2024届湖南省衡阳市第八中学等高三上学期11月质量检测数学试题含答案

这是一份2024届湖南省衡阳市第八中学等高三上学期11月质量检测数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．1B．4C．6D．7
【答案】C
【分析】首先求解集合，再根据并集的定义，即可求解.
【详解】因为，
，所以，有6个元素.
故选：C.
2．已知是虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用复数的四则运算得出结果.
【详解】，所以复数的虚部为，
故选：A.
3．设a，b是空间两条不同直线，则“a与b无公共点”是“a与b是异面直线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据异面直线的定义判断即可.
【详解】当a与b无公共点时，a与b可能平行或异面，反之，当a与b是异面直线时，a与b无公共点.
故选：B.
4．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的定义域，排除CD选项，再由函数的为偶函数，排除A选项，即可求解.
【详解】由函数，可得其定义域为，可排除C、D选项，
又由，所以函数为偶函数，排除A选项.
故选：B.
5．已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出，然后利用投影向量的公式求解.
【详解】由，得，
又，所以，
所以向量在向量上的投影向量为，
故选：A.
6．如图是一坐山峰的示意图，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为，峰底A到峰顶的距离为，B是山坡的中点.为了发展当地旅游业，现要建设一条从A到B的环山观光公路，当公路长度最短时，公路距山顶的最近距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆锥的侧面展开图，即可根据弧长公式可得，进而根据等面积法即可求解.
【详解】以为分界线，将圆锥的侧面展开，可得其展开图如图.
则从点A到点B的最短路径为线段，，所以.
过S作，则公路距山顶的最近距离为，
因为，所以，
故选:D.
7．已知函数满足，对任意实数x，y都有成立，则（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】D
【分析】令，得，然后做恒等变形，得出函数的周期，然后求出一个周期内的各个值即可.
【详解】因为且，
令，得，则，
所以，即，所以，
所以，故函数是周期为6的周期函数.
令，，得，则，
令，，得，则，
由，得，，，，所以，
又，故由函数的周期性知，，
故选：D.
8．已知，函数与的图象在上最多有两个公共点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用辅助角公式设，根据题意结合正弦函数的图象和性质求解即可.
【详解】设，
因为在上最多有两个零点，
所以，所以，
由得，
（1）由得；（2）由得；
（3）由得；（4）由得；
（5）由得此时不等式组无实数解，
综上可得，
故选：C
二、多选题
9．若a，，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BD
【分析】取特殊值或利用作差法，以及根据函数的单调性，即可判断选项.
【详解】对选项A，取，，满足且，则，故A错误；
对选项B，因为函数单调递增，当时，，故B正确；
对选项C，因为，所以，即，故C错误；
对选项D，因为函数是增函数，当，则，故D正确.
故选：BD.
10．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在14℃的保鲜时间是48小时，则下列说法正确的是（ ）
参考数据：，
A．
B．若该食品储藏温度是21℃，则它的保鲜时间是16小时
C．
D．若该食品保鲜时间超过96小时，则它的储藏温度不高于7℃
【答案】ACD
【分析】利用条件若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在14℃的保鲜时间是48小时，得出关于k和b的关系，然后依次判定各个选项.
【详解】在函数中，当时，，由，知，，故A正确；
当时，，所以，则，
当时，，故B不正确；
由，得，故C正确；
由，得，所以，故D正确.
故选：ACD.
11．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：，，则（ ）
A．B．当n为奇数时，
C．数列为等比数列D．数列的前项和小于
【答案】ACD
【分析】根据函数新定义即可知，，，可得A正确，由可得B错误；易知小于的所有正奇数与均互质,共有个，可得C正确；同理可得，利用等比数列前项和公式即可求得D正确.
【详解】对于A，因为，，，所以，故A正确；
对于B，由于，故B错误；
对于C，因为小于的所有正奇数与均互质，且小于的所有正奇数有个，
所以，因此数列为等比数列，故C正确；
对于D，同理小于的所有3的倍数与均不互质，共有个，
因此小于的所有与互质的数共有个，即，
所以，令，
则，故D正确，
故选：ACD.
