24平面向量的概念及线性运算专项训练—2024届艺术班高考数学一轮复习（文字版 含答案）

这是一份24平面向量的概念及线性运算专项训练—2024届艺术班高考数学一轮复习（文字版 含答案），文件包含24平面向量的概念及线性运算专项训练2024届艺术班高考数学一轮复习文字版答案docx、24平面向量的概念及线性运算专项训练2024届艺术班高考数学一轮复习文字版含答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共6页， 欢迎下载使用。
①|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关；
②两个具有公共终点的向量一定是共线向量；
③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
④单位向量都是共线向量．
其中，正确说法的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：C
2．(2023·汕头期中)在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up6(→))＝－4a－b，eq \(CD,\s\up6(→))＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )
A．梯形B．菱形
C．平行四边形 D．矩形
解析：选A 因为eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up6(→))＝－4a－b，eq \(CD,\s\up6(→))＝－5a－3b，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋2b))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4a－b))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－5a－3b))＝－8a－2b．
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(BC,\s\up6(→))．
所以AD∥BC且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))))≠eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→))))，
所以四边形ABCD为梯形．故选：A．
3．(2023·南昌质检)平面向量a，b共线的充要条件是( )
A．a，b方向相同
B．a，b两向量中至少有一个为零向量
C．∃λ∈R，b＝λa
D．存在不全为零的实数λ1、λ2，λ1a＋λ2b＝0
答案：D
4．(2023·河南濮阳模拟)如图，向量eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(CD,\s\up6(→))＝c，则向量eq \(BD,\s\up6(→))可以表示为( )
A．a＋b－cB．a－b＋c
C．b－a＋c D．b－a－c
解析：选C 根据向量运算法则可得eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))，
又eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(CD,\s\up6(→))＝c，
所以eq \(BD,\s\up6(→))＝b－a＋c，故选：C．
5．已知a，b是平面内两个不共线的向量eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋λb，eq \(AC,\s\up6(→))＝μ a＋b，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件是( )
A．λ－μ＝1B．λ＋μ＝2
C．λμ＝1D．eq \f(λ,μ)＝1
解析：选C 由A，B，C三点共线的充要条件是eq \(AB,\s\up6(→))＝meq \(AC,\s\up6(→))且m∈R，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(mμ＝1，,λ＝m，))故λμ＝1．故选C．
6．(2023·云南文山期中)在△ABC中，点D满足eq \(AB,\s\up6(→))＝4eq \(DB,\s\up6(→))，点E满足eq \(CE,\s\up6(→))＝2eq \(ED,\s\up6(→))，则eq \(AE,\s\up6(→))＝( )
A．－eq \f(2,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(CB,\s\up6(→))B．eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))
C．－eq \f(5,6)eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))D．－eq \f(5,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up6(→))
解析：选C 如图，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))－\(AC,\s\up6(→))))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))＝
－eq \f(5,6)eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))．
7．(多选)设a，b是不共线的两个平面向量，已知eq \(PQ,\s\up6(→))＝a＋sin α·b，其中α∈(0，2π)，eq \(QR,\s\up6(→))＝2a－b．若P，Q，R三点共线，则角α的值可能为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(5π,6)
C．eq \f(7π,6)D．eq \f(11π,6)
解析：选CD 因为a，b是不共线的两个平面向量，所以2a－b≠0，即eq \(QR,\s\up6(→))≠0，因为P，Q，R三点共线，所以eq \(PQ,\s\up6(→))与eq \(QR,\s\up6(→))共线，所以存在实数λ，使eq \(PQ,\s\up6(→))＝λeq \(QR,\s\up6(→))，所以a＋sin α·b＝2λa－λb，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝2λ，,sin α＝－λ.))解得sin α＝－eq \f(1,2)．又α∈(0，2π)，故α可为eq \f(7π,6)或eq \f(11π,6)．
8．(多选)(2023·武汉模拟)在△ABC中，下列命题正确的是( )
A．eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))
B．eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0
C．若(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝0，则△ABC为等腰三角形
D．若eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))>0，则△ABC为锐角三角形
解析：选BC 由向量的运算法则知eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0，故A错误，B正确；
∵(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))2－eq \(AC,\s\up6(→))2＝0，
∴eq \(AB,\s\up6(→))2＝eq \(AC,\s\up6(→))2，即|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|，
∴△ABC为等腰三角形，故C正确；
∵eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))>0，∴角A为锐角，但三角形不一定是锐角三角形，故D错误．故选B、C．
9．已知平面向量a，b，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝2，当eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－tb))最小时teq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))＝1，则a，b的夹角为( )
A．30°B．45°
C．60° D．90°
解析：选C 如图，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝tb，则eq \(BA,\s\up6(→))＝a－tb，记a，b的夹角为θ，b所在直线为l，
易知，当eq \(BA,\s\up6(→))⊥eq \(OB,\s\up6(→))时，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－tb))最小，
由题可知，此时eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OB,\s\up6(→))))＝1，所以cs θ＝eq \f(OB,OA)＝eq \f(1,2)．
因为0°≤θ≤180°，所以θ＝60°．
故选：C．
10．(2023·安徽舒城中学期中)若平面上不共线的四点O，A，B，C满足eq \(OA,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))＝4eq \(OB,\s\up6(→))，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→))))＝2，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))＝__________．
解析：由已知得(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＋3(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋3eq \(BC,\s\up6(→))＝0，∴eq \(AB,\s\up6(→))＝3eq \(BC,\s\up6(→))．
又|eq \(BC,\s\up6(→))|＝2，∴|eq \(AB,\s\up6(→))|＝3|eq \(BC,\s\up6(→))|＝6．
答案：6
11．(2023·哈师大附中校考阶段练习)已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝e1－e2，b＝(tan θ)·e1＋2e2，若a与b共线，则sin 2θ＝______．
解析：依题意，由a与b共线，得b＝λa，λ∈R，而a＝e1－e2，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan θ))e1＋2e2，
于是(tan θ)e1＋2e2＝λ(e1－e2)，即(tan θ－λ)e1＋(λ＋2)e2＝0，又e1，e2不共线，
因此eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(tan θ－λ＝0，,λ＋2＝0，))解得tan θ＝－2，
所以sin 2θ＝eq \f(2sin θcs θ,sin2θ＋cs2θ)＝eq \f(2tan θ,tan2θ＋1)＝eq \f(2×（－2）,（－2）2＋1)＝－eq \f(4,5)．
答案：－eq \f(4,5)
12．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→))|，则△ABC的形状为________．
解析：∵eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，
eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，
∴|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|．
故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．
答案：直角三角形