山东省泰安市新泰市2022-2023学年七年级下学期期末数学试题（解析版）

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本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6分，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1.答题前，请考生仔细阅读答题卡上的注意事项，并务必按照相关要求作答．
2.考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回．
第Ⅰ卷（选择题 共48分）
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1. 若，则下列等式不一定成立是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答．
【详解】解：A、∵x＞y，
∴x+5＞y+5，故不符合题意；
B、∵x＞y，
∴-3x＜-3y，故不符合题意；
C、∵x＞y＞0，
∴x2＞y2，故符合题意；
D、∵x＞y，
∴，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
2. 如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（ ）更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663
A 1B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据角平分线的性质直接可得．
【详解】如图，过点P作，垂足为点G，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，．
故选B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质；掌握好有关角平分线的基础知识是关键．
3. 如图，直线，点在直线上，以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于、两点，连接、．若，则的大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由等腰三角形的性质得，由三角形内角和定理得，然后根据平行线的性质解答即可．
【详解】解：∵点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于B、C，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了等腰三角形性质，三角形内角和，以及平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．
4. 如图，在中，，，尺规作图如下：分别以点、点为圆心，大于为半径作弧，连接两弧交点的直线交于点，连接，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据三角形内角和求出的度数，然后根据垂直平分线的性质求出的度数，然后利用两角差求解即可．
【详解】∵，，
．
由作图可知，所作的直线为BC的垂直平分线，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和垂直平分线的性质，能够判断所作直线为垂直平分线是关键．
5. 下列事件中，不是必然事件的是（ ）
A. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B. 三角形任意两边之和大于第三边
C. 面积相等的两个三角形全等
D. 三角形三边的中垂线的交点到三角形的三个顶点的距离相等
【答案】C
【解析】
【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【详解】解：A. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等，是必然事件，不符合题意；
B. 三角形任意两边之和大于第三边，是必然事件，不符合题意；
C. 面积相等的两个三角形全等，不是必然事件，符合题意
D. 三角形三边的中垂线的交点到三角形的三个顶点的距离相等，是必然事件，不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，三角形三边关系，垂直平分线的性质，全等三角形性质，角平分线的性质，熟悉性质定理是解题的关键．
6. 如图，已知一次函数y＝x+1和一次函数y＝ax+3图象交于点P，点P的横坐标为1，那么方程y＝x+1和方程y＝ax+3的公共解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用y＝x+1确定交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【详解】解：把x＝1时，代入y＝x+1，得出y＝2，即两直线的交点坐标P为（1，2），即x＝1，y＝2同时满足两个一次函数的解析式．
所以关于x，y的方程组的解为
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标.
7. 能说明命题“对于任意实数，”是假命题的一个反例可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】写出一个a的值，不满足即可．
【详解】命题“对于任何实数a，”是假命题，反例要满足a≤0，如a=-2．
故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理：许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
8. 如果从1，2，3，4，5，6这六个数中任意选取一个数，那么取到数恰好是3的整数倍的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得取到的数恰好是3的整数倍的数有3和6，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：取到的数恰好是3的整数倍的数有3和6，
∴取到的数恰好是3的整数倍的概率是；
故选B．
【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解是解题的关键．
9. 如图，已知AO平分∠DAE，AD=AE，AB=AC，图中全等三角形有（ ）．
A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对
【答案】D
【解析】
【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以写出图中的全等三角形，本题得以解决．
【详解】解：∵AO平分∠DAE，
∴∠1=∠2，
在△AOD和△AOE中，，
∴△AOD≌△AOE（SAS），
∴∠D=∠E，OD=OE；
在△AOC和△AOB中，，
△AOC≌△AOB（SAS）；
在△COD和△BOE中，，
∴△COD≌△BOE（ASA）；
在△DAB和△EAC中，，
∴△DAB≌△EAC（SAS）；
由上可得，图中全等三角形有4对，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答．
10. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：求100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数=100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：由设有x匹大马，y匹小马，
