辽宁省营口市鲅鱼圈区2023-2024学年八年级（上）期末数学试题（含解析）

这是一份辽宁省营口市鲅鱼圈区2023-2024学年八年级（上）期末数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
（本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分）
考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知三角形的两边长分别为1和4，且第三边长为整数，则此三角形的周长为（ ）
A．4B．5C．9D．8
3．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．一个多边形的内角和与外角和相等，这个多边形是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
5．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取的垂线上的点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是（ ）
A．B．C．D．
6．若分式是最简分式，则△表示的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，，按如下步骤操作：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于D，E两点；②以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点F；③以点F为圆心，长为半径作弧，交②中所画的弧于点G；④作射线，若，则为（ ）

A．B．C．D．
8．数学课上，老师给出了如下问题：
如图1，，是的中点，平分，求证：．
小明是这样想的：要证明，只需要在上找到一点，再试图说明，即可．如图2，经过思考，小明给出了以下3种辅助线的添加方式．
①过点作交于点；
②作，交于点；
③在上取一点，使得，连接；
上述3种辅助线的添加方式，可以证明“”的有（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
9．已知，，则的值为（ ）
A．57B．120C．D．
10．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．计算： ．
12．已知点与点关于轴对称，那么 ．
13．风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②，是六角形风铎的平面示意图，其底部可抽象为正六边形，连接，，则的度数为 °．

14．如图，在中，的角平分线交于点，则的面积是 ．

15．如图，为等腰的高，其中分别为线段上的动点，且，当取最小值时，的度数为 ．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．计算：
(1)计算：
(2)计算：
17．解方程：．
18．先化简，后求值：，其中．
19．如图，点、、、在一条直线上，，．请你在下列条件①；②；③中选择一个条件来证明．你选择的条件序号是________．
20．如图，中，平分，为延长线上一点，于．当，时，求的度数．
21．两个正方形，如图摆放，边长分别为，．若，，求图中阴影部分面积和．
22．根据素材，完成活动任务：
23．如图，在中，是的中线，延长点，使，．

(1)求证：；
(2)如图，平分交于点，交于点，若，试探究的数量关系，并说明理由．
答案与解析
1．A
【分析】直接根据轴对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选A．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．C
【分析】本题考查了构成三角形的三边关系．熟练掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
根据构成三角形的三边关系以及题意确定第三边的长度，然后求周长即可．
【详解】解：由题意知，第三边的长度满足，第三边大于3，小于5，
∵第三边长为整数，
∴第三边的长为4，
∴周长为，
故选：C．
3．B
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴，
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据多边形的内角和公式与多边形的外角和定理列式进行计算是解题的关键．
【详解】解：设多边形的边数为，根据题意得
，
解得：．
所以这个多边形是四边形．
故选：B．
5．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴依据是，
故选C．
6．D
【分析】先将各选项因式分解，利用最简分式的意义（一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式最简分式）进行分析解答．
【详解】解：A. ，B. ，C. ，D. ，
因为，且分式是最简分式，
∴△中不含或
故选D．
【点睛】此题考查最简分式的意义，要把分子与分母因式分解彻底，进一步判定即可．
7．B
【分析】连接，，首先根据直角三角形的性质，可求得，再根据作法可知：，，根据全等三角形的判定与性质，即可求解．
【详解】解：如图：连接，，

在中，，，
，
由作法可知：，，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了基本作图，全等三角形判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握基本作图．
8．B
【分析】①如图1，过作EF⊥AD，垂足为点F，证明△DEF≌△DCE（AAS），由全等三角形的性质得出CE=EF，DC=DF，∠CED=∠FED，证明Rt△AFE≌Rt△ABE（HL），得出AF=AB，则得出结论；②作EF=EC，交AD于点F，不能证明结论；③在AD上取一点F，使得DF=DC，连接EF，证明△DEF≌△DCE（SAS），得出CE=EF，∠ECD=∠EFD=90°，证明Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）得出AF=AB．则可得出结论．
【详解】解：①如图1，过作，垂足为点，
可得，
则，
平分，
，
在和中，
，
；
，，，
是的中点，
，
，
在和中，
，
；
，
．
②如图2，作，交于点；
，，，
根据不能证明，
这种辅助线的添加方式不能证明结论．
③如图3，在上取一点，使得，连接，
在和中，
，
；
，，
是的中点，
，
，
在和中，
，
；
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
9．D
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子因式分解得到，再代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴
，
故选D．
10．B
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，设规定时间为天，则慢马的速度为里/天，快马的速度为里/天，再根据快马的速度是慢马的倍，列出方程即可．
【详解】解：设规定时间为天，
由题意得，，
故选B．
11．
【分析】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂，先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算减法即可，注意任何非零底数的零指数幂结果都为1．
【详解】解：，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了关于x轴对称的点坐标的特征．熟练掌握关于x轴对称的点坐标横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键．
根据关于x轴对称的点坐标纵坐标互为相反数进行求解即可．
【详解】解：由题意知 ，，
解得，，
故答案为：．
13．30
【分析】根据正六边形的性质求出，，求出，，根据对称性求出，即可得到答案．
【详解】解：在正六边形中，
，，
∴，
∴，
∵是正六边形的一条对称轴，
∴，
∴，
故答案为：30．
【点睛】此题考查了正多边形的性质，内角和的公式，直角三角形的性质，正确掌握正多边形的性质是解题的关键．
14．15
【分析】如图所示，过点D作于E，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式进行求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D作于E，

