25平面向量的基本定理及坐标表示专项训练—2024届艺术班高考数学一轮复习（文字版 含答案）

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A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(3,4)))
解析：选B A选项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底；B选项中，不存在实数λ，使得e1＝λe2，故两向量不共线，故其可以作为基底；C选项中，e2＝2e1，两向量共线，故其不可以作为基底；D选项中，e1＝4e2，两向量共线，故其不可以作为基底．故选B．
2．(2023·聊城模拟)已知向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，m))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，1))，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，0))，若a∥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋c))，则m＝( )
A．eq \f(1,2) B．2
C．－1 D．－2
解析：选A 因为a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，m))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，1))，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，0))，
所以b＋c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，1))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，0))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，1))，
又a∥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋c))，所以1×1＝2m，解得m＝eq \f(1,2)．
3．(2023·华中师大一附中模拟)已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m)，若a与b反向共线，则|a－eq \r(3)b|的值为( )
A．0B．48
C．4eq \r(3) D．3eq \r(6)
解析：选C 由题意m2＝3，得m＝±eq \r(3)，
又a与b反向共线，故m＝－eq \r(3)，此时a－eq \r(3)b＝(－2eq \r(3)，6)，故|a－eq \r(3)b|＝4eq \r(3)．
4．已知平面向量a＝(x，1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b( )
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
解析：选C 由题意得a＋b＝(x－x，1＋x2)＝(0，1＋x2)，易知a＋b平行于y轴．
5．已知向量a＝(2，4)，b＝(1，n)，若a∥b，则|3a－nb|＝( )
A．4 eq \r(5)B．12
C．8D．eq \r(5)
解析：选A 因为向量a＝(2，4)，b＝(1，n)，且a∥b，所以2n＝1×4，解得n＝2，所以3a－nb＝(4，8)，所以|3a－nb|＝4eq \r(5)，故选A．
6．(2023·长沙一模)已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(k，12)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(4，5)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是( )
A．－ eq \f(2,3) B．eq \f(4,3)
C．eq \f(1,2)D．eq \f(1,3)
解析：选A eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(4－k，－7)，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(－2k，－2)．∵A，B，C三点共线，∴eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－eq \f(2,3)．
7．(2023·滨州一中月考)某同学因兴趣爱好，自己绘制了一个迷宫图，其图纸如图所示，该同学为让迷宫图更加美观，在绘制过程中，按单位长度给迷宫图标记了刻度，该同学发现图中A，B，C三点恰好共线，则m＝( )
A．7 B．eq \f(22,3)
C．eq \f(23,3) D．8
解析：选C 由图可知，A(3，3)，B(5，6)，
C(m，10)，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－3，6－3))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，3))，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－5，10－6))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－5，4))，
因为eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→))，所以3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－5))＝2×4，解得m＝eq \f(23,3)．故选：C．
8．(多选)(2022·徐州联考)已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是( )
A．－2 B．eq \f(1,2)
C．1 D．－1
解析：选ABD 若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1．所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形，故选ABD．
9．(多选)(2023·石家庄模拟)设a是已知的平面向量且a≠0，关于向量a的分解，有如下四个命题(向量b，c和a在同一平面内且两两不共线)，则真命题是( )
A．给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c
B．给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc
C．给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μ c
D．给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μ c
解析：选AB 因为向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，所以b≠0，c≠0，给定向量a和b，只需求得其向量差a－b，即为所求的向量c，故总存在向量c，使a＝b＋c，故A正确；
当向量b，c和a在同一平面内且两两不共线时，向量{b，c}可作基底，由平面向量基本定理可知a＝λb＋μ c成立，故B正确；
取a＝(4，4)，μ＝2，b＝(1，0)，无论λ取何值，向量λb都平行于x轴，而向量μ c的模恒等于2，要使a＝λb＋μ c成立，根据平行四边形法则，向量μc的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量c使等式成立，故C错误；
因为λ和μ为正数，所以λb和μc代表与原向量同向的且有固定长度的向量，这就使得向量a不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不一定能使a＝λb＋μc成立，故D错误．故选A、B．
10．线段AB的端点为Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，5))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，y))，直线AB上的点Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1))，使eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))))＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→))))，则x＋y＝________．
解析：由已知得eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x，－4))，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，1－y))，
由eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))))＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→))))，可得eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(BC,\s\up6(→))或eq \(AC,\s\up6(→))＝－2eq \(BC,\s\up6(→))．
①当eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(BC,\s\up6(→))时，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－x＝6，,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－y))＝－4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－5，,y＝3，))此时，x＋y＝－2；
②当eq \(AC,\s\up6(→))＝－2eq \(BC,\s\up6(→))时，
可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－x＝－6，,－2（1－y）＝－4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝7，,y＝－1，))
此时x＋y＝6．
综上所述，x＋y＝－2或x＋y＝6．
答案：－2或6
11．已知a＝(1，2)，b＝(2，－1)，c＝(1，λ)，且c⊥(a＋b)，则λ＝________．
解析：由题意(a＋b)＝(3，1)，又c⊥(a＋b)，则c·(a＋b)＝(1，λ)·(3，1)＝3＋λ＝0，故λ＝－3．
答案：－3
12．(2022·大连适应性考试)已知向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)sin x，1))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs x，－1))．
(1)若a∥b，求tan 2x的值；
(2)若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))·b，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，求函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的最大值及对应的x值．
解：(1)由题意，向量a＝(eq \r(3)sin x，1)，b＝(cs x，－1)，
因为a∥b，所以1×cs x＝－1×(eq \r(3)sin x)，整理得cs x＝－eq \r(3)sin x，显然cs x≠0，故tan x＝－eq \f(\r(3),3)，所以tan 2x＝eq \f(2tan x,1－tan2x)＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)))\s\up12(2))＝eq \f(－\f(2\r(3),3),1－\f(1,3))＝－eq \r(3)．
(2)因为f(x)＝(a＋b)·b，
可得f(x)＝eq \r(3)sin xcs x＋cs2x＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(1,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋eq \f(1,2)，
因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，
当2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(π,6)时，函数取最大值为1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)．