四川省达州市渠县渠县中学2023-2024学年八年级（上）期末数学试题（含解析）

这是一份四川省达州市渠县渠县中学2023-2024学年八年级（上）期末数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
测试题（三）
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．四根小棒的长分别是5，9，12，13，从中选择三根小棒首尾相接，搭成边长如下的四个三角形，其中是直角三角形的是( )
A．5，9，12B．5，9，13C．5，12，13D．9，12，13
2．某班50名同学的数学成绩为：5人100分，30人90分，10人75分，5人60分，则这组数据的众数和平均数分别是（ ）
A．90，85B．30，85C．30，90D．40，
3．在（-）0，，0，，π，-0.333…，，3.1415，0.010010001…（相邻两个1之间逐渐增加1个0）中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．已知点P(a+5，a-1)在第四象限，且到x轴的距离为2，则点P的坐标为( )
A．(4，-2)B．(-4，2)C．(-2，4)D．(2，-4)
5．对于一次函数，下列结论错误的是（ ）．
A．函数的图象与轴的交点坐标是
B．函数的图象不经过第三象限
C．函数的图象向下平移4个单位长度得的图象
D．函数值随自变量的增大而减小
6．如果关于的方程组的解是方程的解，那么的值是（ ）
A．B．C．5D．20
7．已知，化简二次根式的正确结果为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（ ）
A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3）
9．我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一 尺，引葭赴岸，适与岸齐，问葭长几何．翻译成数学问题是：如图，有一个水池，水面是边长为 10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面 1 尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是( )
A．10 尺B．11 尺C．12 尺D．13 尺
10．如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论： ①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．若，则的值为 ．
12．在中，，高，则的周长是 ．
13．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为点E，∠2=40°，则∠1的度数是 ．
14．直线与，两条直线与轴都交于点，且它们与轴围成的三角形面积为，则 ．
15．将按右侧方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（15，7）表示的两数之积是 ．
三、解答题（共10小题，共90分）
16．计算：
(1)；
(2)．
17．解下列方程组：
（1）；
（2）．
18．如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知，，求的长．
19．如图，点E在的延长线上，.
(1)求的度数；
(2)若，判断与的位置关系，并证明.
20．为了了解学生对“预防新型冠状病毒”知识的掌握情况，学校组织了一次线上知识培训，培训结束后进行测试，试题的满分为分．为了解学生的成绩情况，从七、八年级学生中各随机抽取了名学生的成绩进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
抽取的名七年级成绩是：
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，．
抽取的名八年级成绩折线统计图
抽取的名学生成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上表中，，的值：______，______，_______；
（2）在这次测试中，你认为是七年级成绩好，还是八年级成绩好？请说明理由；
21．甲、乙两车从A地驶向B地，甲车比乙车早行驶2h，并且在途中休息了0.5h，休息前后速度相同，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．
（1）求出图中a的值；
（2）求出甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数表达式，并写出相应的x的取值范围；
（3）当甲车行驶多长时间时，两车恰好相距40km．
22．亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．
（1）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？
（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？
23．如图，在中，于D，，，E，F分别是BG，AC的中点．
(1)求证：，；
(2)连接EF，若，求EF的长．
24．某公司要把240吨矿石运往A、B两地，现用大、小两种货车共20辆，恰好能一次性装完这批矿石.已知这两种货车的载重量分别为15吨/辆和10吨/辆，运往A地的运费为：大车630元/辆，小车420元/辆；运往B地的运费为：大车750元/辆，小车550元/辆.
（1）求这两种货车各用多少辆？
（2）如果安排10辆货车前往A地，其中调往A地的大车有a辆，其余货车前往B地，若设总运费为W，求W与a的关系式（用含有a的代数式表示W）.
（3）在（2）的条件下，如果运往A地的矿石不少于115吨，请你设计出使用总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费？
25．如图，四边形ABCO为矩形，O为坐标原点，点A的坐标为（0，6），点C的坐标为（8，0），点P是线段BC上一动点，已知点D是直线AE上位于第一象限的任意一点，直线AE与x轴交于点E（﹣3，0）．

（1）求直线AE的函数关系式；
（2）如图1，连接PD，当△APD为等腰直角三角形，∠DAP＝90°时，求线段DP的长；
（3）如图2，若将直线AE向下平移12个单位后，在该直线AE上是否存在一点D，使△APD成为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
答案与解析
1．C
【分析】当一个三角形中，两个较小边的平方和等于较大边的平方，则这个三角形是直角三角形．据此进行求解即可．
【详解】A、52+92=106≠122=144，故不能构成直角三角形；
B、52+92=106≠132=169，故不能构成直角三角形；
C、52+122=169=132，故能构成直角三角形；
D、92+122=225≠132=169，故不能构成直角三角形，
故选C．
2．A
【详解】试题分析：在这一组数据中90分是出现次数最多的，故众数是90分；
这组数据的平均数为=85（分）；
所以这组数据的众数和平均数分别是90（分），85（分）.