12．已知正方体的棱长为2，P是正方体表面上一动点，且，记点P形成的轨迹为，则下列结论正确的是（ ）
A．，，B．，，
C．的长度是8D．的长度是
【答案】ACD
【分析】确定是正方体的棱的中垂面与四个侧面的交线，它是一个边长为2的正方形，判定A，C正确；空间问题平面化，建立坐标系求出轨迹P的轨迹方程，判断D正确，B错误
【详解】是正方体的棱的中垂面与四个侧面的交线，它是一个边长为2的正方形，它的周长是8，且，，，所以A，C正确；

在正方体两侧面、和上底面都是一段圆弧，它与其它三个面无公共点.将正方体两侧面和沿展开为平面图，
建立平面直角坐标系如图，设动点，因为，
所以，化简得，
故动点P在两侧面内轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，
因为，所以，所以，
所以在两侧面内点轨迹长度为.
在上底面内，动点P轨迹为以为圆心的一段圆弧，

如上图，由，可知，故，又，
所以，即圆弧所在圆的半径为，所以圆弧的长为，所以动点P形成的轨迹的长度为，且不存在这样的点P，Q，使，所以D正确，B错误.
故选：ACD.
三、填空题
13．已知等差数列的前n项和为，若，，则 .
【答案】0
【分析】设出公差，根据通项公式和求和公式基本量计算得到方程组，求出首项和公差，得到答案.
【详解】设数列的公差为d，由已知有，，
解得，，所以.
故答案为：0
14．写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 .
【答案】或或（答案不唯一）
【分析】根据两圆方程可得两圆相离，且关于原点对称，两圆半径相等，所以有过原点的两条公切线和与平行的两条公切线，利用点到直线距离即可求出结果.
【详解】由题设知，圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
所以，即两圆外离，故共有4条公切线；
又易知关于原点对称，且两圆半径相等，则有过原点的两条公切线和与平行的两条公切线.
设过原点的公切线为，则，即，解得或，
所以公切线为或；
设与平行的公切线为，且M，N与公切线距离都为1，
则，即，
所以公切线为.
故答案为：或或
15．已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】画出函数和的图像，根据图像知且，解得答案.
【详解】，画出函数和的图像，如图所示：
不等式恰有一个整数解，则这个整数解为，
故且，解得.
故答案为：
16．已知函数，则方程的解的个数是 .
【答案】4
【分析】根据的解析式，求出的解析式，然后分段求解的根，即得答案.
【详解】依题意可得，，
当时，由得；
当时，由，即，得；
当时，由，即，得；
当时，由，即，得.
综上可得，方程有4个实数根，
故答案为：4
四、解答题
17．已知函数和在处有相同的导数.
(1)求；
(2)设是的极大值点，是的极小值点，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别求出，，然后由从而可求解.
（2）分别求出，的值，然后求解，从而求解.
【详解】（1）由题设知，，
因为，所以，即，
又，，故，得：，
故：.
（2）由题意得，，，，
于是，令
所以，，
故的值是.
18．如图，在斜四棱柱中，底面正方形的中心是O，且平面.
(1)证明：平面平面；
(2)若该四棱柱的所有棱长均为1，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据已知条件利用面面垂直的判定定理即可证明平面平面；
（2）法一：建立空间直角坐标系利用空间向量可求得二面角的余弦值为，
法二：根据二面角定义，利用线面垂直可作出二面角的平面角，即可求得二面角的余弦值.
【详解】（1）连接交于，连接，如下图所示：
由四棱柱性质可知四边形为平行四边形，
由于，分别是、的中点，
所以.
因为平面，且平面平面，
所以平面.
又因为平面，
所以平面平面.
（2）法一：
由于平面，所以，，
又易知为菱形，即，
故可以直线，，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
由于斜四棱柱的棱长均为1，所以，，，.
所以，.
设是平面的一个法向量，
由得 令得.
又由（1）知，，，平面，所以平面.
即是平面的一个法向量.
设二面角的平面角为，由图可知，.
所以.
故所求二面角的余弦值为.
法二：
由（1）知，，又，平面，
所以平面.
过点作于点，连接，则.
所以是二面角的平面角，如图所示：
因为该四棱柱的棱长为1，所以.
在中，，，所以.
在中，，则.
故所求二面角的余弦值为.
19．为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入.下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y（单位：亿元）的散点图，其中年份代码1∼10分别对应年份2013∼2022.
图1 图2
根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图.结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值：
表中，.
(1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型?并说明理由；
(2)（i）根据（1）中所选模型，求出y关于x的经验回归方程；
（ii）设该科技公司的年利润（单位：亿元）和年研发投入y（单位：亿元）满足（且），问该科技公司哪一年的年利润最大?
