湖北省襄阳市樊城区2022-2023学年八年级下学期期中数学试题（解析版）

这是一份湖北省襄阳市樊城区2022-2023学年八年级下学期期中数学试题（解析版），共32页。试卷主要包含了5C， 如图等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4B. C. 1，2，2D. 5，12，13
【答案】D
【解析】
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、因为，不能构成直角三角形，此选项不符合题意；
B、因为，不能构成直角三角形，此选项不符合题意；
C、因为，不能构成直角三角形，此选项不符合题意；
D、因为，能构成直角三角形，此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
2. 如图，在平面直角坐标系中的顶点的坐标分别是，，，则点C的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据坐标与图形性质以及平行四边形的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，即轴，
∵坐标分别是，，，
∴，点C与点B的纵坐标相等，都为3，更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 ∴点C的横坐标为，
∴点C的坐标为，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形，熟练掌握坐标与图形的性质是解答的关键．
3. 菱形的两条对角线的长分别是4cm和6cm，则菱形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可解答．
【详解】解：菱形的两条对角线的长分别是4cm和6cm，
菱形的面积为，
故答案为：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的面积计算，菱形的面积计算主要有两种计算方法：第一种为菱形的面积等于对角线乘积的一半；第二种为菱形的面积等于底乘高；熟练掌握相关知识点是解题的关键．
4. 如图，正方形的边长为4，为上一点，连接，于点，连接，若，则的面积为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】作于点，根据勾股定理求得，得，则，所以，即可求得的面积为6．
【详解】解：作于点，则，
于点，
，
四边形是边长为4的正方形，
，，
，
，，
，
∴
∴
，
，
的面积为6，
故选：B．
【点睛】此题重点考查正方形的性质、勾股定理与三角形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线并且求得是解题的关键．
5. 如图1，四边形中，，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为，的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．当点P运动到的中点时，的面积为（ ）
A. 7B. 7.5C. 8D. 8.6
【答案】A
【解析】
【分析】首先结合图形和函数图象判断出的长和的长，进而可得的长，从而可得点坐标，然后再计算出当时直线解析式，然后再代入的值计算出即可．
【详解】解：根据题意得：四边形是梯形，
当点从运动到处需要2秒，则，面积为4，
则，
根据图象可得当点运动到点时，面积为10，
则，则运动时间为5秒，
，
设当时，函数解析式为，
，
解得，
当时，函数解析式为，
当运动到中点时时间，
则，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象、三角形面积公式，利用数形结合的思想方法是解决问题的关键．
6. 如图，四边形的对角线交于点O，下列哪组条件能判断四边形是平行四边形（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、由，，不能判定四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
B、由，，不能判定四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
C、由，，不能判定四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
D、∵，
∴，
∵，∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
7. 依据所标数据（度数为所在角的度数，数字为所在边的长度），下列平行四边形不一定是菱形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据菱形的判定方法、勾股定理逆定理、等腰三角形判定方法求解．
【详解】A. 由已知条件不能得证为菱形，本选项符合题意；
B. 根据勾股逆定理，，所以对角线互相垂直，故四边形为菱形，本选项不符合题意；
C. 邻边相等，为菱形，本选项不符合题意；
D. 由等角对对边知一组邻边相等，为菱形，本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查菱形的判定，勾股定理逆定理，等腰三角形判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
8. 如图（单位：cm），等腰直角以2cm/s的速度沿直线l向正方形移动，直到与重合，当运动时间为xs时，与正方形重叠部分的面积为ycm2，下列图象中能反映y与x的函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出时与时的函数解析式，然后根据相应的函数图象找出符合条件的选项即可
【详解】解：如图，当时，
重叠部分为三角形，面积，
如图，当时，
重叠部分为梯形，面积，
∴图象为两段二次函数图象，第一段开口向上，第二段开口向下，函数的最大值为50，
纵观各选项，只有C选项符合．
故选：C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，判断出重叠部分的形状并求出相应的函数关系式是解题的关键．
9. 如图，在正方形中，点E，F分别在边上，点P是的中点，连接．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接、、、，过点P作交于G，先利用平行线分线段成比例证明，再证是等边三角形，是等腰三角形，得到，从而求得，继而求得，然后由直角三角形性质求得，继续证明，得到，，从而可证得是等边三角形，根据等边三角形三线合一可得出，最后由等腰直角三角形，得出，即可由求解．
【详解】解：连接、、、，过点P作交于G，
∵正方形，
∴，，，
∵
∴，，
∴，
∵点P是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，是等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点P是的中点，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∵点P是的中点，
∴，
∵，，
∴
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，作辅助线构造等边三角形与全等三角形是解题的关键．
10. 如图，正方形的边，分别在轴，轴上，点，分别在，上，是等边三角形，连接，交于点．若，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点作于，利用正方形性质和等边三角形性质可证得，得出，推出，利用等腰直角三角形性质和等边三角形性质即可求得答案．
【详解】解：如图，过点作于，
四边形是正方形，
，，，
是等边三角形，
，
，
，
，
即，
，，
，
，
是等边三角形，，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
点的坐标为，．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，知识点较多，综合性强，是常考题型，熟练掌握相关性质是解题关键．
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11. 如图，点E是正方形中延长线上一点，连接，点F是的中点，连接，若，，则的长为 ______．

