四川省绵阳中学英才学校2022-2023学年九年级上学期入学考试数学试卷

这是一份四川省绵阳中学英才学校2022-2023学年九年级上学期入学考试数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（36分）
1. 下列图形中的角，是圆心角的为( )
A. B. C. D.
2. 下列函数中，是二次函数的为( )
A. y=x(x+1)+12(1-2x2)B. y=x2
C. y=2x3+x2+1D. y=33x-1
3. 给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4. 把方程x2-8x+3=0化成(x+m)2=n的形式，则m+n的值是( )
A. 23B. 17C. 15D. 9
5. 若A(-134,y1)，B(-54,y2)，C(14,y3)为二次函数y=x2+4x-5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y16. 如图，AB是⊙O的弦，点C在圆上，已知∠AOB=100°，则∠C=( )
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 80°
7. 若关于x的方程x2+mx-2n=0的一个根是2，则m-n的值是( )
A. -2B. 2C. -4D. 4
8. 在同一直角坐标系中，函数y=ax2+b与y=ax+2b(ab≠0)的图象大致如图( )更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 A. B.
C. D.
9. 某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛28场，则参加此次比赛的球队数是( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
10. 若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)有一根为2022，则方程a(x+1)2+b(x+1)=-5必有根为( )
A. 2022B. 2020C. 2019D. 2021
11. 若关于x的函数y=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是( )
A. m<-59B. m≤-59
C. m≤-59且m≠-6D. m<-59且m≠-6
12. 将二次函数y=-x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直线y=x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为( )
A. -214或-3
B. -134或-3
C. 214或-3
D. 134或-3
二、填空题（20分）
13. 已知x、y为实数，且方程为(x2+y2)(x2-2+y2)=15，则x2+y2= ______ ．
14. 如图，学校准备修建一个面积为48m2的矩形花园.它的一边靠墙，其余三边利用长20m的围栏，已知墙长9m，则围成矩形的长为______ ．
15. 将二次函数y=-x2+2x+3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，则平移后的抛物线的解析式为______．
16. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=120°，点B是AC的中点，则∠D的度数是______ ．
17. 已知函数y=mx2+2mx+l在-3≤x≤2上有最大值4，则常数m的值为______ ．
三、解答题（44分）
18. 解下列方程：
(1)4(3x-1)2-9(3x+1)2=0(2)2x2-3x+1=019. 已知关于x的一元二次方程x2-(k+1)x+14k2+1=0．
(1)k取何值时，方程有两个实数根；
(2)若上述一元二次方程两根为一矩形两相邻边的边长，且此矩形对角线长为 5，求k的值．
20. 如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．
(1)求∠EBC的度数；
(2)求证：BD=CD．
21. 如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=-1，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为(-3,0)．
(1)求点B的坐标；
(2)若点P在抛物线上，a=1，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标．
22. 2022北京冬奥会期间，冰墩墩和雪容融受到人们的广泛喜爱.某网店以每套96元的价格购进了一批冰墩墩和雪容融，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每套150元上涨到每套216元，此时每天可售出16套冰墩墩和雪容融．
(1)若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；
