2024届湖北省荆州市松滋市第一中学高三上学期12月月考模拟数学试题（二）含答案

这是一份2024届湖北省荆州市松滋市第一中学高三上学期12月月考模拟数学试题（二）含答案，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先分别解出两个不等式，然后由p是q的必要不充分条件，列不等式组可求出a的取值范围
【详解】由，解得，即，
由，解得，即，
因为p是q的必要不充分条件，
所以，解得，
故选：C
2．已知函数的图象如图所示，将的图象向右平移个单位，使新函数为偶函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，，可求得，由此可得平移后的解析式，根据平移后为偶函数可构造方程，结合可求得最小值.
【详解】由图象可知：，；
，，又，；
，，解得：，；
为偶函数，，
解得：，又，
当时，.
故选：D.
3．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ）

A．16B．C．D．21
【答案】D
【分析】由祖暅原理知不规则几何体的体积与正六棱台体积相等即可求解.
【详解】由祖暅原理，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等，
故.
故选：D
4．已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】设，的夹角为，由题意可得，，解方程即可得出答案.
【详解】设，的夹角为，
由可得：，
，所以，
在上的投影向量为，则，
所以，即，则.
故选：B.
5．等差数列、的前项和分别为与，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用等差数列前n项和性质，公式求解.
【详解】由等差数列性质得，，
等差数列前n项和满足，则，
等差数列前n项和满足，则，
所以.
故选：B.
6．下列关于统计概率知识的判断，正确的是（ ）
A．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，且已知，则总体方差
B．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1
C．已知随机变量服从正态分布，若，则
D．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：；乙组：，若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则
【答案】C
【分析】对于A项，由分层抽样的方差公式判断即可；对于B项，运用越大相关性越强可判断；对于C项，由正态分布的对称性可求得结果；对于D项，运用百分位数计算公式即可求得结果.
【详解】对于A项，总体方差与样本容量有关，故A项错误；
对于B项，相关性越强，越接近于1；故B项错误；
对于C项，若，则，所以，故C项正确；
对于D项，甲组：第30百分位数为30，第50百分位数为，乙组：第30百分位数为，第50百分位数为，
所以，解得：，故.故D项错误.
故选：C.
7．若，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】，再利用基本不等式即可得出答案.
【详解】解：
，
当且仅当时，取等号，
所以的最小值为.
故选：C.
8．双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案.
【详解】如图，

因为，不妨设渐近线方程为，即，
所以，
所以.
设,则，所以，所以.
因为,所以，所以，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为
故选：D
二、多选题
9．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得.
【详解】对于A：，，
所以，故A错误；
对于B：，，∴，
，故B正确；
对于C：，，∴，故C正确.
对于D：，
，∴，∴，
∴，所以D正确.
故选：BCD.
10．某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数人的关系，该同学记录了天的数据：
经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则（ ）
A．样本中心点为
B．
C．时，残差为
D．若去掉样本点，则样本的相关系数增大
【答案】ABC
【分析】先求得样本中心点，然后求得，再根据残差、相关系数等知识确定正确答案.
【详解】，
所以样本中心点为，则，所以AB选项正确，
则，当时，，
对应残差为，所以C选项正确.
由于，，则，
所以若去掉样本点，则样本的相关系数不变.D选项错误.
故选：ABC
三、单选题
11．已知椭圆的左、右焦点分别是，，左右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．直线与直线的斜率之积为
C．存在点满足D．若△的面积为，则点的横坐标为
【答案】D
【分析】根据椭圆的概念和几何性质依次判断选项即可.
【详解】对选项A，，故A错误；
对选项B，设，则，，
，，
则，故B错误.
对选项C，因为椭圆，，，，
所以以为直径的圆与椭圆无交点，故不存在点满足，故C错误；
对选项D，，则，
则，解得，故D正确.
