2024届河北省保定市唐县第一中学高三上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2024届河北省保定市唐县第一中学高三上学期12月月考数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，应用题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先解绝对值不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得.
【详解】由，解得，所以，
所以，
又，
所以.
故选：C
2．若复数z满足，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【分析】先利用复数四则运算法则计算得到，从而利用模长公式得到答案.
【详解】，故，
所以.
故选：A
3．已知一个圆柱的底面半径和高相等，且体积为，那么此圆柱的侧面积S等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设圆柱的底面半径为，则高也是，然后根据题意列方程可求出，再利用侧面积公式可求得答案.
【详解】设圆柱的底面半径为，则高也是，
所以圆柱的体积为，解得，
所以圆柱的侧面积，
故选：B.
4．已知函数的图象大致如图，则（ ）

A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】先得到函数最小正周期，求出，代入求出，得到函数解析式，代入求解.
【详解】由题意得，解得，
当时，，解得，
故，
将代入可得，，
故，解得，
则，
所以；
当时，，解得，
故，将
代入可得，，
故，解得，
则，
，
综上：.
故选：C
5．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，作出图形，再利用正弦定理求出椭圆的长轴长，结合焦点位置求出半焦距作答.
【详解】如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点，
对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长为，半焦距为，
由，得，，
在中，，则，，
由正弦定理得，，解得，则，
所以该椭圆的离心率.
故选：A
6．已知，则（ ）
A．－1B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知条件利用两角和差的正弦公式展开求得，最后由二倍角公式结合齐次式化简求值即可.
【详解】由，
得，
即，
则，得，则，
所以
．
故选：A．
7．过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义列式可得，再根据韦达定理即可得答案.
【详解】由题意得，
过点作曲线的两条切线，设切点坐标为，
则，即，
由于，故，，
由题意可知为的两个解，
故，
故选：D
8．现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（ ）
A．事件A与B相互独立B．事件A与C为互斥事件
C．D．
【答案】C
【分析】根据条件求出，由互斥事件的定义、相互独立事件的判定和条件概率公式进行逐一判断即可
【详解】对于A，每项比赛至少一位同学参加，则有不同的安排方法，
事件“甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2人，则有种方法；
若跳高比赛安排1人，则有种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有种，则，同理，
若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1人，有种不同的安排方法，所以，
因为，事件A与B不相互独立故A错误；
对于B，在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件，事件A与C可以同时发生，故事件A与C不是互斥事件，故B错误；
对于C，在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有种，所以，所以，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C
二、多选题
9．一组数据：0，1，5，6，7，11，12，则（ ）
A．这组数据的平均数为6B．这组数据的方差为16
C．这组数据的极差为11D．这组数据的第70百分位数为7
【答案】AD
【分析】由已知的这组数据，利用公式分别计算平均数、方差、极差、第70百分位数即可.
【详解】对A，这组数据的平均数为：，故A选项正确；
对B，这组数据的方差为：，故B选项错误；
对C，这组数据的极差为：，故C选项错误；
对D，由，则第70百分位数是第5个数7，故D选项正确.
故选：AD.
10．设向量，，则（ ）
A．B．
C．D．与的夹角为
【答案】CD
【分析】求出可判断A；求出的坐标，利用向量共线的坐标运算可判断B；由向量垂直的坐标运算可判断C；利用向量夹角公式计算可判断D.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，因为，所以，故B错误；
对于C，因为，所以，所以，故C正确；
对于D，，因为，
所以与的夹角为，故D正确.
故选：CD.
11．过圆上一点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则（ ）.
A．
B．
C．
D．直线AB与圆相切
【答案】BCD
【分析】根据圆的切线的性质，建立直角三角形，结合勾股定理以及锐角三角函数，可得答案.
【详解】由题意，作图如下：

设圆与圆的圆心为，则，，
因为与圆相切，所以，
在中，，易知，所以.
又，所以，故A错误，B、C正确.
故与交于点，由与圆相切，则，
由，则，易知，
在中，，
又圆的半径为，所以直线与圆相切，故D正确.
故选：BCD.
12．如图，棱长为2的正方体的内切球为球O，E､F分别是棱AB和棱的中点，G在棱BC上移动，则下列结论成立的有（ ）

