广东省惠州市惠阳区黄埔实验学校2022-2023学年九年级下学期开学数学试题（解析版）

这是一份广东省惠州市惠阳区黄埔实验学校2022-2023学年九年级下学期开学数学试题（解析版），共33页。试卷主要包含了 下列方程中，一元二次方程共有， 下列几何图形中为圆柱体的是， 在反比例函数图象上的点为等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 若一元二次方程的两个根为、，则是（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两根之积等于即可解决问题．
【详解】解：一元二次方程的两个根为、，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
2. 下列方程中，一元二次方程共有（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义解答．
【详解】解：①符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
②含有x、y两个未知数，故本选项错误；
③分母中含有未知数，故本选项错误；
④符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
⑤符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
故选:B
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 3. 下列几何图形中为圆柱体的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：选项A是圆台，B是圆锥，C是圆柱，D是三棱柱．
故选C．
4. 如图，已知菱形的边长为2，对角线相交于点O，点M，N分别是边上的动点，，连接，则下列结论错误的是（ ）
A. 是等边三角形B. 的最小值是
C. 当最小时，D. 当时，
【答案】B
【解析】
【分析】由菱形的性质结合题意易证和都是等边三角形，即得出，．又易证，从而可证，即得出，即是等边三角形，可判断选项A正确；由垂线段最短可知当时，AM的值最小，此时MN的值也最小．再根据含30度角的直角三角形的性质可求出．最后根据勾股定理即可求出，可判断选项B错误；由时，的值最小，此时，即得出，从而得出．又易证，即得出，结合菱形的性质即可得出，可判断选项C正确；由题意易证，即得出，再根据，即得出，可判断选项D正确．
【详解】∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
∴和都是等边三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，故选项A正确；
当时，AM的值最小，此时MN的值也最小．
∵，，，
∴，
∴．
在中，，
∴，即的最小值是．故选项B错误；
∵时，的值最小，此时，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，故选项C正确；
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故选项D正确．
故选B．
【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，垂线段最短等知识，综合性强，考查的知识点全面，选择题中的压轴题．熟练掌握菱形的性质是解题关键．
5. 如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为( )
A. 2B. 2.2C. 2.4D. 2.5
【答案】C
【解析】
【分析】连接AP，根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
【详解】解：如图，连接AP，
∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
即∠BAC=90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP，
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，
∴EF的最小值为2.4，
故选：C．
【点睛】此题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质，要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．
6. 已知2是关于x的方程的一个根，并且等腰三角形的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，则的周长为（ ）
A. 10B. 14C. 10或14D. 8或10
【答案】B
【解析】
【分析】把代入方程求出m的值，进而求出方程的两个根，再根据等腰三角形的定义结合构成三角形的条件进行求解即可．
【详解】解：∵2是关于x的方程的一个根，
∴把代入方程得：，
∴解得，
∴原方程为：，即，
∴方程的两个根分别是2，6，
又∵等腰三角形的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，
∴若2是等腰三角形的腰长，则的三边长分别为，
∵，
∴此时不能构成三角形，
∴若6是等腰三角形的腰长，则底边长为2，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴三角形的周长为：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，等腰三角形的定义，构成三角形的条件等等，正确把代入方程求出m的值是解题的关键．
7. 如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在BC，AB边上，连接DE，将△BDE沿DE翻折，使点B落在点F的位置，连接AF，若四边形BEFD是菱形，则AF的长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接BF交ED于点0，设EF与AC交于点G．根据菱形的性质可得点F在∠ABC的平分线上运动，从而得到当AF⊥BF时，AF的长最小．再证明△BEO∽△BAF，可得，再证明△AGE∽△ACB，，从而得到GF=1，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接BF交ED于点O，设EF与AC交于点G．
∵四边形BEFD是菱形，
∴BF平分∠ABC，
∴点F在∠ABC的平分线上运动，
∴当AF⊥BF时，AF的长最小．
在菱形BEFD中，BF⊥ED，OB=OF，EF∥BC，
∴EO∥AF，
∴△BEO∽△BAF，
∴，
∴，
在中，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴BE=AE=2.5，
∵AF⊥BF，
∴EF=2.5，
∵EF∥BC，
∴△AGE∽△ACB，
∴，
∴，
∴GF=EF-EG=1，
∵∠AGF=∠AGE=90°，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，准确得到点F在∠ABC的平分线上运动是解题的关键．
8. 在反比例函数图象上的点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依次把各个选项的横坐标代入反比例函数，求出纵坐标的值，即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数的比例系数为，
∴在该反比例函数上的点的横纵坐标的积为，
A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D、，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握代入法是解题的关键．
9. 如图所示，点P是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AP＝EF；③AH⊥EF；④AP2＝PM•PH；⑤EF的最小值是．其中正确结论有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】由点P为BD中点时，MC=0≠MF，可得①错误；连接PC，交EF于O，由点P在BD上，可得AP=PC，根据PF⊥CD，PE⊥BC，∠BCF=90°可得四边形PECF是矩形，可得EF=PC，即判断②正确；利用SSS可证明△APD≌△CPD，可得∠DAP=∠DCP，由矩形的性质可得∠OCF=∠OFC，即可证明∠DAP=∠OFC，可得∠DAP+∠AMD=∠OFC+∠AMD=90°，即可判断③正确；根据平行线的性质可得∠DAP=∠H，可得∠DCP=∠H，由∠HPC是公共角可证明△CPM∽△HPC，根据相似三角形的性质可得，根据PC=AP即可判断④正确，当PC⊥BD时PC的值最小，根据等腰直角三角形的性质可求出PC的最小值为，根据EF=PC即可判断⑤正确；综上即可得答案.
