2023届四川省雅安市天立高级中学高三上学期9月月考数学（文）试题含答案

这是一份2023届四川省雅安市天立高级中学高三上学期9月月考数学（文）试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合​，集合​，则​（ ）
A．​B．​C．​D．​
【答案】D
【分析】先解出，根据交集的运算即可得出答案.
【详解】解，可得，即.
又，
所以，.
故选：D.​
2．设复数满足，则
A．B．
C．D．5
【答案】A
【分析】根据复数的运算，化简得，再根据复数模的运算，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，复数满足，则，
所以，故选A.
【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数模的运算，其中解答中熟记复数的四则运算，以及复数模的运算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
3．一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的侧面积为
A．B．24
C．D．
【答案】B
【分析】根据几何体的三视图可知，该几何体表示底面为边长为2的等边三角形，侧棱长为4的正三棱柱，利用侧面积公式，即可求解.
【详解】由题意，根据几何体的三视图可知，该几何体表示底面为边长为2的等边三角形，侧棱长为4的正三棱柱，所以该正三棱柱的侧面积为，故选B.
【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.
4．如图是某商场2018年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图（例如：第3季度内，洗衣机销量约占，电视机销量约占，电冰箱销量约占）.根据该图，以下结论中一定正确的是
A．电视机销量最大的是第4季度
B．电冰箱销量最小的是第4季度
C．电视机的全年销量最大
D．电冰箱的全年销量最大
【答案】C
【分析】根据商场2018年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图，逐项判定，即可得到答案.
【详解】由题意，某商场2018年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图，
可知：A中，第4季度中电视机销量所占的百分比最大，但销量不一定最大，所以不正确；
B中，第4季度中电冰箱销量所占的百分比最小，但销量不一定最少，所以不正确；
由图可知，全年中电视机销售中所占的百分比最多，所以全年中电视机销售最多，所以C正确；D不正确，故选C.
【点睛】本题主要考查了条形图表的应用，其中解答中认真审题、正确理解题意，根据图表中的数据与表示逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题与解答问题的能力，属于基础题.
5．已知等差数列满足，，则数列的前5项和为（ ）
A．10B．15C．20D．30
【答案】B
【分析】利用等差数列的性质计算可得，再求出公差即可计算作答.
【详解】等差数列中，，解得，于是得公差，，
所以数列的前5项和为.
故选：B
6．若函数在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由导数几何意义得，然后由基本不等式得最小值．
【详解】由已知，所以，
，当且仅当时等号成立．
故选：A．
7．已知直线与圆：相交于、两点，为圆心.若为等边三角形，则的值为
A．1B．
C．D．
【答案】D
【分析】由为等边三角形，所以，由弦长公式求得，利用圆心到直线的距离公式，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，圆可知，圆心，半径，
因为为等边三角形，所以，
由弦长公式，可得，解得，
所以圆心到直线的距离为，解得，故选D.
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中根据圆的弦长公式，求得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
8．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】确定函数在定义域内的单调性，计算时的函数值可排除三个选项．
【详解】时，函数为减函数，排除B，时，函数也是减函数，排除D，又时，，排除C，只有A可满足．
故选：A.
【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．
9．已知双曲线的上下焦点分别为，，过作双曲线渐近线的垂线，垂足为点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题知在直角三角形中，，，进而根据面积得，再结合离心率公式即可得答案.
【详解】解：由题知，双曲线渐近线的方程为，
所以到渐近线的距离为，
所以在直角三角形中，，
所以的面积为，即
所以双曲线的离心率为
故选：D
10．四棱锥的底面是矩形，侧面平面，，，则该四棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如图，设的中心为，球心为O，则，设O到平面的距离为d，则，求出的值，即可求出四棱锥外接球的体积
【详解】取的中点E，连接中，
∴，，设的中心为，球心为O，则，
设O到平面的距离为d，则，
∴，
∴四棱锥的外接球的体积为.
故选：B.
【点睛】此题考查求四棱锥外接球的体积，考查学生的计算能力，考查空间想象能力，属于中档题
11．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】化简可得：，再利用弦化切即可得解.
【详解】
.
故选：A.
