2024届新疆伊犁州霍尔果斯市苏港中学高三上学期第四次月考数学试题含答案

这是一份2024届新疆伊犁州霍尔果斯市苏港中学高三上学期第四次月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知全集，集合，则如图阴影部分表示的集合是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据集合的运算的定义结合Venn图计算.
【详解】由题意或，
图中阴影部分为，
故选：C．
2．已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用复数的运算法则以及共轭复数的定义即可得出结果.
【详解】因为，
即，
所以的共轭复数为，其虚部为.
故选：C.
3．已知，则＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由倍角公式和差角公式、平方关系求解即可.
【详解】.
故选：D
4．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据三角函数图象平移变化可得.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后，
所得图象对应的函数为，即.
故选：A
5．已知是等差数列的前n项和，，则的值是（ ）
A．60B．30C．15D．8
【答案】A
【分析】利用等差数列的性质求解.
【详解】因为数列为等差数列，
所以.
故选：A
6．在等比数列中，，则（ ）
A．-3B．3C．3或-3D．或
【答案】B
【分析】令等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式可得，进而可求解.
【详解】令等比数列的公比为，则，
所以，解得，
所以.
故选：B.
7．已知向量，，，若，则（ ）
A．3B．-1C．2D．4
【答案】A
【分析】运用共线向量的坐标表达式即得.
【详解】由，，又由，可得：，解得.
故选：A.
8．已知正方形的边长为，在边上，则的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，得出，，的坐标，设出点坐标，利用坐标运算求解即可．
【详解】由题意，建立如图所示坐标系，
则，，，
设，，
则，，
，
所以，
所以，
故当时，有最大值．
故选：C．
二、多选题
9．已知等差数列 的首项为，公差为，前项和为，若 ，则下列说法正确的是（ ）
A．B．使得成立的最大自然数
C．D．中最小项为
【答案】ACD
【分析】结合题意：利用等差数列及，判断出，并可以分析出，再利用数列的相关知识即可判断.
【详解】根据题意：即两式相加，
解得：，故A正确.
由，可得到，所以，
，，
所以，故C正确；
由以上可得：，
，而，
当时，；当时，；要使得成立的最大自然数，故B错误.
当，或时，；当时，；
由，,
所以中最小项为，故D正确.
故选：ACD.
10．若复数，则（ ）
A．的共轭复数
B．
C．复数的实部与虚部相等
D．复数在复平面内对应的点在第四象限
【答案】BD
【分析】对复数进行化简后，逐项判断即可.
【详解】，
则，故错误；
，故正确；
复数的实部为，虚部为，不相等，故错误；
复数在复平面内对应的点为，在第四象限，故正确，
故选：
11．设的内角的对边分别为，，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则满足条件的三角形只有1个
B．面积的最大值为
C．周长的最大值为
D．若为锐角三角形，则的取值范围是
【答案】BCD
【分析】根据即可判断A；根据余弦定理结合基本不等式即可判断BC；利用正弦定理化边为角，再结合三角函数的性质即可判断D.
【详解】对于A，因为，，
所以满足条件的三角形有2个，故A错误；
对于B，由余弦定理得，即，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以面积的最大值为，故B正确；
对于C，由余弦定理得，
即，所以，
当且仅当时取等号，
所以的周长，
所以周长的最大值为，故C正确；
对于D，由正弦定理得，
因为为锐角三角形，所以，，
即，，所以，故D正确．
故选：BCD.
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数
B．在区间上单调递增
C．有2个不同的零点
D．
【答案】ACD
【分析】根据函数奇偶性的定义和判定方法，可判定A正确；求得，结合函数和的图象的交点，可判定B错误；根据函数和在上有且仅有一个公共点，可判定C正确；结合即，得到，可判定D正确.
