2024届河北省承德市双滦区实验中学高三上学期11月月考数学模拟试题含答案

这是一份2024届河北省承德市双滦区实验中学高三上学期11月月考数学模拟试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设全集，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】解不等式确定集合，再根据集合运算的法则计算．
【详解】因为，
，
所以.
故选：A.
2．已知复数z满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据复数的运算法则和模的定义即可求出复数z，再根据共轭复数定义即可得结果.
【详解】由，得，
所以，
故选：A.
3．平面向量，，且．若，则（ ）
A．0B．2C．0或D．
【答案】C
【分析】根据平面向量的模与数量积运算可求得结果.
【详解】因为，所以，
即，
又因为，，，
所以，即，解得或．
故选：C．
4．已知的内角所对的边分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理边化角，逆用和角的正弦求解即得.
【详解】在中，由及正弦定理得：
，
而，，因此，又，
所以.
故选：C
5．核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加．若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为（ ）．（参考数据：，）
A．36.9B．41.5C．58.5D．63.1
【答案】C
【分析】设DNA数量没有扩增前数量为a，由题意可得，，化简得，再根据指数函数的运算，即可求解．
【详解】设DNA数量没有扩增前数量为a，
由题意可得，，即，
所以，即，
故．
故选：C．
6．已知曲线，过点作该曲线的两条切线，切点分别为，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】D
【分析】求得切线方程为，根据题意，转化为关于的方程有两个不同的解，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由函数，可得，
设切点坐标为，所以，
所以切线方程为，
所以，即，
因为过点作该曲线的两条切线，
所以关于的方程有两个不同的解，
即关于的方程有两个不同的解，所以.
故选：D.
7．已知无穷正整数数列满足，则的可能值有（ ）个
A．2B．4C．6D．9
【答案】C
【分析】变形给定的递推公式，由，推导出矛盾，从而得，再代入即可分析求解.
【详解】由，得，当时，，
两式相减得，即，
于是，依题意，
若，有，则，即是递减数列，
由于是无穷正整数数列，则必存在，使得与矛盾，
因此，即，于是数列是周期为2的周期数列，
当时，由，得，即，
从而，所以的可能值有6个.
故选：C
【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，结合已知条件探讨项间关系而解决问题.
8．已知函数，若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分析给定分段函数的性质，变形方程并结合图形求出的范围即可.
【详解】当时，函数单调递增，函数取值集合是，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，函数取值集合是，
方程，化为，解得或，如图，
观察图象知，的解，即函数的图象与直线交点的横坐标，显然方程只有一个解，
要原方程有四个不同的实数根，当且仅当有3个不同的实根，
因此直线与函数的图象有3个公共点，则，
所以实数的取值范围为.
故选：D
二、多选题
9．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．的最小值为
【答案】AB
【分析】利用二次不等式解与系数的关系得到关于的表达式，结合基本不等式，逐一分析判断各选项即可得解.
【详解】因为关于的不等式的解集为，
所以是方程的两根，且，故A正确；
所以，解得，
所以，即，则，解得，
所以不等式的解集为，故B正确；
而，故C错误；
因为，所以，
则，
当且仅当，即或时，等号成立，
与矛盾，所以取不到最小值，故D错误.
故选：AB.
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为函数图象的一条对称轴．
B．函数在上单调递减．
C．将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上的最小值为，则m的最大值为．
D．在上有2个零点，则实数a的取值范围是．
【答案】BC
【分析】将函数化简为，结合三角函数的性质，逐一分析判断即可.
【详解】结合题意：，
化简为：.
对于A选项：令，解得易验证不是对称轴，故A错误；
对于B选项：当时，，
结合三角函数的性质可知，在上单调递减，故B正确；
对于C选项：
因为，所以，
要使在上的最小值为，则，即，故C正确；
对于D选项：由，得，
要使在上有2个零点，则，解得，
故D错误.
故选：BC.
11．已知为圆锥底面圆的直径，，，点为圆上异于的一点，为线段上的动点（异于端点），则（ ）
A．直线与平面所成角的最大值为
B．圆锥内切球的体积为
C．棱长为的正四面体可以放在圆锥内
D．当为的中点时，满足的点有2个
【答案】AC
【分析】A：根据线面垂直得到线面角，然后结合三角函数以及线段长度分析角的最大值；B：根据几何体的轴截面图进行分析计算；C：先考虑将正四面体补形为正方体，然后根据正方体的外接球以及B选项的结果进行判断；D：假设成立，通过线面垂直推导线线垂直并逐步推出矛盾.
【详解】A：过作交于点，连接，如下图所示：
因为圆锥底面，所以，
又因为，，平面，所以平面，
所以与平面所成角即为，且，
又，所以，则，
所以，当且仅当位于的中点处时取等号，
所以，所以直线与平面所成角的最大值为，故正确；
B：根据题意可得轴截面如下图所示，设内切球的球心为，半径为，
因为，所以为等边三角形，
所以，
又因为，所以，
所以，所以，
所以内切球的体积为，故错误；
C：将棱长为的正四面体补形为正方体，如下图所示：
由图可知正方体的棱长为，
此正方体的外接球的半径等于，
所以正四面体可以在半径为的球内任意转动，
由B选项的结果可知，棱长为的正四面体可以放在圆锥内，故正确;
D：当为的中点时，如下图:
因为为等边三角形，所以，
又因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为圆锥底面，所以，且相交，平面，
所以平面，
因为平面，所以，这显然不成立，
所以满足的点不存在，故错误；
故选：AC.
12．已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．
B．函数的单调递减区间为
C．函数为奇函数
D．设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
【答案】AD
【分析】对于A，直接代入求值即可；对于B，根据对勾函数图像的性质进行判断；对于C，由特殊值进行判断即可；对于D，画出的函数图像，数形结合得出结果.
【详解】对于A，，，故A正确；
对于B，由，
当时，，由对勾函数的性质可知，所以函数在单调递减，故B错误；
对于C，由，函数不是奇函数，故C错误；
对于D，不等式在R上恒成立，画出的函数图像，
由，消去并化简得，
由解得，负根舍去.
将代入得，，
结合图象可知，故D正确.
故选：AD.
三、填空题
13．已知上的函数为奇函数，且，当时，，则 .
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性与对称性可得函数的周期为，利用周期性与对称性化简求值即可的值.
【详解】已知上的函数为奇函数，所以，即①
又，所以②，即③
由②③可得，所以函数的周期为
则，由①可得.
故答案为：.
14．若，则 ．
【答案】
【分析】利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式化简可得，然后由可解.
【详解】因为
，
所以，
所以．
故答案为：
15．已知数列满足，，记数列的前项和为，则 ．
【答案】506
【分析】根据数列递推公式可知，当为偶数时，可分组求和，利用累加法即可求得结果.
【详解】由递推公式可得，
；
；
……
；
而
.
故答案为：506.
【点睛】关键点睛：解题的关键是发现，当为偶数时，即可出现分组求和.
16．如图，在多面体中，四边形是矩形，，为的中点.记四棱锥，的体积分别为，，若，则 .