∵，，的角平分线交于点D，
∴，
∵，
∴，
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
15．
【分析】作，且，连接交于M，连接，证明，得到，，当F为与的交点时，即可求出最小值；
【详解】解：如图1，作，且，连接交于M，连接，
是等腰三角形，，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
∴当F为与的交点时，如图2，的值最小，
此时，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了整式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先计算单项式乘以单项式，单项式除以单项式和积的乘方，最后合并同类项即可；
（2）先根据单项式乘以单项式的计算法则和平方差公式去括号，然后合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
17．
【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键．
先去分母将分式方程化成整式方程，解整式方程，然后进行检验即可．
【详解】解：，
，
，
，
检验：将代入，
∴是原分式方程的解．
18．，
【分析】根据分式混合运算顺序和法则化简后，把代入化简结果计算即可．
【详解】解：原式
当时，原式．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则是解题的关键．
19．选择序号②，证明见解析；选择序号③，证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，选择序号②，先证明，再利用证明，即可证明；选择序号③，先证明，再利用证明，即可证明．
【详解】解：选择序号②，证明如下：
∵，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴；
选择序号③，证明如下：∵，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴．
20．
【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，设交于点，首先求出，再求出，再利用三角形的我觉得性质解决问题即可．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【详解】解：设交于点．
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
21．8
【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，先推出，再根据求出，由得到，进而利用完全平方公式的变形得到，即可求出，则，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴
，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴图中阴影部分面积和为8．
22．任务一：5 3 1；任务二：8根，1根，费用450元；任务三：5
【分析】根据围栏材料不同裁剪方法，分别计算出需要的竖杠或横杠；利用方法②与方法③列出方程组求解即可；利用在单位时间内可以安装m根竖杠或根横杠，所用的时间相同，建立分式方程，求解即可．
【详解】任务一：(根)
方法①：当只裁剪长的竖杠时，最多可裁剪5根．
，
方法②：当先裁剪下1根长的横杠时，余下部分最多能裁剪长的竖杠3根．
，
方法③：当先裁剪下2根长的横杠时，余下部分最多能裁剪长的竖杠1根．
任务二：设方法②需裁剪x根，方法③需裁剪y根，依据题意得：
，解得：．
(元)．
答：方法②和方法③各裁剪8根与1根长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料，购买围栏材料的费用共需45元．
任务三：依据题意得，解得：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组与分式方程的应用，解题的关键是仔细审题，正确列出方程．
23．(1)证明解析；
(2)，理由见解析．
【分析】()延长至点，使，可证，由全等三角形的性质从而得出，根据题目已知，可证，由全等三角形的性质从而得出，等量代换即可得出答案；
()如图所示，作，可证，由全等三角形的性质对应角相等角从而得出，进而得出，故可证，得到，等量转化即可求得；
本题考查了全等三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）如图所示，延长至点，使，

在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵平分，，
，
∴，，
∴，
作，如图，

在与中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
素材一
为鼓励学生积极参加学校劳动，养成劳动习惯，培养劳动品质某校“方志实践”劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地．已知围栏的横杠长为15dm，竖杠长为8dm
一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成

素材二
项目化学习小组到市场了解到：现木材市场的这种规格的围栏材料每根长为40dm，价格为50元/根．为了深度参与学校蔬菜基地的建立，项目化小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏同时为了围栏的牢固性，用料不能是拼接而成．
解决问题
任务要求
解决办法
任务一
一根40dm长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（余料作废）．
方法①：当只裁剪8dm长的竖杠时，最多可裁剪_______________根；
方法②：当先裁剪下1根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠_______________根；
方法③：当先裁剪下2根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠________________根：
任务二
基地负责老师告诉项目化学习小组：搭建蔬菜基地需要用到的围栏长为75dm（即需要制作5副围栏，需要的用料为：25个竖杠，10个横杠），请完成裁剪并计算费用．
项目化小组打算用“任务一”中的方法②和方法③完成裁剪任务．请计算：分别用“任务一”中的方法②和方法③各裁剪多少根40dm长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料？并求出购买围栏材料的费用．
任务三
某安装技术人员告诉项目化小组同学：我们在单位时间内可以安装m根竖杠或（7－m）根横杠．现需知道技术人员的安装效率．
任务二中的5副围栏安装完毕时，项目化小组发现技术人员安装竖杠所需的时间与安装横杠所需的时间相同，则m＝_______________．