故选A.
考点：1.众数；2.算术平均数.
3．C
【详解】试题分析：π，，0.010010001…（相邻两个1之间逐渐增加1个0）是无理数，
故选C.
考点：无理数.
4．A
【详解】解：由点P在第四象限，且到轴的距离为2，则点P的纵坐标为-2，
即解得
，
则点P的坐标为（4，-2）．
故选：A．
【点睛】本题考查点的坐标．
5．A
【分析】分别根据一次函数的性质及函数图象平移的法则进行解答即可．
【详解】A选项：当时，，所以函数的图象与轴的交点坐标是，故A选项错误；
B选项：函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故B选项正确；
C选项：函数的图象向下平移4个单位长度，得到函数，即的图象，故C选项正确；
D选项：由于，所以函数值随x的增大而减小，故D选项正确．
故选：C
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，函数图象平移的法则，熟练运用一次函数的图象及性质进行判断是解题的关键．
6．A
【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程组、二元一次方程的解、解一元一次方程，利用代入消元法解方程组得，把代入二元一次方程得，解方程即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：，
将代入得：，
解得：，
将代入①得：，
方程组的解为，
将代入得：，
解得：，
故选：A．
7．B
【分析】本题主要考查的是二次根式的定义和性质；根据二次根式的被开方数为非负数可得到，由此可得到y的取值范围，然后依据得到x的取值范围，最后根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：由可知，
，
，
，
，，
，
故选：B．
8．D
【详解】解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，
此时△ABC的周长最小，
∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），
∴B′点坐标为：（-3，0），则OB′=3，
过点A作AE垂直x轴，则AE=4，OE=1，
则B′E=4，即B′E=AE，
∴∠EB′A=∠B′AE，
∵C′O∥AE，
∴∠B′C′O=∠B′AE，
∴∠B′C′O=∠EB′A，
∴B′O=C′O=3，
∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小．
故选D．
9．D
【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x＋1）尺，
根据勾股定理得：x2＋（）2＝（x＋1）2，
解得：x＝12，
芦苇的长度＝x＋1＝12＋1＝13（尺），
答：芦苇长13尺．
故选：D．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
10．D
【分析】①利用等边对等角，即可证得∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO,则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此可以求解；②证明∠POC=60°，且OP=OC,即可证得△OPC是等边三角形；③首先证明，△POA≌△PCE，则AO=CE,AC=AE+CE=AO+AP；④过点C作CH⊥AB于H，根据S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC，利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：如图1，连接OB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°，
∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；
故①正确；
∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，
∴∠APC+∠DCP=150°，
∵∠APO+∠DCO=30°，
∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等边三角形；
故②正确；
如图2，
在AC上截取AE=PA，
∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO=CE，
∴AC=AE+CE=AO+AP；
故③正确；
如图3，
过点C作CH⊥AB于H，
∵∠PAC=∠DAC=60°，AD⊥BC，
∴CH=CD，
∴S△ABC=AB•CH，
S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC=AP•CH+OA•CD=AP•CH+OA•CH=CH•（AP+OA）=CH•AC，
∴S△ABC=S四边形AOCP；
故④正确．
故选D．
考点：1．等腰三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．等边三角形的判定与性质．
11．-2
【分析】将两方程相加可得4a-4b=8，再两边都除以2得出a-b的值，继而由相反数定义或等式的性质即可得出答案．
【详解】解：由题意知，
①+②，得：4a-4b=8，
则a-b=2，
∴b-a=-2，
故答案为：-2．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握等式的基本性质的灵活运用及两方程未知数系数与待求代数式间的特点．
12．或##或
【分析】分两种情况讨论：当高在的内部时，当高在的外部时，结合勾股定理，即可求解．
【详解】解：当高在的内部时，如图，
在中，，
在中，，
∴，
此时的周长是；
当高在的外部时，如图，
在中，，
在中，，
∴，
此时的周长是；
综上所述，的周长是或．
故答案为：或
【点睛】此题考查了勾股定理的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．
13．50°
【分析】根据平行线的性质求出∠EDF=∠2=40°，根据垂直求出∠FED=90°，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：∵AB∥CD，∠2=40°，
∴∠EDF=∠2=40°，
∵FE⊥DB，
∴∠FED=90°，
∠1=180°-∠FED-∠EDF=180°-90°-40°=50°，