【答案】
【解析】
【分析】根据正方形的性质得出，进而利用证明，进而利用全等三角形的性质和勾股定理解答即可．
【详解】解：过F作分别交于G，H，则四边形为矩形，
∴，，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵F是的中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
在中，，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
故答案为：．
【点睛】此题考查正方形的性质,全等三角形的判定和性质，关键是根据正方形的四边相等和勾股定理求解线段长．
12. 如图，在中，，P是斜边上的动点，连接于点D，连接．则的最小值是 _____．

【答案】2
【解析】
【分析】取中点M，连接，由直角三角形的性质求出的长，由勾股定理求出的长，由三角形的三边关系即可求出的最小值．
【详解】解：取中点M，连接，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴的最小值是2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查直角三角形斜边的中线，三角形三边的关系，勾股定理，关键是通过作辅助线构造，应用三角形的三边关系定理求的最小值．
13. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，过作x轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作x轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作x轴的垂线，垂足为…按此规律，则点的纵坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】联立直线与直线的表达式并解得，故，，依次求出：点的纵坐标为、的纵坐标为，即可求解，找出规律即可求得答案．
【详解】解：由解得，
，；
点，，
设直线的表达式为：，
将点坐标代入上式解得，
直线的表达式为：，
由解得，
，，
，，
设直线的表达式为：，
将点坐标代入上式解得，
直线的表达式为：，
同理可得的纵坐标为，
按此规律，则点的纵坐标为，
∴点的纵坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了两直线的交点，要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与二元一次方程组之间的内在联系．
14. 在平面直角坐标系中，以任意两点，为端点的线段的中点坐标为．在直角坐标系中，有，，三点，另有一点与，，构成平行四边形的顶点，则点的坐标为___________．
【答案】或或
【解析】
【分析】当是对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当或是对角线时，同理可解．
【详解】解：设点，，
当是对角线时，由中点坐标公式得∶
，
解得∶，
即点的坐标为∶；
当或是对角线时，由中点坐标公式得∶
或，
解得∶或，
即点的坐标为∶或，
故答案为∶或或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质等知识，关键是掌握已知两点求其中点坐标的方法．
15. 如图，中，是角平分线，是中线，于P，，，则的长为 _____．

【答案】1
【解析】
【分析】延长交于点F，证明P为的中点，进而根据三角形中位线的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，延长交于点F，