(2)预计冬奥会闭幕后需求会有所下降，需尽快将这批冰墩墩和雪容融售出，决定降价出售、经过市场调查发现：销售单价每降价10元，每天多卖出2套，当降价钱数m为多少元时每天的利润W(元)可达到最大，最大利润是多少？
B卷（20分）
23. （4分）图，某下水道的横截面是圆形的，水面CD的宽度为2m，F是线段CD的中点，EF经过圆心O交⊙O与点E，EF=3m，则⊙O直径的长是( )
A. 23m
B. 53m
C. 43m
D. 103m
24. （4分） 已知二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc<0，②b-2a<0，③a-b+c>0，④a+b>n(an+b)，(n≠1)，⑤2c<3b.正确的是______.(填写序号即可)
25. （12分）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A(12,52)和B(4,m)，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
(3)连接AC，直接写出△PAC为直角三角形时点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.顶点不在圆上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
B.顶点不在圆上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
C.是圆心角，故本选项符合题意；
D.顶点不在圆上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据圆心角的定义逐个判断即可．
本题考查了圆心角，弧、弦之间的关系和圆心角的定义，能熟记圆心角的定义(顶点在圆上，并且两边与圆相交的角，叫圆心角)是解此题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、y=x(x+1)+12(1-2x2)=x+12，是一次函数，错误：
B、y=x2是二次函数，正确；
C、y=2x3+x2+1，含x的三次方，不是二次函数，错误；
D、y=33x-1，是一次函数，错误．故选B．
首先把二次函数整理成一般形式，再利用定义解答．
解题关键是掌握二次函数的定义．
3.【答案】B
【解析】解：半径相等的圆是等圆，所以①说法正确；
长度相等的弧不一定是等弧，所以②说法错误；
半圆是弧，但弧不一定是半圆，所以③说法正确；
不在同一直线上的三点确定一个圆，所以④说法错误．
故选：B．
根据等圆、等弧和半圆的定义分别进行判断．
此题主要考查了确定圆的条件以及圆的相关定义，熟练掌握其定义是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：方程整理得：x2-8x=-3，
配方得：x2-8x+16=13，即(x-4)2=13，
∴m=-4，n=13，
则m+n=9．
故选：D．
方程配方得到结果，确定出m与n的值，即可求出m+n的值．
此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵y=x2+4x-5=x+22-9，
∴对称轴是直线x=-2，图象开口向上，
距离对称轴越近，函数值越小，
比较可知，B(-54,y2)离对称轴最近，C(14,y3)离对称轴最远，
即y2故选：B．
先确定抛物线的对称轴及开口方向，再根据点与对称轴的远近，判断函数值的大小．
主要考查了二次函数的图象性质及单调性的规律．
6.【答案】B
【解析】解：
∵∠AOB和∠ACB是弧AB所对的角，
∴∠AOB=2∠ACB，
∵∠AOB=100°，
∴∠ACB=50°，
故选B．
利用圆周角定理可知∠AOB=2∠ACB，可求得∠ACB=50°．
本题主要考查圆周角定理，掌握在同圆或等圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：依题意得：22+2m-2n=0，
整理，得4+2(m-n)=0．
解得m-n=-2．
故选：A．
根据一元二次方程的解的定义得到22+2m-2n=0，易得到m-n的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
8.【答案】B
【解析】解：对于A，由抛物线可知，a>0，由直线可知，a<0，故本选项错误；
对于B，由抛物线可知，a<0，b<0，由直线可知，a<0，b<0，故本选项正确；
对于C，由抛物线可知a>0，b<0，由直线可知a>0，b>0，故本选项错误；
对于D，由抛物线可知，a<0，由直线可知，a>0，故本选项错误．
故选B．
根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断．
本题考查了一次函数和二次函数的图象．
9.【答案】C
【解析】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：
12x(x-1)=28，
解得x1=8，x2=-7(舍去)，
∴参加此次比赛的球队数是8队．
故选：C．
根据球赛问题模型列出方程即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题．
