面积的一半，
∴，
∵点在第四象限内的一点，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标．
（3）解：在平面内存在点，使是以为腰的等腰直角三角形，点的坐标为或或或，理由如下：
根据题意，，，
∴在中，，
是以为腰的等腰直角三角形，如图所示，
过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，
①是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，则；
∴；
②是等腰直角三角形，
∴，则，，
由①的证明可证，，，
∴，
∴，，且，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴；
③是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，则，
∴；
④是等腰直角三角形，证明方法同时，
∴，
∴，，则，
∴；
综上所述，在平面内存在点，使是以为腰的等腰直角三角形，点的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查在绝对值、平方数的非负性，平面直角坐标系中结合图形面积的计算，平面直角坐标系与等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质的综合，掌握几何图形面积的计算，全等三角形的判定和性质，图形与坐标的知识是解题的关键．