2024届江西省宜春市上高县高三上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2024届江西省宜春市上高县高三上学期12月月考数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，其中为自然对数的底数，则子集的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】首先判断直线为曲线的切线，再结合集合含义，得出只有一个元素，从而求解.
【详解】由题知，，在点处的切线斜率为，则在处的切线方程为.
因为直线与曲线相切于点，有且只有这一个公共点，故中有且只有一个元素，
所以的子集个数为2个．
故选:B．
2．已知复数z满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据复数的运算法则和模的定义即可求出复数z，再根据共轭复数定义即可得结果.
【详解】由，得，
所以，
故选：A.
3．已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则（ ）
A．若且，则
B．若且，则
C．若且，则
D．若且异面，则
【答案】D
【分析】根据线线关系、线面关系、面面关系逐项判断可得答案.
【详解】对于A，若且，也有可能与相交，如下图，故A错误；

对于B，若且，也有可能与相交，如下图，故B错误；

对于C，若且，也有可能，如下图，

故C错误；
对于D，若且异面，则，故D正确.
故选：D.
4．由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主､自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是（ ）参考数据：.
A．2024年B．2025年C．2026年D．2027年
【答案】C
【分析】根据题意列出不等关系，然后结合对数运算化简求出年份即可.
【详解】设2020年后第年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元，
由得，
两边同取常用对数，得，
所以，所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元.
故选：C.
5．设点是的重心，若， ，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设是的中点，连接，进而得，再结合已知得，最后结合向量模的计算公式与基本不等式求解即可.
【详解】解：设是的中点，连接．因为是的重心，
所以
因为，
所以，
所以
当且仅当时取等号
故选：C
6．已知函数，总有成立，且的最小值为.若，则的图象的一条对称轴方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据的最小值为,可得周期，进而根据求解，即可根据整体法求解对称轴方程.
【详解】由于对,总有成立，且的最小值为,
所以,
又，则,所以，
所以，由于，所以，
故，
令,所以，
故对称轴方程为，
取时，，
故选：A
7．已知分别为双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．C．D．2
【答案】C
【分析】设过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，运用双曲线的定义和条件可得，，，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．
【详解】设过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，
由双曲线的定义可得，
由，可得，，，
由可得，
在三角形中，由余弦定理可得：
，
即有，化简可得，
所以双曲线的离心率．
故选：C．
8．已知，关于的方程 ()有四个不同的实数根，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求导得到导函数，确定单调区间，画出函数图像，令，得到有两个不同的根，得到，解得答案.
【详解】令，，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
故当时，函数的最小值为，
图像是由的图像下方的部分向上翻折形成，如图所示：
令，
当时，等式为，矛盾，舍去；
若，此时对应两个不同根，若要凑四个根，则，不满足题意，舍去；
则有两个不同的根，即，，
故选：A.
【点睛】方法点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
二、多选题
9．下列命题是真命题的有（ ）
A．分层抽样调查后的样本中甲、乙、丙三种个体的比例为3：1：2，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30
B．某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间[114.5，124.5]内的频率为0.4
C．甲、乙两队队员体重的平均数分别为60，68，人数之比为1：3，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为67
D．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5
【答案】BD
【分析】根据分层抽样的性质判断A选项；利用落在区间内的个数除以总数计算概率，即可判断B选项；由甲、乙两队的人数比，计算出两队在所有队员中的所占权重，然后利用平均数的计算公式，即可判断C选项；由百分位数的性质，即可判断D选项.
【详解】对于选项A：根据样本的抽样比等于各层的抽样比，样本容量为，故选项A错误；
对于选项B：样本数据落在区间内的有120，122，116，120共4个，所以样本数据落在区间内的频率为，故选项B正确；
对于选项C：甲、乙两队的人数之比为，则甲队队员在所有队员中所占权重为，乙队队员在所有队员中所占权重为，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为，故选项C错误；
对于选项D：将该组数据从小到大排列为：1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，由，则该组数据的分位数是第9个数，该数为5，故选项D正确.
10．一箱产品有正品10件，次品2件，从中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有（ ）
A．“恰有1件次品”和“恰有2件次品”B．
C．“至少有1件正品”和“至少有1件次品”D．“至少有1件次品”和“都是正品”
【答案】AD
【分析】判断各选项中的事件是否有同时发生的可能，即可确定答案.
【详解】A：“恰有1件次品”和“恰有2件次品”不可能同时发生，为互斥事件；
B：“都是次品”的基本事件中包含了“至少有1件次品”的事件，不是互斥事件；
C：“至少有1件正品” 的基本事件为{“有1件正品和1件次品” ，“有2件正品” }，“至少有1件次品” 的基本事件为{“有1件正品和1件次品” ，“有2件次品” }，它们有共同的基本事件“有1件正品和1件次品” ，不是互斥事件；
D：由C分析知：“至少有1件次品”和“都是正品”不可能同时发生，为互斥事件；
故选：AD
11．已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，．（ ）
A．面积的最大值为
B．的最大值为
C．的取值范围为
D．
【答案】AB
【分析】由余弦定理、三角形面积公式及基本不等式计算判断A；由正弦定理，向量数量积的定义，三角恒等变换结合正弦函数的性质求解判断B；利用三角恒等变换结合正切函数的性质计算判断C；利用余弦定理计算判断D．
【详解】对于A，由，，得，当且仅当时取等号，即的最大值为4，
则面积，即面积的最大值为， A正确；
对于B，由正弦定理得，则，，
，
显然，有，，则当，
即时，取得最大值为，B正确；
对于C，，由，
得，因此的取值范围为，C错误；
对于D，由余弦定理得，D错误.
故选：AB
12．如图，在正方体中，点满足，且.记与所成角为与平面所成角为，则（ ）
A．若，三棱锥的体积为定值
B．若，存在，使得平面
C．
D．若，则在侧面内必存在一点，使得
【答案】ABC
【分析】利用正方体的结构特征，由三棱锥的体积计算判断A；取点，借助面面平行推理判断B；利用线线角、线面角的意义判断C；建立空间直角坐标系，借助空间向量计算判断D作答.
【详解】对于A，当时，取中点，中点，连接，
根据平面向量基本定理知，则在上，则，
平面，平面，则平面，
则到平面的距离为定值，又的面积为定值，
因此四面体的体积为定值，A正确；
对于B，当时，取，则F为的中点，取的中点，
令，则为的中点，连接，
显然平面，平面，则平面，
而，同理平面，又平面，
因此平面平面，又平面，所以平面，B正确；
对于C，过作交于，连接，由平面，
得平面，
而平面，有，
显然是与平面所成的角，即，
由，得是与所成的角，即，所以，C正确；
对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，当时，
，点在侧面内，
设，，
则，
于是始终为锐角，D错误.

