2024届上海市静安区市北中学高三上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2024届上海市静安区市北中学高三上学期12月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知集合，，若，则 ．
【答案】
【分析】由交集定义可得答案.
【详解】因，，，则，故.
故答案为：
2．已知，，且，是虚数单位，则 ．
【答案】
【分析】由复数相等概念可得答案.
【详解】因，则.
故答案为：2
3．已知两个正数，的几何平均值为1，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】由几何平均值的定义得到，利用基本不等式求解即可.
【详解】由题意得，即，故，当且仅当时，等号成立，
故答案为：2
4．已知圆柱的上、下底面的中心分别为、，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为 ．
【答案】
【分析】根据题意求出圆柱的底面圆半径和高，再计算圆柱的侧面积即可．
【详解】如图所示，
设圆柱的底面圆半径为，由截面为正方形可知圆柱的高，
所以该圆柱的轴截面面积为，
解得，
该圆柱的侧面积为
．
故答案为．
【点睛】本题考查圆柱的结构特征，考查圆柱侧面积的求法，属于基础题.
5．设圆与双曲线的一条渐近线相切，则该双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【分析】由题可知渐近线到圆心距离等于圆半径，据此可得答案.
【详解】设双曲线渐近线方程为：，
，则圆心坐标为，半径为1.
因圆与渐近线相切，则圆心到切线距离等于半径，即.
则双曲线的一条渐近线方程为，另一条渐近线方程为.
故答案为：
6．内角的对边分别为，若的面积为，则
【答案】
【分析】由余弦定理可得，根据条件结合三角形的面积公式可得从而可得答案.
【详解】由余弦定理可得，所以
的面积为
所以 即，由
所以
故答案为：
7．已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是 .
【答案】
【分析】根据图像判断出的关系，进而求得不等式的解集.
【详解】根据函数的图像可知：
，即，
不等式可化为，
即，
解得或，
所以不等式的解集是.
故答案为：
8．已知向量，且的夹角为，，则在方向上的投影向量等于 ．
【答案】
【分析】根据投影向量的定义先求得在方向上的投影，再乘以方向的单位向量即得．
【详解】，，
由已知，解得（负值舍去），
∴在方向上的投影为，在方向上的投影向量为．
故答案为：
9．已知数列满足，若满足且对任意，都有，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用等差数列前项和公式与二次函数的关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】由题意数列的通项公式为，,满足
，且对任意的恒成立，
当时，显然不合题意，根据二次函数性质可得，解得
，所以实数的取值范围是.
故答案为：.
10．若，其中，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由题可得，后通过导数求出最小值即可得答案.
【详解】可知，.则.
设，则，
令在上单调递增，
在上单调递减.
故，即的最小值为
.故答案为：
11．已知非零平面向量不平行，且满足，记，则当与的夹角最大时，的值为
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，再结合平面向量数量积的坐标及基本不等式的应用求出向量，进而通过运算求得的值.
【详解】建立如下图所示的平面直角坐标系，设，，设点、，
令，，则，得，
设，则，则点的坐标为，
则直线的斜率分别为，
由两直线的夹角公式可得：
，
当且仅当，即时取等号，此时，则，
所以.
故答案为：4.
12．已知为上的奇函数，且当时，，则的驻点为 ．
【答案】/
【分析】由导数得出在上单调递增，且，再结合奇偶性得出的驻点.
【详解】，令，
则，
当时，；当时，.
则函数在上单调递减，在上单调递增，即.
则，即函数在上单调递增，
且，
再由函数为上的奇函数，可得的驻点为.
故答案为：.
二、单选题
13．“”是“直线与垂直”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】试题分析：两直线垂直，所以，所以是充分不必要条件.
【解析】充要条件.
14．下列函数中，以为周期且在区间 单调递增的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】C
【分析】从周期来看，A、B选项排除；从单调性来看，C选项正确．
【详解】对于A选项，由于的周期为 ，故A选项不正确；
对于Ｂ选项，由于的周期为，故B选项不正确；
对于C选项，由于的最小正周期为，在区间上， 单调递增，故C选项正确；；
对于D选项，由于的最小正周期为，在区间上，单调递减，故D选项不正确．
故选：C．
15．在空间中，下列命题为真命题的是（ ）．
A．若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；
B．若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直；
C．若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线与另外一个平面垂直；
D．若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．
【答案】D
【分析】ABC均可举出反例，D可利用线面平行的性质及线面垂直的性质进行证明.
【详解】A选项，若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线异面，平行或相交，
如图1，直线⊥，⊥，但与异面，故A错误；
B选项，如图2，，，则，
故两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面不一定垂直，B错误；
C选项，如图3，平面与平面垂直，交线为，
则过平面内一点的直线m垂直于交线，但m与另外一个平面平行，C错误；
选项D，如图4，直线，直线⊥，则，理由如下：
因为，，，所以，
因为⊥，，所以⊥，故，证毕.
若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直，D正确
故选：D
16．设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列，给出下列两个命题：
①若对任意的正整数均有，则为和谐数列；
②若等差数列是和谐数列，则一定存在最小值；
下列说法正确的是（ ）．
A．① 是真命题，② 是假命题B．① 是假命题，② 真命题
C．① 和 ② 都是真命题D．① 和 ② 都是假命题
【答案】C
【分析】先得出的等价条件，然后再进行判断.
