2024届宁夏青铜峡市宁朔中学高三上学期第四次月考数学（文）试题含答案

这是一份2024届宁夏青铜峡市宁朔中学高三上学期第四次月考数学（文）试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，证明题，问答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据复数的四则运算求出，然后写出复数在复平面内对应的点的坐标，进而求解.
【详解】依题意，，解得，所以复数在复平面内对应的点为，位于第三象限．
故选：C.
2．已知全集，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解不等式求出集合，再求补集可得答案.
【详解】因为，
所以．
故选：C.
3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【分析】模拟执行循环结构的程序得到与的值，计算得到时满足判断框的条件，退出循环，输出结果，即可得到答案.
【详解】模拟执行循环结构的程序框图，可得：，
第1次循环：；
第2次循环：；
第3次循环：，
此时满足判断框的条件，输出.
【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中根据给定的程序框图，根据判断框的条件推出循环，逐项准确计算输出结果是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
4．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性判断出的范围即可.
【详解】因为，，
所以
故选：A
5．已知函数图像的一个对称中心为，则为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移1个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移1个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】A
【分析】根据函数图像的一个对称中心为，求得，进而得到，然后再利用平移变换求解.
【详解】因为函数图像的一个对称中心为，
所以，，
所以，，
又，
所以，
所以，
因为，
所以为了得到的图像，只需将函数的图像向左平移1个单位长度，
故选：A．
【点睛】易错点睛：将三角函数的图像进行平移的时候，要注意对平移的影响．
6．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函数为奇函数，排除C、D，根据，结合选项，即可求解.
【详解】由题意，函数的定义域为，关于原点对称，
又由，所以函数为奇函数，排除C、D；又因为，结合选项，可得选项A适合.
故选：
7．若是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（ ）
A．或B．C．D．或
【答案】A
【分析】由是2和8的等比中项求出的值，可得到圆锥曲线的方程，根据离心率定义可得结果.
【详解】是2和8的等比中项，或，
当时，方程为，表示椭圆，
，离心率为，
当时，方程为，表示双曲线，
，离心率为，
故选：A
8．已知函数，则
A．的最小正周期为，最大值为
B．的最小正周期为，最大值为
C．的最小正周期为，最大值为
D．的最小正周期为，最大值为
【答案】B
【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.
【详解】根据题意有，
所以函数的最小正周期为，
且最大值为，故选B.
【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.
9．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某中学2018级某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成角，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合题中关系,可得,可求出,再由离心率,可求出答案.
【详解】设圆柱的底面半径为,椭圆的长轴为,短轴为,
则,,即,
故离心率.
故选:B.
【点睛】本题考查了椭圆的离心率,考查椭圆的几何性质,考查学生的计算能力与推理能力,属于基础题.
10．等比数列中，，且前三项和为，则公比q的值是（ ）
A．1B．C．1或D．－1或
【答案】C
【分析】由等比数列通项公式基本量运算求解．
【详解】由题意，
解得或．
故选：C．
11．若直线与曲线相切，则
A．3B．C．2D．
【答案】A
【分析】设切点为，对求导，得到，从而得到切线的斜率，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果.
【详解】设切点为，
∵，∴
由①得，
代入②得，
则，，
故选A.
【点睛】该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.
12．设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】设点，由依题意可知，，，再根据两点间的距离公式得到，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．
【详解】设点，因为，，所以
，
而，所以当时，的最大值为．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.．
二、填空题
13．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行第6列的数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 .
附：第1行至第2行的随机数表
21 16 65 08 90 34 20 76 43 81 26 34 91 64 17 50 71 59 45 06
91 27 35 36 80 72 74 67 21 33 50 25 83 12 02 76 11 87 05 26
【答案】15.
【分析】根据随机数表选取的方法，先确定选到的编号，然后再分析编号在01至20之间的编号，按照编号重复的删除后一个的原则，确定选出来的第五个个体的编号.
【详解】从随机数表的第1行第6列的数字开始，按规则得到的编号依次为50，89，03，42，07，64，38，12，63，49，16，41，75，07，15，94，50，……其中编号在01至20之间的依次为03，07，12，16，07，15，……按照编号重复的删除后一个的原则，可知选出来的第5个个体的编号为15.
故答案为：15.
14．双曲线的右焦点到直线的距离为 ．
【答案】
【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.
【详解】由已知，，所以双曲线的右焦点为，
所以右焦点到直线的距离为.
故答案为：
15．若，满足约束条件，则的最大值为 ．
【答案】6
【分析】首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式，之后在图中画出直线，在上下移动的过程中，结合的几何意义，可以发现直线过B点时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.
【详解】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：
由，可得，
画出直线，将其上下移动，
结合的几何意义，可知当直线在y轴截距最大时，z取得最大值，
由，解得，
此时，故答案为6.
点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.
