2023-2024学年甘肃省白银市会宁县第一中学高三上学期12月月考数学含答案

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注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则的子集的个数为（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】先由交集的概念求出集合，再一一列举出其子集即可.
【详解】因为，所以的子集为：，共4个.
故选：D.
2. （）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据原式确定复数实部和虚部，再根据复数模公式计算即可.
【详解】因为，所以.
故选：A.
3. 若为奇函数，则（）
A. 2B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用奇函数的定义，列式求解即得.
【详解】因为是R上的奇函数，则，，
因此，整理得，
所以
故选：D
4. “”是“为第一象限角”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】判断，即判断，根据在象限中恒成立即可判断出所在象限，最后根据充分条件和必要条件定义即可得出答案.
【详解】，若为第一象限角或第三象限角，则，即；
若为第二象限角或第四象限角，则，即.
故“”是“为第一象限角”的必要不充分条件.
故选：B.
5. 曲线在处的切线方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出曲线在处的导数，可求出时的函数值，利用点斜式即可求出答案.
【详解】由，得.当时，，
故该曲线在处的切线方程为.
故选：D
6. 已知等比数列的前项积为，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设等比数列的公比为，利用等比中项的性质可求得的值，进而可得出的值.
【详解】设等比数列的公比为，则，则，
所以.
故选：B.
7. 已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，其顶点和底面圆周均在同一个球的球面上，则该球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判断球心在圆锥外部，设球心到圆锥底面圆心的距离为，由求解.
【详解】解：因为圆锥的底面半径为4，母线长为5，
所以圆锥的高，
故球心在圆锥外部.
设球心到圆锥底面圆心的距离为，
如图所示：
则，解得，
则球的半径，表面积.
故选：C
8. 甲､乙､丙､丁等7人站成一排，其中甲､乙相邻，丁与甲､乙､丙都不相邻的站法共有（）
A. 576种B. 448种C. 288种D. 224种
【答案】A
【解析】
【分析】分两种情况讨论，第一种情况为丙和甲､乙中的1人相邻，优先排列甲､乙､丙位置，再将三人捆绑，将除丁外三人先排列，再将捆绑的整体和丁用插空法排列即可；第二种情况为若丙和甲､乙不相邻，先优先排列甲､乙位置后捆绑，再将除甲､乙､丙、丁外的三人先排列，最后用插空法将捆绑整体和丙、丁插空排列即可.
【详解】若丙和甲､乙中的1人相邻，则满足条件的站法共有种，
若丙和甲､乙不相邻，则满足条件的站法共有种，故总的站法共有576种.
故选：A
二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 双曲线的一条渐近线的斜率为，若，则的值可能为（）
A. B. C. 2D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据双曲线渐近线方程判断即可.
【详解】的渐近线方程为，则，解得.
故选：.
10. 某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，选取了人参与问卷调查，将他们的成绩进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，且成绩落在的人数为10，则（）
A.
B.
C. 若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则问卷调查成绩的平均数低于70
D. 问卷调查成绩的80%分位数的估计值为85
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据所有小矩形面积之和为1，即可判断A；根据在的频率为0.1，由，即可判断B；利用小矩形面积乘以组区间的中点值计算即可判断C；利用百分位数的求法可判断D.
【详解】由图可知.，解得，
则成绩在的频率为0.1，由，得，A，B正确；
问卷调查成绩的平均数为，C不正确.
因为，
所以问卷调查成绩的分位数在内，设问卷调查成绩的分位数为，
则，解得，D正确.
故选：ABD.
11. 若函数在上恰有10个零点，则的值可能为（）
A. 50B. 54C. 51D. 58
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意，将问题转化为函数图象与直线的交点个数，进而结合三角函数的图象和性质求得答案.
【详解】当时，，
令，得，要使在上恰有10个零点，
则需满足，解得.
故选：BD.
12. 已知函数的值域为，，，，则下列函数的最大值为的是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】此题考查复合函数性质，只需化简选项中的函数，写成复合函数形式，判断复合函数的内函数值域与函数定义域是否相同即可。
【详解】因为，所以，
当的取值范围为时，的取值范围为，
所以的最大值与的最大值相等，均为，A正确.
因为，所以的最大值为，B错误.
因为，所以，
当的取值范围为时，的取值范围为，
所以的最大值与的最大值相等，均为，所以的最大值为，C正确.
，因为，，，
所以，所以的最大值一定不是，D错误.
故选：AC.
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 已知向量与向量平行，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】直接由向量平行的充要条件列出方程求解即可.
【详解】因为，所以，解得.
故答案：.
14. 如图，在直三棱柱中，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______.
【答案】
【解析】
【分析】取的中点，连接，，.因为是的中点，所以，此时异面直线与所成角即为直线与所成角，根据余弦定理即可求出答案.
【详解】取的中点，连接，，.因为是的中点，所以.
又，，三棱柱为直三棱柱，所以，，，
，
故异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
15. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，是与的一个公共点，则的面积为__________.