【点睛】本题考查了诱导公式和两角和公式，考查了弦化切的计算，属于基础题.
12．已知函数，若不相等的实数，，成等比数列，，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题利用函数的奇偶性及单调性求得函数的值域，然后利用均值不等式判断与的大小关系从而进行判断．
【详解】，均为偶函数，
故函数为偶函数，
，令
，
，，
，故单调递增，即单调递增，
又，∴在恒成立，
故在函数递增，且，
故函数在递减，在递增，
且函数恒成立，
，，成等比数列，
当，均为正数时，
由均值不等式有：，①，
当，均为负数时，
由均值不等式有：，②，
由①②有：，
又，，互不相等，故，
故，
，
故选：D．
二、填空题
13．已知向量.若，则实数 .
【答案】2
【分析】根据数量积的坐标运算即可确定 .
【详解】因为，所以，解得；
故答案为：2.
14．记为数列的前项和，若，，则 .
【答案】360
【分析】根据递推公式，当求出，当，求出关系，即可求解.
【详解】，，
当时，，
当时，，两式相减得，
，又，
是为首项公比为的等比数列，，
.
故答案为：.
15．经过抛物线的焦点的直线l与E相交于A､B两点，与E的准线交于点C.若点A位于第一象限，且B是AC的中点，则直线l的斜率等于 .
【答案】
【分析】设设，由B是AC的中点得，再设直线方程为，代入抛物线方程由韦达定理得，结合起来可求得．
【详解】由题意抛物线的焦点为，准线方程为，
设，则，∵是中点，所以①，
设直线方程为，由，得，
所以②，③．
由①③得，代入②可解得，
∵在第一象限，∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线的焦点弦问题，实际上掌握焦点弦性质可以很快得出结论．抛物线，是抛物线的过焦点的弦，，则有，，．本题中由结合中点得出的可求得，即可得坐标，从而得直线斜率．
16．已知函数，则下列结论正确的有 ．
①是周期函数，且最小正周期为；
②的值域为；
③在区间上为减函数；
④的图象的对称轴为．
【答案】②③
【分析】现将函数的解析式进行化简变形，利用三角函数的周期性即可判断①；
利用正弦函数的有界性可判断②；利用正弦函数的单调性可判断③；利用正弦函数的对称轴可判断④.
【详解】，
，，
易知的最小正周期为，故①错误；，，，②正确；当时，，单调递减区间为，再由周期为，故③正确；直线也是图象的对称轴，故④错误．
故答案为：②③
三、解答题
17．的内角、、所对的边分别为、、，已知.
（1）求角；
（2）若，求面积的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由正弦定理边角互化思想结合两角和的正弦公式可求得的值，再结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用正弦定理、两角和的正弦公式，结合三角恒等变换思想以及三角形的面积化简得出，求得角的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得面积的取值范围.
【详解】（1）由及正弦定理得：，
所以，即，
因为，，所以，
又因为，所以；
（2）因为，由正弦定理得，
则，，
因为
，，，
所以，所以，
所以面积的取值范围为.
【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，同时也考查了三角形面积取值范围的计算，考查了三角恒等变换思想的应用，考查计算能力，属于中等题.
18．为了巩固拓展脱贫攻坚的成果，振兴乡村经济，某知名电商平台决定为脱贫乡村的特色水果开设直播带货专场．该特色水果的热卖黄金时段为2021年7月10日至9月10日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2021年7月10日至7月14日时段中的相关数据，这5天的第x天到该电商平台专营店购物的人数y（单位：万人）的数据如下表：
(1)依据表中的统计数据，请判断该电商平台的第x天与到该电商平台专营店购物的人数y（单位：万人）是否具有较高的线性相关程度？（参考：若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，计算r时精确度为0.01）
(2)求购买人数y与直播的第x天的线性回归方程；用样本估计总体，请预测从2021年7月10日起的第38天到该专营店购物的人数（单位：万人）．
参考数据：，，．
附：相关系数，回归直线方程的斜率，截距．
【答案】(1)具有较高的线性相关程度
(2)，314万人
【分析】（1）由已知计算相关系数即可.
（2）由列表计算、，可得线性回归方程进一步可得解.