故选：ABC
三、填空题
13．已知平面向量，若，则 .
【答案】
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示，列式计算，求出的值，即可求得答案.
【详解】由，
得，解得，
所以，
故答案为：
14．的展开式中的系数是 ．
【答案】126
【分析】根据展开式的通项公式表示出各部分中的系数，然后利用组合数的性质进行求解．
【详解】因为的展开式的通项公式为，
所以的展开式中的系数为：
．
故答案为：.
15．已知，函数在单调递减，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用三角恒等变换化简函数，结合三角函数的周期性，换元法及复合函数单调性列出关于的不等式组，从而得解.
【详解】因为
，
又在上单调递减，
所以，，则，所以，
令，
因为，，所以，
所以问题转化为在（）上单调递减，
则问题转化为在（）上单调递减，
又，，单调递减区间为，，
所以，
所以，解得.
故答案为：.
16．设是定义在上的单调函数，若，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】根据题意，设，得到，结合，求得的值，得到，把不等式转化为，即可求解.
【详解】由，可得必为定值，
设，即，
由，解得，所以，
则不等式，即为，可得，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
四、解答题
17．在中，角，，所对的边分别是，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)设，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，再运用正弦的和角公式求得，根据角B的范围可求得答案；
（2）运用余弦定理求得b，再运用正弦定理求得，利用同角三角函数间的关系，正弦的二倍角公式，以及正弦的和角公式可求得答案.
【详解】（1）解：由正弦定理得，即.
∴，
又，∴，则，
又，故.
（2）解：由，，可得，即，
因为，所以，
又，则，，
所以，，
∴.
18．在中，角的对边分别为的面积为，已知.
(1)求角；
(2)若的周长为，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用正弦定理及三角恒等变换即可求解；
(2)由余弦定理及三角形的面积公式得，再由基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）因为，
所以，
即，
由正弦定理，得，
因为，
所以，
因为，所以，所以，
又，所以.
（2）由余弦定理，得，即，
所以，即，
因为，，
所以，
所以，
又（当且仅当时取等号），
所以（当且仅当时取等号），
所以（当且仅当时取等号），
所以（当且仅当时取等号），
即的最大值为.
19．已知数列的前项的和，数列的前项的和满足，.
(1)分别求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项的和.
【答案】(1)；.
(2)
【分析】（1）由即可求得的通项公式，由与的关系即可求得的通项公式.
（2）根据错位相减法即可得出结果.
【详解】（1）当时，．
当时，，满足上式，
故数列的通项公式为.
当时，由，得，
两式相减得
即,
所以，
又当时，，解得，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
∴．
（2）由（1）知：，
①
②
得：

