吉林省松原市宁江区吉林油田第十二中学2023-2024学年八年级（上）期末数学试题（含解析）

这是一份吉林省松原市宁江区吉林油田第十二中学2023-2024学年八年级（上）期末数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

初二数学试卷
（试卷满分120分，时间120分钟）
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．下面四幅画分别是体育运动长鼓舞，武术，举重、摔跤抽象出来的简笔画，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．我们知道，一些较大的数适合用科学记数法表示，小于1的正数也可以用科学记数法表示．则0.000 025 7用科学记数法表示为（ ）
A．B．
C．D．.
3．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（﹣a2）3＝a6
C．（3ab2）2＝9a2b4D．
4．我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（ ）
A．B．C．D．
5．下列约分正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，，点D为图中所作直线和射线与AC的交点，根据图中尺规作图痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．计算： ．
8．因式分解： ．
9．正五边形的每一个内角都等于 ．
10．若分式有意义，则字母x应满足的条件为 ．
11．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝40°．点D和点E分别在AC和BC的延长线上，并且CD＝CE，连接DE．则∠D的度数为 ．
12．有下列方程：①，②，③（为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）．
13．若，其中为常数，则点关于轴的对称点的坐标为 ．
14．如图，等边三角形 ABC的边长为4cm，点，分别在边，上，将沿折叠，使点落在的外部处．则整个阴影部分图形的周长为 cm．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．计算：．
16．计算：．
17．计算：
18．解方程：
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．先化简，再求值：，x在1，2，－3中选取合适的数．
20．如图，△ABC是等边三角形，点E在AC边上，连接BE，以BE为一边作等边△BED，连接AD.
（1）求证：CE=AD．
（2）若BC=8 cm，BE=7 cm, 则△ADE的周长为______cm．
21．在平面直角坐标系中的位置如图所示，三点在格点上．
(1)作出关于轴对称的；
(2)写出点的坐标；
(3)的面积为__________．
22．某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果购进第二批用了6300元，
(1)那么购进第一批书包的单价是多少元？
(2)若商店两次购进书包的售价均为100元，那么这两批书包全部售出后，商店共盈利_________元．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．如图，，垂足分别为D、C，并且，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数；
(3)若，则__________．（用含m的式子表示）．
24．【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第112页的第7题：
已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值．
【例题讲解】老师讲解了这道题的两种方法：
【方法运用】请你参照上面两种解法中的一种，解答以下问题．
(1)已知a﹣b＝1，a2+b2＝9，求ab的值；
(2)已知a+＝4，求（a﹣）2的值．
【拓展提升】
(3)如图，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G，当四边形ABGF和四边形CDEG都为正方形时，若BE=8，正方形ABGF和正方形CDEG的面积和为36，直接写出阴影部分的面积．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形．如图1，为的角平分线上一点，常过点作交于点，易得为等腰三角形．
(1)【基本运用】如图2，把长方形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，则重合部分的形状是_______．
(2)【类比探究】如图3，中，内角与外角的角平分线交于点，过点作分别交于点，试探究线段之间的数量关系并说明理由；
(3)【拓展提升】如图4，四边形中，为边的中点，平分，连接，求证：．
26．已知，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于，满足，点是坐标平面内任意一点．
(1)求的值；
(2)如图1，若点在轴上，当时，求点的坐标；
(3)当是以为底边的等腰直角三角形时，请直接写出点的坐标．
答案与解析
1．C
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【详解】解：、不是轴对称图形，故错误；
、不是轴对称图形，故错误；
、是轴对称图形，故正确；
、不是轴对称图形，故错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000 025 7=2.57×10-5；
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．C
【分析】根据同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，负整数指数幂的计算法则逐一计算判断即可得到答案．