∵中，是角平分线，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
则，
又是中线，则，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了中位线的性质与判定，掌握三角形中位线的性质与判定是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分70分）
16. 如图，O为矩形的对角线的中点，过O作分别交，于点E，F．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）45
【解析】
【分析】（1）先根据矩形的性质可得，，再根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据菱形的判定即可得证；
（2）设菱形的边长为，则，在中，利用勾股定理求出的值，然后根据菱形的面积公式即可得．
小问1详解】
证明：四边形是矩形，
∴，，
，
∵O为矩形的对角线的中点，
∴，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
【小问2详解】
解：四边形矩形，
，
设菱形的边长为，则，
，
，
在中，，即，
解得，
，
则四边形的面积为．
【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．
17. 如图，在平行四边形中，于点E，延长至点F，使得，连接．
（1）求证：平行且等于；
（2）求证：四边形是矩形；
（3）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再由，可得
（2）由（1）可证明四边形是平行四边形，再根据，即可求证；
（3）根据勾股定理的逆定理，求得F是直角三角形，等面积法求得，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴；
小问2详解】
证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
【小问3详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，即，
∵的面积，
∴．
【点睛】此题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
18. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）先化为最简二次根式，再利用二次根式加减法的运算法则计算求解；
（2）利用二次根式乘除法的运算法则计算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
19. 已知，，求的值．
【答案】4
【解析】
【分析】先求出、的值，再整体代入进行计算即可．
【详解】解：，，
，，
．
【点睛】本题考查求代数式的值，解题的关键是整体代入思想的应用．
20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线（）交于点P，．
（1）求直线的解析式；
（2）连接、，若直线上存在一点Q，使得，求点Q的坐标；
（3）将直线向下平移1个单位长度得到直线，直线l与x轴交于点E，点N为直线l上的一点，在平面直角坐标系中，是否存在点M，使以点O，E，N，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）或；
（3）或；
【解析】
【分析】（1）先求出，然后求出点C和点D的坐标，利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）先求出点B和点P的坐标，然后求出四边形的面积，然后分类讨论：当点Q在点B的下方时；当点Q在点P的上方时；分别求出三角形的面积，即可求出点Q的坐标；
（3）先求出直线为，然后得到，然后分情况进行分析：当作为矩形的边时；当作为矩形的对角线时；分别求出两种情况的点M的坐标即可．
【小问1详解】
解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，
∴令，则，
∴点A为，
∴，
∵，
∴点C为，点D为，
∴直线的解析式为；
【小问2详解】
解：在中，令，则，
∴点B为，
∵，解得，
∴点P的坐标为；
∴；
∵点Q在直线上，则设点Q为，则
当点Q在点B的下方时，如下图：
∵，点P的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴点的坐标为；
当点Q在点P的上方时，如上图：
，
∴，
∴
解得：，
∴，
∴点的坐标为；
综合上述，点的坐标为或；
【小问3详解】
解：∵直线向下平移1个单位长度得到直线，
∴直线为，
令，则，
∴点E的坐标为，
即；
当作为矩形的边时，如图：
∴点N的坐标为，
∴点M的坐标为；
当作为矩形的对角线时，如图：
∴点F的坐标为，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴点M的坐标为；
综合上述，则点M的坐标为或；
【点睛】本题考查了矩形的性质，一次函数的图像和性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出图形，从而运用分类讨论的思想进行解题．
21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点A，直线过点A，与x轴交于点C，点P是x轴上方一个动点．
（1）求直线的函数表达式；
（2）若点P在线段上，且，求点P的坐标；
（3）当 时，动点M从点B出发，先运动到点P，再从点P运动到点C后停止运动．点M的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为t（秒），请直接写出t的最小值．
【答案】（1）；
（2）（，）
（3）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）设点P坐标为，根据即可求解；
（3）作点B关于直线的对称点，连接，交直线于点P，连接，即可求解．
【小问1详解】
解：∵点A在y轴上，直线过点A，
∴点A坐标为，
将点和点代入直线，
得，
解得，
∴直线AB的函数表达式为；
【小问2详解】
解：设点P坐标为，
令，得，
∴点C坐标为，
∵点，点，
∴，，，
∴，
∵点P在线段上，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴点P坐标为；
【小问3详解】
解：设点P纵坐标为，
∵，点P是x轴上方的一个动点，
∴，
解得，
作点B关于直线的对称点，连接，交直线于点P，连接，
则的最小值即为的长，
∵点B坐标为，
∴点B′坐标为，
∴，
∵点M的运动速度始终为每秒1个单位长度，
∴s，
∴t的最小值为．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，灵活运用所学知识是解题关键．
22. 在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．当时，；当时，
（1）求k，b的关系式（用含b的代数式表示k）；
（2）若．
①求直线的解析式；
②若直线与直线相交，且两条直线所夹的锐角为，求m的值．
【答案】（1）
（2）①；②或
【解析】
【分析】（1）根据当时，；当时，，即当时，，即，问题随之得解；
（2）①先求出，用待定系数法即可得直线l1的解析式为；②设直线与x轴交于D，连接，直线与直线交于C，当C在y轴左侧时，过C作轴于H，分两种情况：当C在y轴左侧时，过C作轴于H，由可得，即可得，故，从而是等腰直角三角形，由，可得，代入得；当C在y轴右侧时，过C作轴于K，由是等腰直角三角形，有，而，即可得，代入得．
【小问1详解】
解：∵当时，；当时，，
∴当时，，即，
∴，
∴，
∴k，b的关系式为；
小问2详解】
①如图：
由（1）知，，
∵，
∴，
∴在中，，
即利用勾股定理可得：，
，
把，，代入得：
，
解得，
∴直线l1的解析式为；
②设直线与x轴交于D，连接，直线与直线交于C，
当C在y轴左侧时，过C作轴于H，如图：
在中，令得，
∴，
，，
，，，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
，，
，
把代入得：
，
解得；
当C在y轴右侧时，过C作轴于K，如图：
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
，
，
∵，
∴，
在中，结合勾股定理，
，
，
，
把代入得：
，
解得，
综上所述，两条直线所夹的锐角为，m的值为或．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的性质及应用，含角的直角三角形三边关系等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
23. 如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q．
①若的面积为，求点M的坐标；
②连接，如图2，若，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）①或；②或
【解析】
【分析】（1）分别求出、、三点坐标，用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）①设，则，，求出，再由，求出的值后即可求点坐标；
②分两种情况讨论：当点在线段上时，利用角的关系推导出，再由勾股定理得，求出的值即可求点的坐标；当点在线段上时，同理可求点的另一个坐标．
【小问1详解】
在中，令得，
，
令得，
，
点与点关于轴对称，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的函数解析式为；
【小问2详解】
①设，
轴，
，，
，
，
解得，
的坐标为或；
②点在线段上运动，
，
当点在线段上时，如图：
点与点关于轴对称，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
解得，
；
当点在线段上时，如图：
同理可得，
综上所述：点的坐标为或．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，勾股定理及应用等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．