故答案为50°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，垂直定义，平行线的性质等知识点，能根据平行线的性质求出∠EDF的度数是解此题的关键．
14．
【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点问题，根据三角形的面积公式可得，即可求解．
【详解】设直线与轴交于点，则，直线与轴交于，则，
的面积为，
，
，
故答案为：
15．
【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．
【详解】解：（5，4）表示第5排从左向右第4个数是：，
（15，7）表示第15排从左向右第7个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，
第15排是奇数排，最中间的也就是这排的第8个数是1，那么第7个就是：，
．
故答案为2．
【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，解题的关键是准确找到变化规律，利用规律求解．
16．(1)1
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，二次根式的四则混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可；
（2）根据二次根式的四则混合计算法则求解即可．
【详解】（1）解；原式
；
（2）解：原式
．
17．（1）；（2）
【分析】（1）先去分母，再利用加减消元法求出解即可；
（2）先去分母，再利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：（1）
②﹣①得：y＝1，
把y＝1代入②得：x+2＝1，
解得：x＝﹣1，
∴原方程组的解为；
（2）原方程组整理得，，
①×3﹣②，得16x＝8，
解得，
把代入①得，，
解得，
∴原方程组的解是．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组的步骤是解答的关键．
18．
【分析】本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理等知识点；根据矩形的性质和折叠的性质，得到，再根据勾股定理，求出的长度，进而求出的长度，设，则，根据勾股定理建立方程即可得出答案．
【详解】解：根据题意，，
，
在中，由勾股定理得，
，
设，则，
在中，，
，
，解得
．
．
19．(1)
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键．
（1）由平行线的性质可得，再利用三角形内角和定理可得答案；
（2）根据平行线的判定可得到结论．
【详解】（1）∵，
∴，
∴；
（2），理由如下：
∵，，
∴，
∴．
20．（1），，
（2）八年级，理由见解析
【分析】（1）根据众数和中位数的定义解决问题；
（2）利用两年级成绩的平均数、方差都相同，则通过比较中位数的大小比较成绩．
【详解】解：（1）七年级成绩的众数为18，
八年级成绩的众数为19，中位数为=18.5，
即a=18，b=19，c=18.5；
故答案为，，；
（2）解：八年级的成绩好
七年级与八年级成绩的平均分和方差相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数，即八年级高分人数稍多，
八年级的成绩好．
【点睛】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数、众数、中位数．
21．（1）40；（2）；（3）行驶1小时或（1-1.5）小时或2.5小时或4.5小时，两车恰好相距40km.
【详解】试题分析：（1）根据“路程÷时间=速度”由函数图象就可以求出甲的速度求出a的值；
（2）由分段函数当0≤x≤1，1＜x≤1．5，1．5＜x≤7由待定系数法就可以求出结论；
（3）先求出乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式，由解析式之间的关系建立方程求出其解即可．
试题解析：解：（1）由题意，
所以；
（2）当时，设y与x之间的函数关系式为，
把（1,40）代入，得，
∴，
当时；
当设y与x之间的函数关系式为，
由题意得：，解得，
∴，
∴；
（3）设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为，
由题意得：，解得，
∴，
当40x﹣20﹣(80x﹣160)=40时，
解得：x=．
当80x﹣160-(40x﹣20)=40时，
解得：x=．
答：甲车行驶1小时(或1-1．5小时)或小时或小时，两车恰好相距40km．
考点：待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程的关系．
22．（1）计划36座的新能源客车6辆，共有218名志愿者；（2）调配36座新能源客车3辆，22座新能源客车5辆．
【分析】（1）设计划调配36座新能源客车辆，该大学共有名志愿者．列方程组，得，解方程组可得；
（2）设调配36座新能源客车辆，22座新能源客车辆，根据题意，得，求正整数解；
【详解】解：（1）设计划调配36座新能源客车辆，该大学共有名志愿者．
列方程组，得
解得
∴计划36座的新能源客车6辆，共有218名志愿者．
（2）设调配36座新能源客车辆，22座新能源客车辆，
根据题意，得，正整数解为
∴调配36座新能源客车3辆，22座新能源客车5辆．
【点睛】考核知识点：二元一次方程组的运用．理解题意是关键．
23．(1)见解析
(2)EF=5
【分析】（1）证明△BDG≌△ADC，根据全等三角形的性质、直角三角形的性质证明；
（2）根据直角三角形的性质分别求出DE、DF，根据勾股定理计算即可．
【详解】（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△BDG和△ADC中，
，
∴△BDG≌△ADC，
∴BG=AC，∠BGD=∠C，
∵∠ADB=∠ADC=90°，E，F分别是BG，AC的中点，
∴DE=BG=EG，DF=AC=AF，
∴DE=DF，∠EDG=∠EGD，∠FDA=∠FAD，
∴∠EDG+∠FDA=∠EGD+∠FAD=∠C+∠FAD=90°，
∴DE⊥DF；
（2）如图，连接EF，
∵AC=10，
∴DE=DF=5，
由勾股定理得，EF= =．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．（1）大货车用8辆.小货车用12辆.（2）W=10a+11300.（3）最少运费为11330元.