【详解】解：A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算正确，符合题意；
D、，计算错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
4．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．根据全等三角形的判定定理推出即可．
【详解】解：在和中，
，
，
故选：D．
5．A
【分析】根据分式的基本性质进行约分计算，然后作出判断．
【详解】解：A、，正确，符合题意；
B、原约分错误，不符合题意；
C、原约分错误，不符合题意；
D、原约分错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了约分：首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
6．D
【分析】由图中尺规作图痕迹可得BD为的平分线，DG为线段AB的垂直平分线，结合角平分线和线段垂直平分线的定义与性质逐项分析即可．
【详解】解：由图中尺规作图痕迹可得，BD为的平分线，DG为线段AB的垂直平分线，
根据线段垂直平分线的性质可得，
，
故A选项正确，不符合题意；
为的平分线，
，
，
，
故B选项正确，不符合题意；
，，，
，
，
故C选项正确，不符合题意；
如下图，过D作于H，
，
，
，
，
故D选项错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查作图一基本作图、角平分线的定义与性质、线段垂直平分线的定义与性质，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的定义与性质是解题的关键．
7．
【分析】根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键．
8．
【分析】先用提公因式法提出ab，再运用平方差公式分解，即可得到结果ab(a+1)(a-1)．
【详解】解：原式．
故答案为：ab(a+1)(a-1)．
【点睛】本题主要考查因式分解，掌握因式分解的基本方法和要求是解题的关键．
9．108°
【分析】先根据多边形的内角和公式（n-2）×180°求出内角和，然后除以5即可；
【详解】解：（5-2）×180°=540°，540°÷5=108°；
故答案为：108°．
10．
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0进行求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
11．65°65度
【分析】根据三角形的内角和定理得到∠ACB＝180°−∠A−∠B＝50°，根据对顶角的性质得到∠DCE＝∠ACB＝50°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵∠A＝90°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°−∠A−∠B＝50°，
∴∠DCE＝∠ACB＝50°，
∵CE＝CD，
∴∠D＝∠E＝（180°−∠DCE）＝65°，
故答案为：65°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
12．②
【分析】此题主要考查了分式方程的定义，利用分母中含有未知数的方程叫做分式方程，进而判断即可．
【详解】解：①是一元一次方程，
②是分式方程，
③（为不等于2的常数），是一元一次方程，
故答案为：②．
13．
【分析】本题考查了整式的混合运算，关于轴、轴对称的点的坐标等知识点，能求出、的值是解此题的关键．先根据多项式乘多项式进行化简，再合并同类项，求出、的值，再求出点的坐标，再求出答案即可．
【详解】解：且，
，，
点关于轴的对称点的坐标为，
故答案为：．
14．
【分析】由折叠的性质，可得，，又由等边三角形的边长为，易得阴影部分图形的周长为： 则可求得答案．
【详解】解：等边三角形的边长为，
，
沿直线折叠，点落在点处，
，，
阴影部分图形的周长为： ．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．
15．．
【分析】先计算多项式除以单项式和单项式乘以多项式，再合并即可．
【详解】解：，
＝，
，
．
【点睛】本题考查了整式混合运算，解题关键是熟练运用法则和公式进行计算．
16．．
【分析】根据完全平方公式与平方差公式展开，合并同类项即可．
【详解】原式= ，
=．
【点睛】本题考查完全平方公式与平方差公式，掌握完全平方公式与平方差公式是解题关键．
17．
【分析】先计算零指数幂和负整数指数幂，然后根据实数的混合计算法则进行求解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
18．
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用解分式方程的步骤解方程即可．
【详解】解：
去分母得，
解得，
检验，把代入
原分式方程的解为：
19．，取x=2，．
【分析】先根据分式的性质化简，在代入求值即可．
【详解】解：原式=，
= ，
= ，
=
选取x=2，代入代数式．
【点睛】本题主要考查了分式化简求值，准确计算是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）15．
【分析】（1）由等边三角形的性质可得出∠ABC=∠DBE=60°，AB=BC，BD=BE，根据SAS可证明△ABD≌△CBE，即可得到结论；
（2）由全等三角形的性质得出AD=CE，则可得出答案．
【详解】（1）证明：∵△ABC和△BDE是等边三角形，
∴∠ABC=∠DBE=60°，AB=BC，BD=BE，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴CE=AD；
（2）解：∵△ABD≌△CBE，
∴AD=CE，
∵BC=8，BE=7，