【答案】6
【解析】
【分析】根据题意和双曲线标准方程可推出椭圆的值，根据椭圆与双曲线定义可求出的值，根据三边关系即可求出面积.
【详解】由题可知，的离心率为2，则的离心率为，则.
根据对称性，不妨设在第一象限，则，解得，
则，所以为直角三角形，
则的面积为.
故答案为：6.
16. 若，当时，，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】将原问题等价转化为时，恒成立，从而构造函数，推出该函数在单调递减，求出其单数，结合分离参数以及函数最值，即可求得答案.
【详解】由题意等价于，
即等价于，即等价于.
令，
则原问题可转化为，当时，，
即函数在上单调递减，
即，，则，
又，，所以，
所以实数的取值范围是，
故答案为：
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 的内角的对边分别为.已知.
（1）求；
（2）若，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正选定理进行边化角，再约分计算即可；
（2）根据余弦定理列式，再根据基本不等式可求出最大值，根据三角形的正弦定理面积公式即可求出答案.
【小问1详解】
因，所以.
又，所以，则.
由，得.
【小问2详解】
由（1）可知，，
当且仅当时，等号成立.
因为，所以，
所以的面积，即面积的最大值为.
18. 已知等差数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列性质列式计算即可；
（2）根据等差数列前项和求出，代入通项公式，根据错位相减法即可求出.
【小问1详解】
解：（1）设的公差为，则
解得
则.
【小问2详解】
由（1）可知，，则.
，
则，
则，
则.
19. 某商家2023年1月至7月商品的月销售量的数据如下图所示，若月份与商品的月销售量存在线性关系.
（1）求月份与商品的月销售量的回归直线方程；
（2）若规定月销售量大于35的月份为合格月，在合格月中月销售量低于50的视为良好，记5分，月销售量不低于50的视为优秀，记10分，从合格月中任取3个月，用表示赋分之和，求的分布列和数学期望.
参考公式：回归直线方程，其中.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）由题意先分别算出，，结合已知参数即可算出，，从而即可得解.
（2）合格月有5个，其中记为5分的月份有3个，记为10分的月份有2个，由超几何分布的概率公式即可求出分布列，进一步得出数学期望.
【小问1详解】
，，
，
所以，，
所以.
【小问2详解】
由题可知，合格月有5个，其中记为5分的月份有3个，记为10分的月份有2个，
所以，
所以的分布列为
数学期望.
20. 已知是椭圆的右焦点，是上一点.
（1）求方程；
（2）记为坐标原点，过的直线与交于两点，若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将P点带入椭圆方程，再根据椭圆中a、b、c的关系列式计算即可；
（2）分类讨论的斜率存在与不存在两种情况，不存在根据对称性即可求出两点坐标，通过向量法即可证明是否垂直；斜率存在时，联立直线与椭圆方程，运用韦达定理解出直线斜率，最后用弦长公式计算得出答案.
【小问1详解】
由题可知，解得
则的方程为.
【小问2详解】
若的斜率不存在，根据对称性，不妨令，则，不符合条件.
若的斜率存在，设的方程为，
联立方程组整理得，
则.
因为，所以
，解得，
则.
21. 如图，在四棱锥中，，，与均为正三角形.
（1）证明：平面.
（2）证明：平面.
（3）设平面平面，平面平面，若直线与确定的平面为平面，线段的中点为，求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由已知得出，即可根据线面平行的判定证明；
（2）取的中点，连接，过作平面，垂足为，连接，，，，通过已知得，通过线面垂直的判定与性质得出，通过中位线得出，即可得出，再通过勾股定理得出，即可证明；
（3）以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，得出各点坐标，通过点到平面距离的向量求法即可求出.
【小问1详解】
因为，
所以，，
所以，
因为平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
取的中点，连接，则四边形为正方形.
过作平面，垂足为.
连接，，，.
由和均为正三角形，得，
所以，即点为正方形对角线的交点，
则.
因为平面，且平面，
所以，
又，且平面,平面,
所以平面，
因为平面，
所以.
因为是的中点，是的中点，
所以，
因此.
因为，
所以，
又，平面，平面，
所以平面.
【小问3详解】
设，连接，则直线为直线，
因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面，且平面平面，
所以.
由（1）知，，，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设平面的法向量为，则，
所以，
取，得.
又，
所以点到平面的距离.
22. 已知函数.
（1）讨论的导函数的零点个数；
（2）证明：当时，.
【答案】（1）1个零点
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意，得到，令，判断的单调性,结合零点存在定理判断零点个数即可；
（2）通过放缩，得到，证明，即可.
【小问1详解】
的定义域为.
令，因为，所以在上单调递减.
又因为，
所以存在唯一的零点，即的导函数的零点个数为1.
【小问2详解】
因为，所以.
令，由（1）可知，在上单调递减.
又，所以在上单调递增，在上单调递减，
则，即.
令，则，
又，则上单调递减，在上单调递增，
所以，即.
综上，当时，.
【点睛】关键点睛：第一问的关键是结合的单调性以及零点存在定理，第二问的关键是通过放缩，然后在不等式两边找一个临界值即可.15
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