10.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
对于一元二次方程a(x+1)2+b(x+1)=-5，设t=x+1得到at2+bt+5=0，利用at2+bt+5=0有一个根为t=2022得到x+1=2022，从而可判断一元二次方程a(x+1)2+b(x+1)=-5必有一根为x=2021．
【解答】
解：由a(x+1)2+b(x+1)=-5得到a(x+1)2+b(x+1)+5=0，
对于一元二次方程a(x+1)2+b(x+1)+5=0，
设t=x+1，
所以at2+bt+5=0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)有一根为x=2022，
所以at2+bt+5=0有一个根为t=2022，
则x+1=2022，
解得x=2021，
所以一元二次方程a(x+1)2+b(x+1)=-5有一根为x=2021．
故选：D．
11.【答案】B
【解析】解：当m+6=0，即m=-6时，
函数关系式为y=-14x-5，
此时是一次函数，函数图象与x轴有交点；
当m+6≠0，即m≠-6时，
由函数图象与x轴有交点可得关于x的一元二次方程(m+6)x2+2(m-1)x+m+1=0的根的判别式Δ=[2(m-1)]2-4(m+6)(m+1)≥0，
解得：m≤-59，
∴此时m的取值范围是m≤-59且m≠-6；
综上可得，m的取值范围是m≤-59，
故选：B．
当m+6=0时可得是一次函数，函数图象与x轴有交点；当m+6≠0时，根据二次函数图象与x轴有交点Δ≥0列式求解即可．
本题考查了一次函数、二次函数与x轴的交点问题，易错点是容易忽略m+6=0的情况，当函数关系不确定时，注意分类讨论．
12.【答案】A
【解析】
【分析】
此题主要考查了翻折的性质，一元二次方程与二次函数的关系，抛物线的性质，确定翻折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键．
分两种情形：如图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，当直线y=x+b与抛物线y=(x-1)2-4(-1≤x≤3)相切时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可．
【解答】
解：二次函数解析式为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∴抛物线y=-x2+2x+3的顶点坐标为(1,4)，
当y=0时，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，
则抛物线y=-x2+2x+3与x轴的交点为A(-1,0)，B(3,0)，
把抛物线y=-x2+2x+3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，
则翻折部分的抛物线解析式为y=(x-1)2-4(-1≤x≤3)，顶点坐标M(1,-4)，
当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，
∴3+b=0，
解得：b=-3，
当直线y=x+b与抛物线y=(x-1)2-4(-3≤x≤1)相切时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，
即(x-1)2-4=x+b有相等的实数解，
整理得x2-3x-b-3=0，
则△=32-4(-b-3)=0，
解得b=-214，
∴b的值为-214或-3．
故选A．
13.【答案】5
【解析】解：设x2+y2=u，原方程等价于u2-2u-15=0．
解得u=5，u=-3(不符合题意，舍)，
x2+y2=5，
故答案为：5．
根据换元法，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案．
本题考查了换元法解一元一次方程，利用x2+y2=u得出关于u的一元二次方程是解题关键，注意平方都是非负数．
14.【答案】8m
【解析】解：设宽为x m，则长为(20-2x)m．
由题意，得x⋅(20-2x)=48，
解得x1=4，x2=6．
当x=4时，20-2×4=12>9(舍去)，
当x=6时，20-2×6=8．
即：围成矩形的长为8m．
故答案为：8m．
设宽为xm，则长为(20-2x)m，然后根据48平方米的长方形即可列出方程，解方程即可解决问题．
此题是利用一元二次方程解决实际问题，解题的关键是理解题意，找到等量关系准确的列出方程．
15.【答案】y=-x2+2
【解析】解：∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∴将二次函数y=-x2+2x+3的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的图象表达式为
y=-(x-1+1)2+4-2，即y=-x2+2．
故答案为y=-x2+2．
先运用配方法将y=-x2+2x+3写成顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】30°
【解析】解：连接OB，如图，