∴AC=8，DE=7，
∴△ADE的周长为AD+AE+DE=CE+AE+DE=AC+DE=8+7=15．
故答案为：15．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
21．(1)见详解
(2)
(3)
【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
（1）先作出中各点关于轴的对称点，再顺次连接即可；
（2）根据（1）的图象，直接写出坐标即可；
（3）利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求
．
（2）由图形可得：，，；
（3）．
22．(1)购进第一批书包的单价是80元
(2)1700
【分析】此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄清题意，设出未知数，列出方程．
（1）首先设购进第一批书包的单价是x元，则购进第二批书包的单价是元，根据题意可得等量关系：第一批购进的数量×3=第二批购进的数量，列方程，解方程即可；
（2）根据商店盈利=第一批书包的利润+第二批书包的利润进行计算即可．
【详解】（1）设购进第一批书包的单价是元，则购进第二批书包的单价是元
由题意得：
解得：
经检验，是原方程的解
答：购进第一批书包的单价是80元．
（2）由（1）知，两次购买书包的数量均为个，
第二次购买书包的单价为84元，
∴这两批书包全部售出后，商店共盈利为（元），
故答案为：1700．
23．(1)见详解
(2)
(3)
【分析】（1）利用等式的性质可得，再根据“”可证，可得，即可得出结论；
（2）根据直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得、，再根据角的和差计算求解即可；
（3）根据直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得、，再根据角的和差计算求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：解：，
，
，
，
又，
，
；
（3）解：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行线的判定、等腰直角三角形的性质及角的和差计算，熟练掌握相关定理是解题的关键．
24．(1)ab=4；
(2)12；
(3)14．
【分析】（1）把a-b=1两边平方，利用完全平方公式化简后将a2+b2=9代入计算即可求出ab的值；
（2）把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，所求式子化简后代入计算即可求出值；
（3）阴影部分面积相等，都为大小两个正方形边长乘积的一半，求出即可．
【详解】（1）解：把a-b=1两边平方得：（a-b）2=1，
化简得：a2+b2-2ab=1，
将a2+b2=9代入得：9-2ab=1，
解得：ab=4；
（2）解：把a+=4两边平方得：（a+）2=16，
化简得：a2++2=16，即a2+=14，
则原式=a2+-2=14-2=12；
（3）解：设BG=a，EG=b，则有a+b=8，a2+b2=36，
把a+b=8两边平方得：（a+b）2=64，
化简得：a2+b2+2ab=64，
将a2+b2=36代入得：36+2ab=64，
解得：ab=14，
则S阴影=2×ab=ab=14．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式的几何背景，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解本题的关键．
25．(1)是等腰三角形
(2)，理由见解析
(3)见解析
【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，掌握等腰三角形的性质，平行线的性质是解题的关键．
（1）根据材料提示，平行线的性质，等腰三角形的性质即可求证；
（2）根据（1）的结论可知，为等腰三角形，则，且，可证，由此即可求解；
（3）如图所示，过点作，为边的中点，可知点是的中点，得出为等腰三角关系，证明平分，再根据两直线平行同旁内角互补，即可证明，即直角三角形，由此即可求证．
【详解】（1）是等腰三角形；
理由：在长方形中，，
，
由折叠性质可得，
，
，
是等腰三角形；
故答案为：等腰三角形；
（2）解：，理由如下，
∵平分，，
∴，
∴为等腰三角形，则，
平分，，
，
为等腰三角形，即，
，
．
（3）证明：如图所示，过点作，交于点，
为边的中点，
点是的中点，即，
，平分，
，
是等腰三角形，即，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
．
26．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由得，根据非负数的性质可得和的值，即可求解；
（2）点在轴上，，则，即可求解；
（3）分两种情况画图，根据全等三角形的判定和性质，即可得点的坐标．
【详解】（1）解：
；
（2）由(1)得
；
（3），，
，，
设，
①当点在上方时，如图，过点作于，过点作于，
，
是以为底边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，，
，，
∴点P的坐为；
②当点在下方时，如图，过点作于，过点作于，
同理得，
，，
，，
，，
点的坐为；
综上，点的坐为或．
【点睛】此题考查了因式分解，非负数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质等知识，构造全等三角形是解本题的关键．
方法一
方法二
∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝25．
∴a2+2ab+b2＝25．
∵ab＝3，
∴a2+b2＝25﹣2ab＝25﹣6＝19．
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∵a+b＝5，ab＝3，
∴a2+b2＝25﹣6＝19．