【详解】（1）由表中数据可得，所以，
又，
所以，
所以该电商平台直播黄金时段的天数x与购买人数y具有较高的线性相关程度．
所以可用线性回归模型拟合人数y与天数x之间的关系．
（2）由表中数据可得，
则，所以，
令，可得（万人）
19．已知四边形为矩形，，，将沿对角线折起为，设在底面内的射影为.
（Ⅰ）若在线段上，求长度；
（Ⅱ）若面⊥面.求三棱锥的体积.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）作，连接，利用线面垂直的判定定理以及性质证明，再由，得出长度；
（Ⅱ）由面面确定在底面内的射影落在上，且，求出的长，进而得出，最后由棱锥的体积公式计算即可.
【详解】（Ⅰ）如下图所示，作，连接，
由翻折前后同一个面内的垂直关系不变，∴
∵⊥面，面，∴
∵，面，
∴面，∴
∴在一条直线上
∵四边形为矩形，，，且
∴
即，∴
（Ⅱ）如下图所示，∵面面
∴在底面内的射影落在上，且，
在中，
【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及性质定理、面面垂直性质定理、三棱锥体积，考查空间想象能力以及综合分析论证与求解能力，属中档题.
20．已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为，，A为C的上顶点，且的周长为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l：与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，当k为何值，恒为定值，并求此时面积的最大值．
【答案】(1)
(2)，面积的最大值为1
【分析】（1）由椭圆的定义可知的周长为，结合离心率，即可求解；
（2）联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可得，若恒为定值，则与无关，即可求得值；将代回可得，设点到直线的距离，则，利用均值不等式即可求解.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为．因为的周长为，
所以，①
因为椭圆的离心率为，所以，②
由①②解得，．
则．
所以椭圆的方程为．
（2）设，，
联立，消元得，
当，即时，
则，，
则
，
当为定值时，即与无关，故，得，
此时
，
又点到直线的距离，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
经检验，此时成立，
所以面积的最大值为1．
21．已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间是，无单调递增区间.
(2).
【分析】（1）求出导函数． 定义，利用导数判断出，得到，即可求得的单调区间；
（2）把不等式对恒成立转化为当时，只需.设，,二次求导得到，． 对a分类讨论：①当时，②当时，③当时三种情况分别求解，即可求出实数的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，．
设，则，
当为增函数；当为减函数.
有最大值，，，
的单调递减区间是，无单调递增区间．
（2）不等式对恒成立，
则．
当时，只需
设，,则.
，，
，．
①当时，，递减，则，故递减，
所以，故不满足．
②当时，，故当时，，则递减，则，，故当时，递减，
所以，故不满足．
③当时，，则递增，，故递增，所以，满足题意．
综上：不等式对任意恒成立时，．
所以实数的取值范围为
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)考查数形结合思想的应用．
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），直线的参数方程为为参数，，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）已知直线与曲线相交于两点，且，求．
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得曲线C的极坐标方程；
（2）求得直线直线的极坐标方程为，联立方程组，化简得，根据，列出方程，即可求解.
【详解】（1）由曲线的参数方程可得普通方程为，
即，
所以曲线的极坐标方程为.
（2）由直线的参数方程可得直线的极坐标方程为，
因为直线与曲线相交于、两点，所以设，，
联立可得，
因为，即，
所以 ，
解得，所以或.
【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标，以及参数方程与普通方程的互化，以及极坐标方程的应用，其中解答中熟记极坐标方程的应用，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
四、证明题
23．已知函数.
（1）解不等式；
（2）当，时，证明：.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【分析】（1）由题意，代入得到不等式，分类讨论，即可求解不等式的解集；
（2）根据绝对值的三角不等式，以及基本不等式，可得，即可作出证明.
【详解】（1）原不等式等价于，
等价于或或，
解得或，
所以原不等式的解集是.
（2）当，时，，
因为，
所以当且仅当，即时等号成立，
所以.
【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的求解，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记含绝对值不等式解法，以及合理应用绝对值三角不等式和基本不等式求最值是解答本题的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
日期
7月10日
7月11日
7月12日
7月13日
7月14日
第x天
1
2
3
4
5
人数y（单位：万人）
75
84
93
98
100