由共有100匹马，可得
共有100片瓦，则，
所以可得得二元一次方程组．
故答案为C．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、设出未知数并表示相关量、根据等量关系列方程成为解答本题的关键．
11. 已知关于x的不等式整数解共有2个，若m为整数，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含m的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围，再找整数m即可．
【详解】解：
解不等式①得
解不等式②得
∴不等式组的解集为：2≤x＜m，
∵不等式组只有2个整数解，所以这两个整数解为：2，3，
∴m的取值范围是3＜m≤4．
∵m是整数
∴m＝4
故选：C．
【点睛】本题考查解不等式组及不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定m的范围，是解决本题的关键．
12. 已知线段垂直平分线上有两点、，若，，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】如图，DE垂直平分AB，垂足为E，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠DAB＝∠DBA＝50°，当C点在线段DE上，∠CAD＝10°时，则∠CAB＝40°，则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算∠ACB＝100°；当点在ED的延长线上，＝10°时，则＝60°，根据等边三角形的性质易得＝60°．
【详解】解：如图，DE垂直平分AB，垂足为E，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠DBA（180°﹣∠ADB）（180°﹣80°）＝50°，
当C点在线段DE上，∠CAD＝10°时，则∠CAB＝50°﹣10°＝40°，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°；
当点在ED的延长线上，＝10°时，则＝50°+10°＝60°，
∵CA＝CB，
∴＝60°，
综上所述，∠ACB的度数为60°或100°．
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质．
第Ⅱ卷（非选择题 102分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
13. 如果关于x、y的二元一次方程组，则__________．
【答案】12
【解析】
【分析】先利用加减法解得，再用整体思想解得，最后代入数值即可解题．
【详解】，
②-①得，
∴
故答案为：12．
【点睛】本题考查含参数的一元二次方程解法，涉及加减法、整体思想等，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
14. 一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中阴影部分的概率为______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值求解．
【详解】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为个小正方形的面积
∴飞镖落在阴影部分的概率是=，
故答案为：．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A），然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
15. 不等式组 的解集是．则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据两个解集结合不等式组的解集求出m的取值范围即可．
【详解】由，得：
，
由不等式组 的解集是，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集，熟知不等式组的解集取值规则式关键．
16. 小明同学非常愿意探究数学问题，他发现当，1，2，3，4时，代数式的值分别为11，11，13，17，23，全是质数．由此小明得出一个结论，对于所有自然数，的值都是质数．请你继续探究，判断小明得出的命题是__________命题（填“真”或“假”）．
【答案】假
【解析】
【分析】由于，得到或时，不是质数，依此即可求解．
【详解】解：当时，原式，此时不是质数；
当时，原式，此时不是质数．
∴不能得出对于所有自然数n， 的值都是质数的结论，小明得出的命题是假命题，
故答案为：假．
【点睛】本题考查了命题的真假，熟练掌握真假命题的定义及几何图形的性质是解答本题的关键，当命题的条件成立时，结论也一定成立的命题叫做真命题；当命题的条件成立时，不能保证命题的结论总是成立的命题叫做假命题．要指出一个命题是假命题，只要能够举出一个例子，使它具备命题的条件，而不符合命题的结论就可以了，这样的例子叫做反例．
17. 如图所示，在中，是的平分线，交于点E，交于点F，交的延长线于点G．若，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据，和三角形内角和定理得，根据是的平分线得，根据得，即可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是平分线，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，平行线的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
18. 如图，直线与分别交轴于点，，则不等式的解集为_________．
【答案】﹣0.5＜x＜2
【解析】
【分析】看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可．
【详解】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣0.5，0）、B（2，0），
∵（kx+b）（mx+n）＞0，
∴两个正数或两个负数的积为正数，
∴不等式（kx+b）（mx+n）＞0的解集为﹣0.5＜x＜2，
故答案为：﹣0.5＜x＜2．
【点睛】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19. （1）解方程组：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）﹣1≤x＜3．
【解析】
【分析】（1）根据加减消元法，求解二元一次方程组即可；
（2）分别求得不等式组中每个不等式的解集，即可求解．
【详解】解：（1）整理，得：，
①+②，得：6x＝60，
解得x＝10，
将x＝10代入①，得：，
则方程组的解为；
（2）解不等式，得：x＜3，
解不等式，得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集为．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的求解以及一元一次不等式组的求解，熟练掌握它们的求解方法是解题的关键．