附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
【答案】(1)选择模型②更适宜，理由见解析
(2)（i）；（ii）该公司2028年的年利润最大
【分析】（1）根据残差图确定；
（2）根据最小二乘法求非线性回归方程即可求解；
【详解】（1）根据图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差；
模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜.
（2）（i）设，所以，
所以，，
所以关于的经验回归方程为
（ii）由题设可得，
当取对称轴即，即时，年利润L有最大值，
故该公司2028年的年利润最大.
20．在数列中，已知，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求的值；
(3)若数列满足，求证：.
【答案】(1)
(2)9
(3)证明见解析
【分析】（1）变形得到，得到是以1为首项，1为公比的等比数列，求出通项公式；
（2），裂项相消法求和；
（3）分和两种情况，得到,
【详解】（1）由可得，
因为，所以，
又，故是以1为首项，1为公比的等比数列，
所以，.
（2）因为，
所以.
（3），
当时，，
，
当时，
，
且，
所以.
21．在中，为边上的高，已知.
(1)若，求的值；
(2)若，，求的最小值及取最小值时k的值.
【答案】(1)
(2)的最小值为，此时k的值为
【分析】(1)由余弦定理可以得到与边之间关系，结合第一问的条件利用等面积法既可以求得；(2)参照第一问的解法，再结合第一问的结论，可以求得的取值范围，再利用二倍角公式即可求得.
【详解】（1）设a，b，c分别为角A，B，C所对的边，，则.
在中，由余弦定理得.
由，得，所以.
因为，所以，于是，
而.
（2）法一：由（1）知，.
如图，在中，过B作的垂线，且使，
则，则，
即，所以.
于是，即
令函数，，则在上单调递增，
所以，此时.
故所求的最小值为，此时k的值为.
法二：由，
得，即，
化简得，即，
因为，，所以，
于是，即
令函数，，则在上单调递增，
所以，此时.
故所求的最小值为，此时k的值为.
22．已知函数.
(1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
(2)讨论函数的零点个数.
【答案】(1)
(2)当时，有两个零点；当时，有一个零点.
【分析】（1）根据题意，转化为时，；时，，令，利用导数求得函数的单调性与极值，即可求解；
（2）法一：由（1）可知，当和时，有一个零点；当时，得到，令，利用导数求得函数的单调性，结合，得到存在，使得，根据的单调性，转化为时，存在，使得，分类讨论，即可求解；
法二：根据题意，转化为时，，令，利用导数求得函数的单调性与极值，结合函数图象，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，可得对恒成立，
当时，显然成立；当时，；当时，，
令，则，
当时，；当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，
当时，可得，当时，，
所以当时，；当时，，
综上可得，实数的取值范围是.
（2）法一：由（1）可知，当时，有一个零点；
当时，在上单调递增，当x趋于0时，趋于负无穷大，且，故只有一个零点.
当时，.令，则，
时，；时，，
可得在上单调递减，在上单调递增，.
当x趋于0时，因为趋于0，所以趋于正无穷大，
又因为，所以存在，使得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
且当时，，，所以当时，在只有一个零点；
当时，在上单调递减，，
且x趋于正无穷大时，，所以存在，使得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又当x趋于0时，趋于负无穷大，，
所以当时，，当时，.
故当时，无论k为何值，取，总能有，
所以当时，有两个零点，
综上所述，当时，有两个零点；当时，有一个零点.
法二：由题意，可得，故当时，.
令，则，
所以在上单调递减，在上也单调递减，且当x大于0且趋于0时，趋于正无穷大，当x小于e且趋于e时，趋于负无穷大，当x大于e且趋于e时，趋于正无穷大，当x趋于正无穷大时，趋于0，
其大致图象，如图所示，
由图象可知，当时，有两个零点；当时，有一个零点.
【点睛】方法策略：利用导数研究函数的零点问题的求解策略：
1、分离参数法：根据不等式的基本性质将参数分离出来，得到一端是参数，一端是变量的表达式的不等式，转化为求解含有变量的表达式对应的函数的最值问题，进而求得参数的范围；
2、构造函数法：根据不等式的恒成立，构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，求出函数的最值，进而得出相应的含参数的不等式，从而求解参数的取值范围；
3、图象法：画出不等式对应的函数的图象，结合函数图象的走势规律，确定函数的极值点或最值点的位置，进而求得参数的取值范围.
75
2.25
82.5
4.5
120
28.35