【详解】对于A中，函数的定义域为，关于原点对称，
且，所以函数为偶函数，所以A正确；
对于B中，当时，可得，则，
令，即，画出函数和的图象，如图所示，
可得两函数有交点，设交点为，所以函数在不是单调函数，所以B错误；
对于C中，函数，可函数为偶函数，
当时，令，即，作出函数和，
如图所示，此时函数和在上有且仅有一个公共点，
所以函数有2个不同的零点，所以C正确；
对于D中，令函数，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
因为，所以，即，所以，
所以，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．已知向量，非零向量与的夹角为，，则 .
【答案】
【分析】首先求出，再将两边平方，结合数量积的运算律及定义计算可得.
【详解】因为，所以，
又非零向量与的夹角为，，
所以，即，
所以，解得（舍去）或.
故答案为：
14．若正实数，满足，则的最小值是 .
【答案】.
【分析】应用基本不等式的乘“1”法即可求解.
【详解】由正实数，满足，即，
则，
当且仅当且，即，时等号成立.
故答案为：.
15．已知各项均不为0的数列满足，且，则 ．
【答案】/
【分析】将取倒数化简可得，即判断为等差数列，即可求得的通项公式，即可得答案.
【详解】由题意知数列满足，即，
即，
即为首项是，公差为1的等差数列，
故，
故，
故答案为：
16．已知定义在上的函数的导函数为，且满足.若，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】构造新函数，由题意分析出函数的单调性，从而解题.
【详解】解：设，则，
因为，
所以，故在上为增函数，
不等式等价于
故，即，
因为在上为增函数，
所以，解得.
故答案为：.
四、解答题
17．已知向量.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的数量积及三角恒等变换化简，根据正弦型函数的单调性求解；
（2）根据同角三角函数间的基本关系，结合角的变换及两角差的正弦公式求解.
【详解】（1）
，
令，
解得，
函数的单调递减区间为.
（2）由（1）知，，
又，
，则，
，
则
.
18．记△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．
(1)求角B的大小；
(2)若点D在边AC上，BD平分∠ABC，，，求线段BD长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理以及二倍角公式得出结果；
（2）由角平分线结合面积公式、余弦定理得出结果.
【详解】（1）由已知，
根据正弦定理，得，
因为，所以，
故有，
即有，
因为，所以，则，
所以，，则．
（2）依题意，，
即，也即为，
所以．
在△ABC中，根据余弦定理，
有，即，
解得，或（舍去），
所以．
五、证明题
19．已知数列的前n项和为，且．
(1)求证：数列是常数列；
(2)求数列的前n项的和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据与的关系计算即可；
（2）利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
得：，
在①中，令，得，
即，所以，
因为，，
所以，
所以数列是常数列；
（2）设数列的前项的和为，由（1）得：，
，
，
得：，
所以.
六、解答题
20．已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间和极值
(2)若在区间内恰好有两个零点，求的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为，极小值为，无极大
(2)
【分析】（1）根据题意，求导得，即可得到结果；
（2）根据题意，分与讨论，列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由得，且定义域为
∵，令，即，解得，
令，解得，
则的单调递增区间为，单调递减区间为；
在处的极小值为，无极大值.
（2）当，恒成立，在上单调递增，
故在区间内至多只有一个零点；
当时，由（1）得在上最小值为，
若在区间内恰有两个零点，则需满足，整理得.
21．在锐角中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且．
(1)求角C；
(2)若的面积为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据得到，再利用余弦定理求解即可.
（2）根据题意得到，根据为锐角三角形得到，，再利用到设求解函数的值域即可.
【详解】（1）因为，则：，由正弦定理得，
整理得：即，
则，又C为锐角，所以.
（2）因为，所以，则，
由余弦定理得①，
因为为锐角三角形，所以，即，
将①代入可得，即，解得.
令，，，得，
因为在单调递减，单调递增，
所以，
因为，，
所以，故的取值范围.
七、证明题
22．已知数列满足，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）对两边取对数，即可得到，从而得证；
（2）由（1）可得，再利用错位相减法计算可得.
【详解】（1）因为，，
所以，即，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）可得，
所以，
则，
所以，
则上式作差得，
所以.