2024届黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校高三上学期第三次月考数学试题含答案

这是一份2024届黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校高三上学期第三次月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】根据一元二次不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可.
【详解】，所以，
故选：C
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据全称量词命题的否定写出答案.
【详解】命题“”的否定是.
故选：B.
3．已知等差数列中，，则公差（ ）
A．4B．3C．D．
【答案】B
【分析】根据等差数列通项公式即可求解.
【详解】在等差数列中，，
所以有．
故选：B
4．已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合平面向量垂直的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
因为，
所以.
故选：D
5．已知圆台上下底面的半径分别为1和2，母线长为3，则圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据勾股定理求解圆台的高，再根据台体的体积公式求解即可.
【详解】由图可得，圆台的高为，
故圆台的体积为.

故选：B
6．在等比数列中，，则（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】C
【分析】先求出，再利用等比数列的性质可得，从而可得答案.
【详解】设该等比数列的公比为，
因为，所以由，
因此．
故选：C.
7．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于轴对称，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】根据平移求得平移后函数解析式，再根据的图像关于轴对称建立关系即可求解.
【详解】由题意，图像关于轴对称，
所以，得，，又，
所以实数的最小值为.
故选：B.
8．《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久､源远流长，音域宽广､音色柔美清澈，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A，B处分别作切线相交于点C，测得切线，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（ ）

A．0.62B．0.56C．-0.56D．-0.62
【答案】A
【分析】首先结合余弦定理求得，再根据角的互补关系，求圆心角的余弦值.
【详解】如图，设弧对应圆心是，根据题意，，，

则，
因为，
则在中，，
所以.
故选：A.
二、多选题
9．已知等比数列的前项和为，若，则数列的公比可能是（ ）
A．1B．C．3D．
【答案】AB
【分析】讨论与两种情况，求得或即可．
【详解】设数列的公比为，若，
则，满足题意；
若，由，得，解得，
综上，或．
故选：AB.
10．是边长为2的等边三角形，为的中点．下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据向量的运算逐个判定即可
【详解】对于A：，A正确；
对于B：，B错误；
对于C：由平行四边形法则可知，所以，C正确；
对于D：，D错误，
故选：AC
11．已知数列满足，且数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是等差数列B．
C．D．若，则实数的取值范围为
【答案】ABD
【分析】由可得，可求出通项公式，从而可判断AB；错位相减法求出，从而可判断CD.
【详解】由，得，即，
所以是等差数列，公差为，首项为，A正确；
所以，则，B正确；
数列的前项和为：，①
，②
由①减②可得
，
即，C错误；
由，得，因为当时，单调递增，
所以当时，的值最小．即，所以，
所以实数的取值范围为，D正确．
故选：ABD.
12．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据题意可构造函数利用导数判断其单调性可得，再构造函数，由导数可得其单调性可知，便可得出结论.
【详解】令，则，
当时，，所以在上单调递增，
所以，则，所以，可得，即B错误，C正确；
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，所以，
即，即，所以，可得，即A正确，D错误；
故选：AC
三、填空题
13．已知，则 .
【答案】
【分析】根据复数的乘法运算以及模公式求得结果.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：.
14．若是上的奇函数，且在上单调递减，则函数的解析式可以为 .（写出符合条件的一个解析式即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意，由函数的奇偶性和单调性，结合初等函数的性质，即可求解.
【详解】由函数是上的奇函数，且在上单调递减，可取函数.
故答案为：（答案不唯一）
15．已知三棱锥中，，，当该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】判断平面时，该三棱锥体积最大，再由球的表面积公式求解．
【详解】，的外接圆半径为，
由题意得当平面时，该三棱锥体积最大，
此时其外接球的球心到平面的距离为，
故外接球半径为，表面积为，
故答案为：
16．已知数列中，，若对任意，则数列的前项和 ．
【答案】
【分析】由，可得，利用等比数列的通项与求和公式，结合累加法可得答案.
【详解】由，且，可知，
则可化为，
则有，即是等比数列，
且公比为2，首项为，则，
所以
，
即数列的前项和为．
故答案为：.
四、解答题
17．已知等差数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最小值及取得最小值时的值．
【答案】(1)
(2)当时，最小，最小值为．
【分析】（1）列方程求出，即可求数列的通项公式；
（2）由（1）知，利用二次函数的性质可求的最小值及取得最小值时的值．
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由，得，
解得，
所以．
（2）由（1）知，
又，所以当时，取最小，最小值为．
18．已知函数.
(1)求的最大值及取得最大值时的值；
(2)在中，内角所对应的边为，若，成等差数列，且，求的值.
【答案】(1)时，最大值
(2)
【分析】（1）化简函数，结合三角函数的性质，即可求解；
（2）由，求得，再题意得到和，结合余弦定理，即可求得的值.
【详解】（1）解：由函数
，
当时，即，此时函数取得最大值.
（2）解：由函数，
因为，即，即，
又因为，可得，可得，解得，
因为成等差数列，可得，
又因为，可得，所以，
又由余弦定理可得，
即，所以.
19．已知等差数列中，，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比中项求出公差即可；
（2）根据裂项相消法求和即可.
【详解】（1）因为为等差数列，设公差为，
又因为成等比数列，即，
即，解得，
所以；
（2），
所以.
20．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，向量，，且.
(1)求角A的大小；
(2)若点D为边BC上靠近B的四等分点，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由，利用平面向量共线的坐标运算，得出，且，进而得出，即可求出，结合三角形的内角，即可求出的值；
（2）设，由点为边靠近点的四等分点，得，由三角形内角和可算出，在中，利用余弦定理求出，从而得出和，最后利用三角形的面积公式即可求出的面积.
【详解】（1）由题可知，，，且，
所以，即，
所以，
又，所以，即，
所以，
若，则，与矛盾，所以，所以，
又为的内角，所以，所以的值为.
（2）设，由点为边靠近点的四等分点，得，
由（1）得，且已知，则，
在中，根据余弦定理：，
得，
解得：，所以，所以，
所以的面积为.

21．已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且，.
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据等差等比数列的公式法求得通项；
（2）先求解，根据并项求和法得出结果.
【详解】（1）由题可知数列是公差为1的等差数列，且，
则，解得，
所以，
设等比数列的公比为，且，
则解得，
所以，
所以和的通项公式为.
（2）由（1）得为，则
，
所以数列的前项和
.
22．已知函数.
(1)求函数的图象在处的切线方程；
(2)已知，若函数恰有一个零点，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线方程；
（2）二次求导，确定导函数的最值情况，进而确定函数的单调性与零点情况.
【详解】（1），，
所以，，
所以函数的图象在处的切线方程为，即；
（2）由题知，
因为函数恰有一个零点，且，
故是函数的一个零点，
又，
不妨设，函数定义域为，则，
当时，，
又，，
所以在恒成立，
则函数在上单调递增，即函数在上单调递增，
又，当时，可得，，则，
则存在，使得，此时在上，有，在上，，
故在上为减函数，在上为增函数，
此时，
又，
故函数在上存在一个零点，
则此时函数至少存在两个零点，
又因为是函数的唯一零点，故不符合题意；
当时，可得，又，
所以在区间上存在一点，使得，
故当在上，有，在上，有，
故在上为增函数，在上为减函数，
则，
又，
故此时函数在上至少存在一个零点，
又因为是函数的唯一零点，故不符合题意；
当时，即时，函数在有唯一零点为，
此时在上单调递减，在上单调递增，
则当时，函数取得最小值，，符合题意，
综上，满足条件的值为.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．