A．存在点G，使
B．对于任意点G，平面EFG
C．直线EF的被球О截得的弦长为
D．过直线EF的平面截球О所得的所有圆中，半径最小的圆的面积为
【答案】ACD
【分析】根据线线垂直、线面平行、球的弦长、球的截面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，连接,则，连接，如下图所示，
当为中点时，由于是的中点，
所以，由于，所以，
根据正方体的性质可知，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以，故正确；

B选项，当与重合时，连接，则，
连接，如下图所示，由图可知：
在平面上，在平面外，故B不正确；

C选项，如下图，连接，则是的中点，内切球的半径为，
点是线段的中点，由对称性可知，
由勾股定理可知易知，
球心到距离为，
则被球截得的弦长为，故C正确；

对于D选项，如上图所示，结合C选项的分析可知：
当垂直于过的平面，此时截面圆的面积最小，
此时圆的半径就是，
面积为，故D正确.
故选：ACD
【点睛】在空间中，要证明线线垂直，可通过证明线面垂直来证明.线面平行和线面相交时，直线在平面外.求解球的截面或球的弦长有关问题，可根据球的几何性质，结合勾股定理等知识来进行求解.
三、填空题
13．若为偶函数，则实数 .
【答案】0
【分析】由求出的值，然后再检验即可.
【详解】因为定义域为，关于原点对称，而函数为偶函数，
所以由得，解得：.
当时，，符合题意.
故答案为：
14．已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与抛物线及其准线依次交于三点（其中点在之间），若.则的面积是 .
【答案】/
【分析】依题意作出图形，利用抛物线的定义结合图形依次求得与，从而求得直线的方程，联立抛物线方程，利用抛物线焦半径公式与点线距离公式求得与，从而得解.
【详解】过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为，设准线与轴相交于点，如图，

则，
在中，，所以，所以，
故在中，，所以，则.
又轴，，所以，
又抛物线，则，所以，
所以抛物线，点.
因为，所以直线的斜率，则直线，
与抛物线方程联立，消并化简得，
易得，设点，则，
则，
又直线，可化为，
则点到直线的距离，
所以.
故选：B.
15．已知函数，若对定义域内两任意的（），都有成立，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】变形给定的不等式，构造函数，利用函数单调性定义确定单调性，再利用导数求解作答.
【详解】函数的定义域为，
因为对，都有成立，
设，则，于是，都有成立，
因此函数在上单调递增，求导得，
则有成立，
当时，，函数在上单调递增；
当时，必有，函数的图象过点，对称轴，从而，解得，
而当时，，当且仅当时取等号，符合题意，
所以a的取值范围是.
故答案为：
16．某校有一社团专门研究密码问题，社团活动室用的也是一把密码锁，且定期更换密码，都是以当日值班社员的姓氏为依据编码的，密码均为的小数点后前6位数字，编码方式如下：
①x为某社员的首拼声母对应的英文字母在26个英文字母中的位置；
②若x为偶数，则在正偶数数列中依次插入数值为 的项得到新数列 ，即2，3，4，6，8， ，10，12，14，…；若x为奇数，则在正奇数数列中依次插入数值为的项得到新数列{an}，即1，2，3，，5，7， ，9，11，13，…；
③N为数列{an}的前x项和．如当值社员姓康，则K在26个英文字母中排第11位，所以x＝11，前11项中有 ，所以有8个奇数， ，所以密码为282051，若今天当值社员姓徐，则当日密码为 ．
【答案】199600
【分析】根据当值社员姓徐，确定x的值，从而求出N，计算，即可确定当日密码.
【详解】当值社员姓徐，则x在26个英文字母中排第24位，故 ，
前24项中 ，所以有21个偶数，
所以 ，
计算，则当日密码为：199600，
故答案为：199600．
四、解答题
17．在①,②,③这三个条件中选择两个,补充在下面问题中,并进行解答.已知等差数列的前项和为,______,______.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据是等差数列,设出公差为,选择两个选项,将首项公差代入,解方程组,即可求得基本量,写出通项公式;
(2)根据(1)中的通项公式,写出的通项,利用裂项相消即可求得前项和.
【详解】（1）由于是等差数列,设公差为,
当选①②时:,解得,
所以的通项公式.
选①③时:,解得,
所以的通项公式.
选②③时:,解得,
所以的通项公式.
（2）由(1)知,,
所以,
所以
.
五、应用题
18．甲乙两人进行象棋比赛，先胜三局的人晋级，假设甲每局获胜的概率为（不考虑平局），
(1)若比赛三局后结束，求甲晋级的概率；
(2)若已知晋级的是甲，求比赛三局后结束的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式求解,
（2）利用条件概率公式求解.
【详解】（1）比赛三局后结束，甲晋级，表示三局甲全获胜，设比赛三局后甲晋级为事件,
则甲晋级的概率为;
（2）设甲晋级为事件,
有三种情况，可能比赛三场且这三场比赛甲都获胜，其概率为，
可能比赛四场前三场甲胜两场第四场比赛甲获胜，其概率为,
可能比赛五场前四场比赛甲胜两场，第五场比赛甲获胜，其概率为，
所以,
设比赛三局后结束为事件,则,
由条件概率公式可知.
六、解答题
19．在锐角三角形中，角的对边分别为，为在方向上的投影向量，且满足.
(1)求的值；
(2)若，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，即可得到，利用正弦定理将边化角，即可得到，再由平方关系计算可得；
（2）利用正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式及（1）的结论得到，从而求出、，再由正弦定理求出，即可求出，从而得解.
【详解】（1）由为在方向上的投影向量，则，
又，即，
根据正弦定理，，
在锐角中，，则，即，
由，则，整理可得，解得（负值舍去）.