∵点B是AC的中点，
∴∠AOB=12∠AOC=12×120°=60°，
∴∠D=12∠AOB=30°．
故答案为：30°．
连接OB，如图，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOB=∠COB=12∠AOC=60°，然后根据圆周角定理得到∠D的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
17.【答案】-3或38
【解析】解：由题知，
抛物线的对称轴为直线x=-1，
当m>0时，抛物线开头向上，
又-3≤x≤2，则当x=2时，函数取得最大值．
又函数的最大值为4，则22m+2×2m+1=4，
解得m=38；
当m<0时，抛物线开口向下，
又-3≤x≤2，则当x=-1时，函数取得最大值．
又函数的最大值为4，则(-1)2m+(-1)×2m+1=4，
解得m=-3；
综上所述：m的值为-3或38．
故答案为：-3或38．
根据函数表达式可得出抛物线的对称轴，再对m的正负进行分类讨论即可．
本题考查二次函数在给定自变量范围内的最值，能熟练运用抛物线的增减性是解题的关键．
18.【答案】解：(1)∵4(3x-1)2-9(3x+1)2=0，
∴4(3x-1)2=9(3x+1)2，
则2(3x-1)=3(3x+1)或2(3x-1)=-3(3x+1)，
解得x1=-53，x2=-115；
(2)∵2x2-3x+1=0，
∴(x-1)(2x-1)=0，
则x-1=0或2x-1=0，
解得x1=1，x2=12．
【解析】(1)利用直接开平方法求解即可；
(2)利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
19.【答案】解：(1)∵△=[-(k+1)]2-4×(14k2+1)=2k-3≥0，
∴k≥32，
(2)设方程的两根为x1、x2
∴x1+x2=k+1，x1x2=14k2+1，
由题意得x12+x22=5，
∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(k+1)2-2×(14k2+1)=5，解得k1=-6，k2=2，
∵x1+x2=k+1>0，
∴k>-1，
∴k=2．
【解析】(1)根据判别式是非负数，这样就可以确定k的取值范围；
(2)设方程的两根为x1，x2，依题意x12+x22=5，又根据根与系数的关系可以得到x1+x2=k+1，x1⋅x214k2+1，而x12+x22=(x1+x2)2-2x1⋅x2，这样利用这些等式变形即可求解．
此题主要考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，首先利用判别式是非负数确定k的取值范围，然后利用各与系数的关系确定k的值．
20.【答案】解：(1)∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°．
又∵∠BAC=45°，
∴∠ABE=45°．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=67.5°．
∴∠EBC=22.5°．
(2)连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∴AD⊥BC．
又∵AB=AC，
∴BD=CD．
【解析】(1)∠EBC的度数等于∠ABC-∠ABE，因而求∠EBC的度数就可以转化为求∠ABC和∠ABE，根据等腰三角形的性质等边对等角，就可以求出．
(2)在等腰三角形ABC中，根据三线合一定理即可证得．
考查圆周角定理及等腰三角形的性质的综合运用．关键是根据∠EBC的度数等于∠ABC-∠ABE进行解答．
21.【答案】解：(1)∵对称轴为x=-1，A点坐标为(-3,0)，
∴B点坐标为(1,0)；
(2)由条件其对称轴为x=-1，即-b2a=-1，
当a=1时，代入可求得b=2，
∴抛物线为y=x2+2x+c，
又∵过B(1,0)，代入可求得c=-3，
∴抛物线解析式为y=x2+2x-3，
∴C点坐标为(0,-3)，
∴OC=3，且OB=1，
∴S△BOC=12OB⋅OC=12×3×1=32，
∴S△POC=4S△BOC=6，
设P到y轴的距离为h，则S△POC=12OC⋅h=32h=6，解得h=4，
∴P点的横坐标为4或-4，
当x=4时，代入抛物线解析式可求得y=21，
当x=-4时，代入抛物线解析式可求得y=5，
∴P点坐标为(4,21)或(-4,5)．
【解析】(1)由二次函数的对称性可知，点B、C到对称轴的距离相等可求得B点的坐标；
(2)由条件可先求得抛物线的解析式，再求得△BOC的面积，结合条件可求得P点到y轴的距离，即P点的横坐标，代入可求得P点坐标．
本题主要考查待定系数法求二次函数解析式及与坐标轴的交点，利用二次函数的对称性求得B点的坐标、求得二次函数的解析式是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设每次上涨的百分率为x，根据题意得：150(1+x)2=216，
解得：x1=0.2，x2=-2.2(不合题意，舍去)，
答：每次上涨的百分率为20%；
(2)根据题意得：W=(216-m-96)(2m10+16)，
=-15m2+8m+1920，