16．已知数列，则数列的通项公式 ．
【答案】
【分析】取倒数后得为等差数列，再由等差数列的通项公式求解．
【详解】由题意得，故是首项为1，公差为1的等差数列，
得，即，
故答案为：
三、解答题
17．在中，角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若，，求的面积.
【答案】(1) ；(2) 或.
【分析】(1)利用正弦定理可将已知等式化为，再利用两角和的正弦公式可得，再确定的范围即可得出结果；
(2)利用余弦定理可得，由此求出，然后利用面积算公式即可求出结果.
【详解】(1)因为，所以，
因为是的内角，所以，所以，
所以，所以，即，
因为，所以，所以，所以.
(2)在中，由余弦定理得 ，
即，
所以，解得或，
当时，的面积；
当时，的面积，
所以，的面积为或.
【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式，同时考查两角和的正弦公式的逆用，属于基础题.
四、证明题
18．如图，四棱锥的底面是正方形，底面，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）连接交于点，连接，根据中位线和线面平行的判定定理即可证明；
（2）运用等体积法转化为，结合体积公式即可求解.
【详解】解：（1）连接交于点，连接，
因为四边形是正方形，为的中点.
又已知为的中点，.
平面，平面，
平面.
（2），.
又底面，
.
是的中点，
.
【点睛】求体积的常用方法：
（1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算；
（2）等体积法：选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换；
（3）割补法：首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算.
五、问答题
19．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：
（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的列联表：
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？
附：，
【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）有.
【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；
（2）根据表格中数据可得列联表；
（3）计算出，结合临界值表可得结论.
【详解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的天数有天，
所以该市一天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的概率为；
（2）由所给数据，可得列联表为：
（3）根据列联表中的数据可得
，
因为根据临界值表可知，有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关.
【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善列联表，考查了独立性检验，属于中档题.
六、证明题
20．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C相交于A，B两点，，是C的两条切线，A，B是切点．当轴时，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）当轴时可求得坐标，进而根据求解即可；
（2）设，根据导数的几何意义可得切线，的方程，联立可得的坐标，进而证明，，从而根据相似三角形的性质证明即可.
【详解】（1）由题意，，当轴时，将代入有，解得，又故，解得.
故抛物线C的方程为.
（2）由（1），设，直线的方程为，联立抛物线方程有，故.
又抛物线方程，故，故切线的方程为，即，同理可得切线的方程为，联立可得，解得，代入有，代入韦达定理可得.
故当时有，当时，因为，故，也满足.故恒成立.又,故.
所以，，故，故，故，即，即得证.
【点睛】本题主要考查了抛物线方程的求法，同时也考查了导数的几何意义结合抛物线的性质证明等式的问题，需要根据题意设切点，进而求得切线方程，得出交点坐标，进而得出垂直的关系证明即可.属于难题.
七、问答题
21．已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）当时，在上，是减函数,当时，在上，是减函数,在上，是增函数；（2）
【分析】求出函数的定义域，函数的导数，通过a的范围讨论，判断函数的单调性即可．（2）
对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，转化为在（0，+∞）上f（x）min＞0，利用函数的导数求解函数的最值即可．
【详解】（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）
又
当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数
当a＞0时，由f′（x）=0得：或（舍）
所以：在上，f′（x）＜0，f（x）是减函数
在上，f′（x）＞0，f（x）是增函数
（2）对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，即：在（0，+∞）上f（x）min＞0
由（1）知：当a≤0时，在（0，+∞）上f（x）是减函数，
又f（1）=2a﹣2＜0，不合题意
当a＞0时，当时，f（x）取得极小值也是最小值，
所以：
令（a＞0）
所以：
在（0，+∞）上，u′（a）＞0，u（a）是增函数又u（1）=0
所以：要使得f（x）min≥0，即u（a）≥0，即a≥1，
故：a的取值范围为[1，+∞）
【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
22．在平面直角坐标系中，已知直线(t为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，求的值.
【答案】（1）；（2）3.
【分析】（1）把展开得，两边同乘得,再代极坐标公式得曲线的直角坐标方程.（2）将代入曲线C的直角坐标方程得，再利用直线参数方程t的几何意义和韦达定理求解.
【详解】（1）把展开得，
两边同乘得①．
将代入①，
即得曲线的直角坐标方程为②．
（2）将代入②式，得，
点M的直角坐标为（0，3），
设这个方程的两个实数根分别为t1，t2，则
∴ t1＜0， t2＜0
则由参数t的几何意义即得.
【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的互化、直线参数方程t的几何意义，属于基础题.
八、证明题
23．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若的最小值为，且正数，，满足，证明：．
【答案】(1)或
(2)证明见解析
【分析】（1）首先利用绝对值的意义，去绝对值，再求解不等式；
（2）根据绝对值三角不等式求函数的最小值，再结合基本不等式，即可证明.
【详解】（1）由题意知，
当时，，解得；当时，，不等式无解；
当时，，解得．
综上所述，不等式的解集为或.
（2）证明：因为，当且仅当时取等号，
所以的最小值为4，即．
因为，，，所以，
即，当且仅当时取等号，
所以，
因为，所以．

32
18
4
6
8
12
3
7
10

0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
合计
64
16
80
10
10
20
合计
74
26
100