（2）由，根据正弦定理，可得，
在中，，则，
所以，所以，
由（1）可知，则，
由，则，解得（负值舍去），
根据正弦定理，可得，则，，
故的周长.
七、证明题
20．在三棱台中，为中点，，，.
(1)求证：平面；
(2)若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）易证得四边形为平行四边形，由此可得，结合，由线面垂直的判定可得结论；
（2）根据垂直关系，以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，由二面角的向量求法可构造方程求得，利用体积桥可求得结果.
【详解】（1）在三棱台中，为中点，则，
又，，
，四边形为平行四边形，，
又，，
，，，
，平面，平面.
（2），，，
又，，平面，平面，
连接，，，为中点，；
以为正交基底，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，令，解得：，，；
又平面的一个法向量，
，解得：，即，
平面，平面平面，平面，
.
21．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，且，若C上的点M满足恒成立.
(1)求C的方程；
(2)若过点M的直线l与C的两条渐近线交于P，Q两点，且.
（i）证明：l与C有且仅有一个交点；
（ii）求的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析（ii）
【分析】（1）根据双曲线的定义以及几何性质即可求解，
（2）（i）根据点差法以及中点弦可得，进而可得直线PQ的方程，即可联立直线与双曲线方程通过判别式即可求证只有一个交点，（ii）根据点点距离公式，结合基本不等式即可求解最值.
【详解】（1）由双曲线定义可知，∴，
又由，∴，
∵，∴，
∴双曲线C的方程为.
（2）（i）设，，，
双曲线的渐近线方程为①，②，
将①＋②可得，将①－②可得，
由于且，相减可得，
∴，即，
由题可知，∴，，
∴，即，
∴直线PQ的方程为，即，
又∵点M在C上，∴，则，
将方程联立，得，
∴，由可知方程有且仅有一个解，
∴l与C有且仅有一个交点.
（ii）由（2）（i）联立，可得，同理可得，
∴，
∴，当且仅当即时取等号.
又∵，
∴的取值范围为.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
22．已知函数.
(1)若存在两个极值点，求实数的取值范围；
(2)若，且在上有两个极值点，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求得，根据题意得到方程有两个不等实根，结合二次函数的性质，即可求解；
（2）由，求得，根据题意转化为是方程在的两个根，求得，结合韦达定理，化简得到，转化为证明，令，利用导数求得函数的单调性，结合，即可得证.
【详解】（1）由函数，可得，
因为存在两个极值点，即方程有两个不等实根，
即方程有两个不等实根，
所以，解得，所以实数的取值范围为.
（2）由，
可得，
因为在上有两个极值点，即是方程的两个根，
令，则满足，解得，
因为，且
由
，
将代入上式，可得，
根据题意，只需证，
令，其中，
可得，
当时，，则在上单调递减，即，
即当时，，所以.
【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.