【详解】对于①：，
若，则，所以①正确；
对于②：设等差数列的公差为，
则，所以，
即为公差为的等差数列，
若为和谐数列，即，则，
所以关于的二次函数，开口向上，
所以在上一定存在最小值，所以②正确；
故选：C
三、解答题
17．已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)计算．
【答案】(1)
(2)-640
【分析】（1）设出公差，利用题干条件列出方程，求出公差，进而写成通项公式；
（2）在（1）的基础上，得到，即数列（正整数）为等差数列，利用等差数列求和公式进行求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则，．
因为，，成等比数列，所以，
即，
代入，解得．
所以，
所以的通项公式为；
（2）因为，
所以数列（正整数）是以为首项，为公差的等差数列，
所以.
18．如图，在四棱锥中，，且．
(1)证明：平面平面；
(2)若，，且四棱锥的体积为，求与平面所成的线面角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明；
（2）根据线面垂直的判定定理证明得底面，再根据四棱锥的体积公式求出，从而用线面角的定义求解.
【详解】（1）因为在四棱锥中，，
所以，，
又，所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）取中点，连结，
因为，所以，
由（1）知平面，平面，所以，
因为， 底面，
所以底面，
设，求得，，
因为四棱锥的体积为，
所以
解得，
所以，
因为底面，
所以为与平面所成的角，
在中，，
所以．
所以与平面所成的线面角为．
19．近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理的公园体系”,许多城市陆续建起众多“口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示,以中点A为圆心,为半径的扇形草坪区,点在弧BC上（不与端点重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ为步行道,其中PQ与AB垂直,PR与AC垂直.设.
(1)如果点P位于弧BC的中点,求三条步行道PQ、PR、RQ的总长度;
(2)“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道PQ、PR、RQ开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到1万元）
【答案】(1)(米)
(2)2022万元
【分析】(1)根据图依次求出三条线段长度即可求出总长度;
(2)将PQ、PR、RQ三边通过图中的关系用关于的等式表示,再记经济总效益,将进行表示,通过辅助角公式化简求出最值即可.
【详解】（1）解:由题,
,同理,故,
由于点P位于弧BC的中点,所以点P位于的角平分线上,
则,
,
因为,,
所以为等边三角形,
则,
因此三条街道的总长度为（米）.
（2）由图可知,
,
,
,
在中由余弦定理可知:
,
则,
设三条步行道每年能产生的经济总效益,则
,
当即时取最大值,
最大值为.
答:三条步行道每年能产生的经济总效益最高约为2022万元.
20．已知椭圆:，，．椭圆内部的一点，过点作直线交椭圆于，作直线交椭圆于．、是不同的两点．
(1)若椭圆的离心率是，求的值；
(2)设的面积是，的面积是，若，时，求的值；
(3)若点，满足且，则称点在点的左上方．求证：当时，点在点的左上方．
【答案】(1)的值为或
(2)1
(3)证明见解析
【分析】（1）分，两种情况结合离心率计算式可得答案；
（2）联立直线的方程与椭圆方程可得，联立直线的方程与椭圆方程可得.结合图形可得，后结合，及弦长公式可得，即可得答案；
（3）联立直线与椭圆方程可得，，后结合在椭圆内部可得大小，又由题意可得大小，即可证明结论.
【详解】（1）因为椭圆的离心率是.
当时，，得；
当时，，得；
所以的值为或；
（2）由题意，直线的斜率存在，直线的斜率存在，
，直线的方程，设．
则.
，直线的方程，设．
则.
由图，，
注意到，则.
又，同理可得
.则
（3）由题意，直线的斜率存在，直线的斜率存在，
，直线的方程，设．
则 .
，直线的方程，设．
则 .
则 .又在椭圆内部，则，故.
又根据题意知，所以.所以当时，点在点的左上方．
【点睛】关键点睛：本题涉及由离心率求参数，椭圆中的面积问题，及椭圆新定义，难度极大.（1）因不知焦点位置，故需分情况讨论；（2）问关键是用得到关于的表达式；（3）类似于（2），可得，，后利用作差法即可比较大小.
21．已知，
(1)求函数的导数，并证明：函数在上是严格减函数（常数为自然对数的底）；
(2)根据（1），判断并证明与的大小关系，并请推广至一般的结论（无须证明）；
(3)已知、是正整数，，，求证：是满足条件的唯一一组值.
【答案】(1)，证明见解析；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）求导，有导函数的正负得到函数的单调性，从而得到在上是严格减函数；
（2）在第一问的基础上，得到，变形后得到，写出一般的结论；
（3）先得到满足要求，再证明唯一性，在第二问的基础上，得到若，可知，与矛盾；若，求出，与矛盾；若，则即，容易验证，成立，当，得到，于是，矛盾，故是满足条件的唯一一组值.
【详解】（1）的导函数为，令，得，
列表：
所以，函数在上是严格减函数；
（2）判断得到，
下面证明：
由（1），，即，所以，
由的单调递增，得到.
推广：对于实数，若，则即，
以下是证明过程：
由（1）知：在上是严格减函数，
因为，所以，则，，
因为单调递增，所以.
（3）因为，可见满足，
下面证明唯一性：
①若，由第二问的结论可知，与矛盾；
②若，则即，与矛盾；
③若，则即，
显然不满足，成立，
若，由第二问结论可知：，则，于是，与矛盾.
综上，是满足条件的唯一一组值.
【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，对与先取对数变形，再结合第一问中的结论即可证明.
极大值