【详解】试题分析：（1）首先设大货车x辆，小货车有y辆，根据题意，得等量关系：①大、小两种货车共20辆；②两种总的运货量=240吨，根据等量关系列出方程组，再解即可；
（2）调往A地的大车有a辆，则到A地的小车有（10-a）辆，到B的大车（8-a）辆，到B的小车有[12-（10-a）]=（2+a）辆，再结合运费可得W与a的关系式；
（3）首先确定a的取值范围，然后再根据函数的增减性确定a的值，然后确定方案.
试题解析：（1）设大货车x辆，小货车有y辆，根据题意，得
，
解得：，
答：大货车用8辆.小货车用12辆.
（2）∵调往A地的大车有a辆，
∴到A地的小车有（10-a）辆，到B的大车（8-a）辆，
到B的小车有[12-（10-a）]=（2+a）辆，
∴W=630a+420（10-a）+750（8-a）+550（2+a）
=630a+4200-420a+6000-750a+1100+550a，
=10a+11300.
（3）由题意得，0≤a≤8，
又∵15a+10（10-a）≥115，
∴a≥3.
∴a的取值范围为3≤a≤8，a为整数.
在函数表达式W=10a+11300中，
∵k=10＞0，
∴W随a的增大而增大，
∴a=3时，w最小.
此时W=10×3+11300=11330.因此，应安排3辆大车和7辆小车前往A地，安排5辆大车和5辆小车前往B地，最少运费为11330元.
考点：1.一次函数的应用；2.二元一次方程组的应用；3.一元一次不等式的应用.
25．（1）直线AE的函数关系式为：y＝2x+6；；（2）DP＝4；（3）符合条件的点D存在，坐标分别为（4，2），（，），（，）．
【分析】（1）设出直线AE解析式后将点A和点E的坐标代入组成方程组，解答即可；
（2）过点D作DH⊥y轴于H，由“AAS”可证△ADH≌△APB，可得AH＝AB＝8，可求点D坐标，可得HD＝4，由勾股定理可求AD的长，即可求解；
（3）分三种情况讨论，利用全等三角形的性质和参数表示点D坐标，代入解析式可求解．
【详解】解：（1）设直线AE的函数关系式为：y＝kx+b，
由题意可得，
解得：，
∴直线AE的函数关系式为：y＝2x+6；
（2）如图1，过点D作DH⊥y轴于H，

∴∠DHA＝∠ABP＝90°，
∵点A的坐标为（0，6），点C的坐标为（8，0），
∴AO＝BC＝6，CO＝AB＝8，
∵△DAP为等腰直角三角形，
∴AD＝AP，∠DAP＝90°，DP＝AD，
∴∠HAD+∠DAB＝90°，∠DAB+∠BAP＝90°，
∴∠HAD＝∠BAP，
在△ADH和△APB中，
，
∴△ADH≌△APB（AAS），
∴AH＝AB＝8，
∴OH＝AO+AH＝14，
当y＝14时，则14＝2x+6，
∴x＝4，
∴点D坐标为（4，14），
∴HD＝4，
∴AD＝＝＝，
∴DP＝AD＝；
（3）∵将直线AE向下平移12个单位，
∴平移后解析式为y＝2x﹣6；
如图2所示，当∠ADP＝90°，AD＝PD时，

∵AD＝PD，
此时，点P与点B重合
∴点D在AB的垂直平分线上，
∴点D横坐标为4，
∴y＝2×4﹣6＝2，
∴点D坐标为（4，2）；
如图3所示，当∠APD＝90°，AP＝PD时，

过点P作PH⊥y轴于，过点D作DF⊥PH，交HP的延长线于F，
同理可证△AHP≌△PFD，
∴AH＝PF，HP＝DF＝8，
设点P的坐标为（8，m），
则D点坐标为（14﹣m，m+8），由m+8＝2（14﹣m）﹣6，得m＝ ，
∴D点坐标（，）；
如图4所示，当∠ADP＝90°，AD＝PD时，

同理可求得D点坐标（，），
综上，符合条件的点D存在，坐标分别为（4，2），（，），（，）．
【点睛】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，利用了分类讨论及数形结合的思想，本题第三问注意考虑问题要全面，做到不重不漏．
性别
七年级
八年级
平均数
众数
中位数
方差