=-15(m-20)2+2000，
∴当m=20时，W最大，最大值为2000，
答：当降价钱数m为20元时，每天的利润可达到最大，最大利润是2000元．
【解析】(1)设每次上涨的百分率为x，根据“销售单价经过两次的调整，从每套150元上涨到每套216元”列出方程，即可求解；
(2)根据题意列出W关于m的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．
本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
23.【答案】D
【解析】解：如图，连接OC，
∵F是弦CD的中点，EF过圆心O，
∴EF⊥CD．
∴CF=FD．
∵CD=2，
∴CF=1，
设OC=x，则OF=3-x，
在Rt△COM中，根据勾股定理，得
12+(3-x)2=x2．
解得 x=53，
∴⊙O的直径为103．
故选：D．
根据垂径定理得出EF⊥CD，则CF=DF=1，在Rt△COF中，有OC2=CF2+OF2，进而可求得半径OC．
此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形．
24.【答案】①④⑤
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线对称轴为直线x=-b2a=1，
∴b=-2a>0，
∴b-2a>0，②错误．
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c>0，
∴abc<0，①正确．
由图象可得x=-1时，y=a-b+c<0，
∴③错误．
由图象可得x=1时，y=a+b+c为最大值，
∴a+b+c>an2+bn+c(n≠1)，即a+b>n(an+b)(n≠1)，④正确．
∵x=-1时，y<0，抛物线对称轴为直线x=1，
∴x=3时，y=9a+3b+c<0，
∵b=-2a，
∴a=-b2，
∴9a+3b+c=-32b+c<0
∴2c<3b，⑤正确．
故答案为：①④⑤．
由抛物线开口方向，对称轴，抛物线与y轴交点位置可判断①②，由x=-1时y<0可判断③，由x=1时y取最大值可判断④，由x=-1时y<0可得x=3时y<0，再根据b与a的关系可判断⑤．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
25.【答案】解：(1)∵B(4,m)在直线y=x+2上，
∴m=4+2=6，
∴B(4,6)，
∵A(12,52)，B(4,6)在抛物线y=ax2+bx+6上，
∴14a+12b+6=5216a+4b+6=6，解得a=2b=-8，
∴抛物线的解析式为y=2x2-8x+6；
(2)设动点P的坐标为(n,n+2)，则C点的坐标为(n,2n2-8n+6)，
∴PC=(n+2)-(2n2-8n+6)，
=-2n2+9n-4，
=-2(n-94)2+498，
∵PC>0，
∴当n=94时，线段PC最大且为498
(3)∵△PAC为直角三角形，
i)若点P为直角顶点，则∠APC=90°．
由题意易知，PC//y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；
ii)若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．
如图1，过点A(12,52)作AN⊥x轴于点N，则ON=12，AN=52．
过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，
∴MN=AN=52，
∴OM=ON+MN=12+52=3，
∴M(3,0)．
设直线AM的解析式为：y=kx+b，
则：12k+b=523k+b=0，解得k=-1b=3，
∴直线AM的解析式为：y=-x+3 ①
又抛物线的解析式为：y=2x2-8x+6 ②
联立①②式，解得：x=3或x=12(与点A重合，舍去)
∴C(3,0)，即点C、M点重合．
当x=3时，y=x+2=5，
∴P1(3,5)；
iii)若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．
∵y=2x2-8x+6=2(x-2)2-2，
∴抛物线的对称轴为直线x=2．
如图2，作点A(12,52)关于对称轴x=2的对称点C，
则点C在抛物线上，且C(72,52).
当x=72时，y=x+2=112．
∴P2(72,112).
∵点P1(3,5)、P2(72,112)均在线段AB上，
∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为(3,5)或(72,112).
【解析】(1)已知B(4,m)在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过待定系数法即可求得解析式；
(2)设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，化成顶点式即可；
(3)当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解．
此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识．