故选：D
四、多选题
12．如图，在矩形AEFC中，，EF=4，B为EF中点，现分别沿AB、BC将△ABE、△BCF翻折，使点E、F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P-ABC，则（ ）
A．三棱锥的体积为B．直线PA与直线BC所成角的余弦值为
C．直线PA与平面PBC所成角的正弦值为D．三棱锥外接球的半径为
【答案】BD
【分析】证明平面，再根据即可判断A；先利用余弦定理求出，将用表示，利用向量法求解即可判断B；利用等体积法求出点到平面的距离，再根据直线PA与平面PBC所成角的正弦值为即可判断C；利用正弦定理求出的外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的半径即可判断D.
【详解】由题意可得，
又平面，
所以平面，
在中，，边上的高为，
所以，故A错误；
对于B，在中，，
，
所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为，故B正确；
对于C，，
设点到平面的距离为，
由，得，解得，
所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为，故C错误；
由B选项知，，则，
所以的外接圆的半径，
设三棱锥外接球的半径为，
又因为平面，
则，所以，
即三棱锥外接球的半径为，故D正确.
故选：BD.
五、填空题
13．若复数满足，则的虚部为 .
【答案】.
【解析】根据复数的除法与模长公式求解再得出虚部即可.
【详解】由题.故虚部为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了复数的除法与模长的计算和虚部的概念等.属于基础题型.
14．如图，在△ABC所在平面内，分别以AB，BC为边向外作正方形ABEF和正方形BCHG．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S．已知，且asinA＋csinC＝4asinCsinB，则FH＝ ．
【答案】
【分析】通过正弦定理化简已知条件，再结合面积公式和余弦定理即可求出的长度.
【详解】由题意，
在中，，，
由正弦定理，，
∵，
∴，
连接如下图所示，
在中，
由余弦定理， ，
又，
∴，
∴．
故答案为：.
15．写出曲线与曲线的公切线的一个方向向量 .
【答案】（与共线的非零向量均可）
【分析】先利用导数求得曲线与曲线的公切线方程，进而求得该公切线的一个方向向量.
【详解】设曲线上的切点为，
曲线上的切点为，
则，两式相减整理得，
代入上式得，解之得，则，
则曲线与曲线的公切线的公切点为，
则切线斜率为1，切线方程为，
则公切线的一个方向向量为
故答案为：
16．已知函数，，用max{m，n}表示m，n中的最大值，设．若在上恒成立，则实数a的取值范围为
【答案】
【分析】分别讨论当时，与的关系，可将问题转化为在上恒成立，运用参数分离和构造函数法，结合导数求得最大值，可得所求范围．
【详解】当时，，当时，，所以在必成立，
问题转化为在恒成立，由恒成立，可得
在恒成立，设，
则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故a的取值范围是.
故答案为：
【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立的问题，考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力，是一道有一定难度的压轴填空题.
六、解答题
17．设数列前n项和满足，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记，求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据条件以及消去，结合等比数列的定义可得答案；
（2）先求出的通项公式，得到的通项公式，利用裂项相消法可求答案.
【详解】（1）证明：∵，且，
∴，
∴，
∴，令，可得，
∴，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）由（1）可得，
∴，
∴；
∴
；
∴.
18．已知锐角的内角，，，的对边分别为，，满足.
(1)求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换等知识求得.
（2）利用正弦定理，将表示为角的形式，结合三角函数值域的知识求得正确答案.
【详解】（1）由正弦定理得
即，
因为，所以，所以，
又因为，所以；
（2）由正弦定理，，得，
，
所以，
由是锐角三角形可得，得，则，
利用正切函数的性质可得在上单调递增，
所以，从而，所以，
所以的取值范围为.
19．如图，在四棱锥中，，，，，，.过直线的平面分别交棱，于E，F两点.
（1）求证：；
（2）若直线与平面所成角为，且，，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）由线面平行的性质可得，取中点G，连接，则为平行四边形，由平面几何知识即，由线面平行的判定可得平面，再由线面垂直的性质即可得证；
（2）由题意，E、F分别为、的中点，建立空间直角坐标系，求出各点坐标后，进而可得平面的一个法向量为、平面的一个法向量，由即可得解.