20. 有7张纸签，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，小明从中任意抽取一张纸签（不放回），小颖从剩余的纸签中任意抽取一张，谁抽到的数字大谁就获胜，然后两人把抽到的纸签都放回，重新开始游戏．
（1）现小明已经抽到数字4，然后小颍抽纸签，那么小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率又是多少？
（2）若小明已经抽到数字6，小明、小颖获胜的概率分别是多少？
【答案】（1）；
（2）小明、小颖获胜的概率分别是，
【解析】
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以计算出小明获胜的概率和小颖获胜的概率；
（2）根据题意和题目中的数据，可以分别计算出小明获胜的概率和小颖获胜的概率．
【小问1详解】
若小明获胜，则小颖需要抽到1或2或3，故小明获胜的概率是，
若小颖获胜，则小颖需要抽到5或6或7，故小颖获胜的概率是；
【小问2详解】
∵小明已经抽到数字6，
∴若小明获胜，则小颖需要抽到1或2或3或4或5，故小明获胜的概率为：，
若小颖获胜，则小颖需要抽到7，故小颖获胜的概率为，
即小明、小颖获胜的概率分别是，．
【点睛】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
21. 已如直线，为平面内一点，连接，．
（1）如图1，已知，，求的度数；
（2）如图2，小明通过探究，判断、、之间的数量关系为．你认为小明判断正确吗？如正确，给出证明；如不正确，该说明理由．
【答案】（1）
（2）正确，证明见解析
【解析】
【分析】（1）过点P作，由平行线的性质分别求出，即可求解；
（2）过点作，则，由平行线的性质得，，把代入整理可得结论成立．
【小问1详解】
如图，过点作，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
正确．
如图，过点作，则，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补．
22. 如图，在中，，，是的中点．点为线段的延长线上一点，连接．过点作．交直线于点，连接．过点作，与的延长线交于点，连接，若线段，，求的长．

【答案】的长为
【解析】
【分析】运用“角角边”可证，可得，，根据，即垂直平分线的性质，可得，根据，，可得是直角三角形，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：点是的中点，
，
，在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
∴的长为．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，平行线的性质，勾股定理等知识的综合，掌握以上知识是解题的关键．
23. 为使活动更具有意义，某活动举办方决定购买甲、乙两种品牌的文化衫，已知购买3件甲品牌文化衫和2件乙品牌文化衫需190元；购买5件甲品牌文化衫和1件乙品牌文化衫需235元．
（1）求甲、乙两种品牌文化衫的单价；
（2）根据需要，举办方决定购买两种品牌的文化衫共1000件，且甲品牌文化衫的件数不少于乙品牌文化衫件数的3倍．请你设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】（1）甲品牌文化衫的单价为40元，乙品牌文化衫的单价为35元
（2）购买750件甲品牌文化衫，250件乙品牌文化衫；理由见解析
【解析】
【分析】（1）设甲品牌文化衫的单价为元，乙品牌文化衫的单价为元，根据“购买3件甲品牌文化衫和2件乙品牌文化衫需190元；购买5件甲品牌文化衫和1件乙品牌文化衫需235元”列方程组求解即可；
（2）设购买件甲品牌文化衫，根据“甲品牌文化衫的件数不少于乙品牌文化衫件数的3倍”列不等式求出m的取值范围，设购买这1000件文化衫所需总费用为元，列出w与m的关系式，根据w随m的变化关系求出最佳方案即可．
【小问1详解】
设甲品牌文化衫的单价为元，乙品牌文化衫的单价为元，
依题意得：，
解得：．
答：甲品牌文化衫的单价为40元，乙品牌文化衫的单价为35元．
【小问2详解】
最省钱的购买方案为：购买750件甲品牌文化衫，250件乙品牌文化衫，理由如下：
设购买件甲品牌文化衫，则购买件乙品牌文化衫，
依题意得：，
解得：．
设购买这1000件文化衫所需总费用为元，
则，
，
隨的增大而增大，
∴当时，取得最小值，此时，
∴最省钱的购买方案为：购买750件甲品牌文化衫，250件乙品牌文化衫．
【点睛】本题考查了购买问题，方案设计问题．解题的关键是熟练掌握总价与单价和数量的关系，运用题设等量关系和不等关系列出二元一次方程组、一元一次不等式、一次函数解析式，根据函数值增减性设计最佳方案．
24. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于D， AF⊥AB交BE于点F．
（1）如图1，若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数；
（2）如图2，若BD⊥AC，垂足为D，BF＝8，求DF的长．
【答案】（1）125°；（2）2
【解析】
【分析】（1）求出∠ABC＝70°，由平分线的性质得∠ABD＝∠DBC＝35°，由AF⊥AB，得∠BAF＝90°，由三角形外角性质即可得出结果；
（2）易证△BDA≌△BDC（ASA），得出AB＝BC＝AC，则△ABC为等边三角形，在Rt△ABF中，∠ABD＝30°，AF＝BF，求得AF的长；在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，DF＝AF即可求得结果．
【详解】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝×（180°－40°）＝70°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝×70°＝35°．
∵AF⊥AB，
∴∠BAF＝90°．
∴∠AFE＝∠BAF＋∠ABD＝90°＋35°＝125°．
（2）∵ BD⊥AC，BE平分∠ABC，
∴ ∠ADB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝∠CBD，
∴ 在△BDA和△BDC中，
∴△BDA≌△BDC（ASA）．
∴AB＝BC．
又AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC．
∴△ABC为等边三角形．
∴∠ABC＝60°，∴∠ABD＝30°．
∴在Rt△ABF中，∠ABD＝30°，AF＝BF＝4．
∵∠BAF＝90°，
∴∠DAF＝30°．
在Rt△ADF中，DF＝AF＝2．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形外角性质、含30度的直角三角形等知识；证明三角形全等是解题的关键．
25. 如图，已知三个内角的平分线文于点，点在的延长线上，且，．

（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据△ABC三个内角的平分线交于点O，得，再由，，可证明；
（2）由全等三角形的性质得，再根据和角平分线的定义得，得出，进而得出，最后利用三角形内角和定理求解即可．
【小问1详解】
、、是三个内角的平分线，
∴，
在和中，
，
．
【小问2详解】
，
，
、、是三个内角的平分线，
，，
又，
，
又，
，
又，
，
，
，
又，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，以及等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决此题的关键．