【答案】
【分析】由题意，连接，求得，再由与的面积比为，得到，结合，即可求解.
【详解】如图所示，连接，因为为的中点，且，
设且梯形的高为，
则四边形和的面积分别为，
，所以则四边形与的面积比为，
所以，
在矩形中，因为为的中点，
可得，，
所以与的面积比为，
所以，
所以.
故答案为：.

四、解答题
17．在中，角的对边分别为的面积为，已知.
(1)求角；
(2)若的周长为，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用正弦定理及三角恒等变换即可求解；
(2)由余弦定理及三角形的面积公式得，再由基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）因为，
所以，
即，
由正弦定理，得，
因为，
所以，
因为，所以，所以，
又，所以.
（2）由余弦定理，得，即，
所以，即，
因为，，
所以，
所以，
又（当且仅当时取等号），
所以（当且仅当时取等号），
所以（当且仅当时取等号），
所以（当且仅当时取等号），
即的最大值为.
五、证明题
18．已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)设，记的前项和为，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用数列的通项公式和前n项和的关系求解；
（2）由，，利用裂项相消法求解.
【详解】（1）解：当时，，
所以；
当时，由，
得，
两式相减得，
所以，
当时也成立．所以．
（2）证明：由（1）知，
所以，
所以．
又，
所以 ，
．
综上：．
六、解答题
19．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间和极值；
(3)若函数在区间上有一个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)单调递增为，，单调递减区间为，极大值，极小值
(3)
【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求曲线的切线斜率，进而可求切线方程；
（2）结合导数与单调性及极值关系可求；
（3）结合（2）的单调性结合图象即可求解．
【详解】（1），所以，
故曲线在点处的切线方程，即；
（2）由（1）可知，，
所以当或时，，当时，，
所以函数的单调递增为，，单调递减区间为，
当时函数取得极大值，当时，函数取得极小值；
（3）令函数，即，
所以函数在区间上有一个零点，
等价于图象与直线在区间上有一个交点.
由（2）可知，函数在，上递增，在上递减，
且，
画出图象，如下图所示，
由图可知，当时，图象与直线在区间上有一个交点.
故实数的取值范围为.
七、证明题
20．如图，和所在平面互相垂直，且，，为的中点．

(1)证明：；
(2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)或
【分析】(1) 取中点，连接，，用线面垂直的判定定理即可证得；
(2) 为原点，，，为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，代入公式即可求得的值.
【详解】（1）取中点，连接，，

易得，得，所以．
又∵，∴，又∵，又因为平面，平面∴平面∴．
（2）过点作于点，连接，
∵平面平面，平面平面，，
∴平面，由，可得，
∴，，两两垂直．以为原点，，，为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．

设，则，，，，，∴，，
设为平面的法向量，得，得，
令，得
，，
化简得解得或
21．如图，在四棱锥中，平面.为的中点，点在上，且.

(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值；
(3)问：棱上是否存在一点，使点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，结合面面垂直的向量证明方法求证即可；
（2）根据面面角的向量计算公式直接求解即可；
（3）根据点到平面距离的公式直接计算即可.
【详解】（1）如图，在平面内，过点作，
因为平面，平面，
所以，
所以，
又因为，
所以分别以，，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，
所以，，因为，所以，
所以，即，
所以，，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
平面的法向量为，则，
令，则，所以，
所以，所以，
所以平面平面.
（2）易知平面的一个法向量，
设平面与平面所成角为，则，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
（3）棱上存在一点，使点到平面的距离为，
设，
因为 ，，所以，
所以，
又因为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离为，得到，
所以
22．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求得，讨论的范围，考查的正负即可；
（2）结合（1）中的结论，要证明不等式成立只需证的最大值为,不等式化为，考查函数的单调性，求得最小值即可.
【详解】（1）由题意，得.
当时，在上恒成立，在上单调递增.
当时，令，解得.
当时，,当，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）可知，当时，的最大值为.
要证成立，
需成立，即证.
令，
则.
令，得（负值已舍去）.
所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，取得最小值，为.
故当时，.