2024届内蒙古科尔沁左翼中旗实验高级中学高三上学期12月月考数学（含解析）

科左中旗民族职专·实验高中普高高三第三次月考（数学）答案卷面分值：150分考试时间：120分钟 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题1. 设全集，集合，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.【详解】由题意，，所以,所以.故选：D.2. 若复数z满足，则（）A. 1 B. 5 C. 7 D. 25【答案】B【解析】【分析】利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模．【详解】由题意有，故．故选：B．3. 若，则的大小关系为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【详解】由在R上递增，则，由在上递增，则.所以.故选：D4. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得，对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数；对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，，定义域不关于原点对称，不奇函数.故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.5. 若，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：．故选：C．【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．6. 若，则（）A. B. C. 1 D. 【答案】C【解析】【分析】由已知表示出，再由换底公式可求.【详解】，，.故选：C.7. 设等比数列中，前n项和为，已知，，则等于（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用等比数列的性质、等比中项的性质进行求解.【详解】因为，且也成等比数列，因为，，所以，所以8，-1，S9-S6成等比数列，所以8(S9-S6)=1，即，所以.故B，C，D错误.故选：A.8. 下列说法不正确的是（）A. 若，则B. 若，，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质即可判断A；利用作差法即可判断BC；举出反例即可判断D.【详解】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，，因为，，所以，所以，即，故B正确；对于C，，因为，所以，所以，即，故C正确；对于D，当时，，故D错误.故选：D.9. 已知，若，则的最小值是（）A. 8 B. 9 C. 10 D. 11【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式“1”的应用即可求解.【详解】由题意得，，，所以，当且仅当时，即，，取等号，故B项正确.故选：B.10. 已知函数图象的一条对称轴为直线，的一个周期为4，则的解析式可能为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据各项解析式，结合正余弦型函数性质，将代入验证，应用排除法即可判断.【详解】由，显然不是对称轴，排除A、C；由，显然不是对称轴，排除D；，即是对称轴，最小正周期，满足题设.故选：B11. 已知等比数列的前3项和为168，，则（）A. 14 B. 12 C. 6 D. 3【答案】D【解析】【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，所以，则，解得，所以.故选：D.12. 执行下边的程序框图，输出的n=（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】【分析】根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解.【详解】根据给定的程序框图，可得：第1次循环：，不满足判断条件，执行循环；第2次循环：，不满足判断条件，执行循环；第3次循环：，此时，满足判断条件，输出结果.故选：B.第II卷（非选择题）二、填空题13. 设为单位向量，且，则______________.【答案】【解析】【分析】整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形可得：，问题得解.【详解】因为为单位向量，所以所以解得：所以故答案为：【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.14. 函数的定义域是_________．【答案】【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【详解】解：因为，所以，解得且，故函数的定义域为；故答案为：15. 若函数一个零点为，则__________．【答案】1【解析】【分析】利用可得答案.【详解】若函数的一个零点为，则，即，解得.故答案为：1.16. 已知命题：，，则为______.【答案】，【解析】【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定即得.【分析】因为命题：，，所以为，.故答案为：，.三、解答题17. 已知关于的不等式.（1）若，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将代入，利用一元二次不等式的解法即可求解.（2）根据不等式的解集确定方程的根，再利用韦达定理即可求解.【详解】解：（1）时，不等式即为，它等价于，则.时，原不等式的解集为.（2）不等式的解集为，，且，是关于的方程的根.，.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法、由一元二次不等式的解求参数的取值，属于基础题.18. 已知数列满足，数列满足.（1）求数列及的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由已知判定数列是等比数列，是等差数列，即可求解（2）利用错位相减法即可求解【小问1详解】由已知所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，数列满足所以是以1为首项，2为公差的等差数列【小问2详解】①对上式两边同乘以2，整理得②①-②得所以19. 记的内角的对边分别为，已知．（1）证明：；（2）若，求的周长．【答案】（1）见解析 （2）14【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.【小问1详解】证明：因为，所以，所以，即，所以；【小问2详解】解：因为，由（1）得，由余弦定理可得，则，所以，故，所以，所以的周长为.20. 已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间；（3）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）的单增区间为，单减区间为；（3）【解析】【分析】（1）直接计算，求导计算，写出切线方程即可；（2）直接求导确定导数的正负，写出单调区间即可；（3）先根据必要性得到，再证明当时，，结合（2）中单调性证得，即满足充分性，即可求解.【小问1详解】，当时，，，，，故曲线在点处的切线方程为，即；【小问2详解】易得定义域为，当时，，令，或，当或时，单调递减；当或时，单调递增；故的单增区间为，单减区间为；小问3详解】“，即”是“当时，恒成立”的必要条件.当，时，，令，由（2）知，在单调递减，在单调递增，故，即，所以的取值范围是.21. 如图，在正四棱柱中，，是棱上任意一点．（1）求证：；（2）若是棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法从而求证；（2）利用空间向量法求解异面直线夹角.【小问1详解】证明：以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示；因为，所以，，，，所以，所以.【小问2详解】是棱的中点，故，则，设异面直线与所成角的大小为，则，故异面直线与所成角的余弦值为.22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设P为曲线上动点，求点P到的距离的最大值，并求此时点P的坐标.【答案】（1）；；（2）；【解析】【分析】（1）根据椭圆的参数方程即可得到的普通方程，利用，即可得到的直角坐标方程.（2）首先设，利用点到直线的公式得到，再利用三角函数的性质即可得到答案.【详解】（1）对于曲线有，所以的普通方程为.对于曲线有，，，即的直角坐标方程为.（2）联立，整理可得，，所以椭圆与直线无公共点，设，点到直线的距离为，当时，取最大值为，此时点的坐标为．