【详解】（1）证明：∵，平面，∴平面，
又面面，∴，
取中点G，连接，如图：
则为平行四边形，
∴，又，，故，
∴，∴，
又，，∴平面，
∴平面，
又平面，∴；
（2）由（1）知平面，∴即为直线与平面所成角，
∴，∴，解得，
又，∴E，F分别为，的中点，
取中点O，连接，则，，
由平面可得，，故平面，
以O为原点，，，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：
则，，，，，
故，，，
设平面的一个法向量为，
则，令得，
显然是平面的一个法向量，
∴，
由题知二面角的余弦值为.
【点睛】本题考查了线面平行、垂直的判定及利用空间向量求二面角，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.
20．在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有4名女生和3名男生的成绩在90分以上，从这7名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次，记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B．
(1)求，，
(2)若把抽取学生的方式更改为：从这7名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)，
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）法一：根据古典概型结合条件概率运算求解；法二：根据独立事件概率乘法公式结合条件概率运算求解；
（2）根据题意结合超几何分布求分布列和期望.
【详解】（1）方法一：
由题意可得：，
“第一次抽到女生且第二次抽到男生”就是事件AB：“第一次抽到男生且第二次抽到男生”就是事件，从7个同学中每次不放回地随机抽取2人，试验的样本空间Ω包含个等可能的样本点，
因为，，
所以，
故．
方法二：，
“在第一次抽到女生的条件下，第二次抽到男生”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率，则，，
故．
（2）被抽取的3人中女生人数X的取值为0，1，2，3，
，，
，，
X的分布列：
X的数学期望.
21．已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．
(1)求的方程；
(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）结合题意得到，，再结合，解之即可；
（2）依题意求得直线、与的方程，从而求得点的坐标，进而求得，再根据题意求得，得到，由此得解.
【详解】（1）依题意，得，则，
又分别为椭圆上下顶点，，所以，即，
所以，即，则，
所以椭圆的方程为.
（2）因为椭圆的方程为，所以，
因为为第一象限上的动点，设，则，

易得，则直线的方程为，
，则直线的方程为，
联立，解得，即，
而，则直线的方程为，
令，则，解得，即，
又，则，，
所以
，
又，即，
显然，与不重合，所以.
22．已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)当时，设，，证明：.
【答案】(1)极大值为，无极小值；
(2)证明见解析
【分析】（1）由题知，，，再根据导数研究的值域，即可得的单调性，进而求解极值；
（2）方法1：由题知在单调递增，在单调递减，不妨设，进而将证明的结论转化为，再证明，即可证明结论；
方法2：由题知，进而根据在上是增函数转化为，再令，不妨设，进而根据的单调性将问题转化为，再构造函数证明即可；
【详解】（1）解：的定义域为，
当时，，
令，，则，
所以在上递增，即，
由得，当，，单调递增，
当，，单调递减.
所以的极大值为，无极小值.
（2）解：方法1：，
因为当时，时，，时，，
所以在单调递增，在单调递减，
不妨设，
要证，即证，即证，即证.
即证，，
即证（*），
令，则，
所以在上单调递增，
所以时，，即，
所以，即，
所以，即，
综上所述，（*）成立，原不等式的得证.
方法2：，
所以可以看成是与复合而成，
因为，所以在上是增函数，
所以，，
令，则，
所以，当，；当，.
所以在单调递增，在单调递减，
不妨设，要证，即证，即证，
即证，即证，
即证，即证，
令，则，
所以在上单调递增，
所以时，，即，原不等式得证.
方法3：，
所以可以看成是与复合而成，
因为，
所以在上是增函数，，
令，则，
所以，当，；当，，
所以在单调递增，在单调递减，
不妨设，令，则，所以，.
要证，即证，即证，
令，即证，
令，则，
所以在上单调递增，
所以时，，即，原不等式得证.
【点睛】本题第二问解题的关键在于不妨设，进而结合函数的单调性，将问题转化为证明成立；或者将可以看成是与复合而成，不妨设，进而结合，的单调性转化为证明成立即可.
X
0
1
2
3
P