．
∴．
五、证明题
20．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面二面角的大小为，分别是的中点．
（1）求证：平面
（2）在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）2
【分析】（1）连接，取的中点，连接可证平面故而
论成立；
（2）设建立坐标系，利用向量求出到平面的距离，解方程得出的值，得出结论．
【详解】（1）证明：连接，取的中点，连接
分别是的中点分别是的中点，
又
平面，
分别是的中点，
又平面平面，
平面
（2）解：平面平面
又
平面
为二面角的平面角，即
以为坐标原点建立如图所示的空间坐标系如图所示：
设
则， ， ．
设平面的法向量为，则，
，令可得
，
到平面的距离，
解得．
，线段上是否存在一点，使得点A到平面EFM的距离为．
且．
【点睛】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
六、解答题
21．某县一高级中学是一所省级规范化学校，为适应时代发展､百姓需要，该校在县委县政府的大力支持下，启动建设了一所高标准､现代化､智能化的新校，并由县政府公开招聘事业编制教师，招聘时首先要对应聘者的简历进行评分，评分达标者进入面试环节，面试时应聘者需要回答三道题，第一题考查教育心理学知识，答对得10分，答错得0分；第二题考查学科专业知识，答对得10分，答错得0分；第三题考查课题说课，说课优秀者得15分，非优秀者得5分．
（1）若共有2000人应聘，他们的简历评分服从正态分布，80分及以上为达标，估计进入面试环节的人数(结果四舍五入保留整数)；
（2）面试环节一应聘者前两题答对的概率均为，第三题被评为优秀的概率为，每道题正确与否､优秀与否互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的分布列及其数学期望．
附：若随机变量，则.
【答案】（1）317人；（2）分布列答案见解析，数学期望：．
【分析】（1）根据正态分布概率公式求出80分及以上的概率，结合总人数即可求解结果；
（2）列出的可能取值，根据独立事件的概率乘法公式求出各情况的概率，然后写出分布列求解数学期望．
【详解】解：（1）因为服从正态分布，
所以
因为，
所以进入面试环节的人数约为317人；
（2）记该应聘者第题答对为事件，第3题优秀为事件
的可能取值为
则
所以的分布列为
所以的数学期望为.
【点睛】思路点睛：
求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）
七、证明题
22．已知函数，(a，b∈R)
（1）当a=﹣1，b=0时，求曲线y=f(x)﹣g(x)在x=1处的切线方程；
（2）当b=0时，若对任意的x∈[1，2]，f(x)+g(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a=0，b>0时，若方程f(x)=g(x)有两个不同的实数解x1，x2(x12.
【答案】（1）（2）（3）证明见解析
【分析】（1）求出的导函数，求出函数在时的导数得到切线的斜率，然后用一般式写出切线的方程；
（2）对，，都成立，则对，，，恒成立，构造函数，求出的最大值可得的范围；
（3）由，得，构造函数，将问题转化为证明，然后构造函数证明即可．
【详解】（1）当时，时，，
当时，，
，
当时，，
曲线在处的切线方程为；
（2）当时，对，，都成立，
则对，，恒成立，
令，则．
令，则，
当，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减，
，，
的取值范围为；
（3）当，时，由，得，
方程有两个不同的实数解，，
令，则，，
令，则，
当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，
，
，
又，（1），
，
，
只要证明，就能得到，即只要证明，
令，
则，
在上单调递减，则，
，
，
，
，
即，证毕．
【点睛】本题主要考查求曲线的切线方程，不等式恒成立问题和利用导数研究函数的单调性，考查函数思想和分类讨论思想，属难题．
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