【详解】当点P为BD中点时，点M与点C重合，MC=0≠MF，故①错误，
连接PC，交EF于O，
∵点P在BD上，BD为正方形ABCD的对角线，
∴AP=PC，
∵PF⊥CD，PE⊥BC，∠BCF=90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EF=PC，
∴AP=EF，故②正确，
∵AD=CD，AP=PC，PD=PD，
∴△APD≌△CPD，
∴∠DAP=∠DCP，
∵四边形PECF是矩形，
∴∠OCF=∠OFC，
∴∠DAP=∠OFC，
∴∠DAP+∠AMD=∠OFC+∠AMD=90°，
∴∠FGM=90°，即AH⊥EF，故③正确，
∵AD//BH，
∴∠DAP=∠H，
∵∠DAP=∠DCP，
∴∠MCP=∠H，
∵∠CPH为公共角，
∴△CPM∽△HPC，
∴，
∵AP=PC，
∴AP2= PM•PH，故④正确，
当PC⊥BD时，PC有最小值，PC=BD=，
∵PC=EF
∴EF的最小值为，故⑤正确，
综上所述：正确的结论有②③④⑤，共4个，
故选C.
【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理及正方形的性质是解题关键.
10. 如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别在AD、AB上（点E不与点D重合），DE＝AF，DF、CE交于点G，则AG的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过证明△DEC≌△AFD得出∠DGE=90°，可知△DGC是直角三角形，则G点运动轨迹是以DC为直径的圆上，设圆的圆心为O,当A、G、O三点共线时，AG最短．由点E不与点D重合可得AG＜2．
【详解】解：∵AD=DC，∠EDC=∠FAD，DE=AF，
∴△DEC≌△AFD（SAS）．
∴∠DCE=ADF．
∵∠DCE+∠DEC=90°，
∴∠ADF+∠DEC=90°，即∠DGE=90°=∠DGC．
所以点G运动的轨迹在以DC为直径的圆上的一段弧，圆心在DC中点O处．
当A、G、O三点共线时，AG最短，如图所示．
此时AO===，OG=DC=1，
所以AG=AO-OG=-1．
因为点E不与点D重合，所以AG＜2．
所以-1≤AG＜2．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解决动点问题的最值问题，要先分析出动点运动的轨迹，根据轨迹特征确定最大或最小值．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11. 一个三角形的两边长为3和5，第三边长为方程的根，则这个三角形的周长为_______．
【答案】11
【解析】
【分析】先运用因式分解法解一元二次方程得到第三边的可能长度，再根据三角形的三边关系确定第三边的长，最后求周长即可．
【详解】解：
，解得：，
∵一个三角形的两边长为3和5，
∴第三边长的取值范围是：，则第三边长为：3，
∴这个三角形的周长为：11．
故答案为：11．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、三角形的三边关系等知识点，根据题意确定确定第三边的长是解答本题的关键．
12. 已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于 _________．
【答案】6070
【解析】
【分析】由m、n是一元二次方程的两个实数根，可得，，，由，代入求值即可．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根，
∴，，，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
13. 在阳光下，身高1.6m的小林在地面上的影长为2m，在同一时刻，测得学校的旗杆在地面上的影长为10m，则旗杆的高度为______m．
【答案】8
【解析】
【分析】根据在同一时刻身高与影长成比例得出比例式，即可求解．
【详解】解：设旗杆的高度为xm．
根据在同一时刻物高与影长成比例可得： ，
解得：x＝8．
故答案为8．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用．根据同一时刻物高与影长成比例得出比例式是解决问题的关键．
14. 方程的根是____．
【答案】
【解析】
【分析】首先把方程两边同时平方，然后解一元二次方程，最后要验根．
【详解】解：，
，
，
，
经检验是原方程的根，
．
故答案：．
【点睛】本题考查了无理方程的解法，把方程两边同时平方是解题的关键，要注意解答后一定要检验．
15. 如图，已知、、、…均为等腰直角三角形，直角顶点、、、…在函数图象上，点、、、在轴的正半轴上，则点的横坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】分别过P1、P2、P3作x轴的垂线，垂足为H1、H2、H3，则△OP1H1，△A1P2H2，△A2P3H3为等腰直角三角形，根据P1、P2、P3上点的横坐标与纵坐标的积为4，分别求各点的横坐标的值，发现规律．
【详解】分别过、、作的垂线，垂足为，，，则，，为等腰直角三角形，
设，
则，
解得（负值舍去），
即的横坐标为2，
∴OA1=4，
设，
则，
解得（负值舍去），
即的横坐标为，
同理：设，
则，
解得：（负值舍去），
即的横坐标为，
所以的横坐标为，
所以的横坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，以及点坐标规律探究．关键是根据等腰直角三角形的性质，依次设反比例函数图象上各点的纵坐标，表示横坐标，代入反比例函数解析式求解，发现规律．
16. 如图，长方形中，，，如果将该长方形沿对角线折叠，使点C落在点处，那么图中重叠部分的面积是__________________．

【答案】##0.625
【解析】
【分析】设的长x，根据折叠得出，根据平行线的性质得出，得出，根据等腰三角形的判定得出，根据勾股定理得出，即，求出，再求出结果即可．
【详解】解：设的长x，∵长方形沿对角线折叠，
∴，，，
∵为长方形的对角线，
∴，
∴，，
在中，，
即，
解得：，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握勾股定理，求出的长．
17. 如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G,若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为_____．
【答案】+3．
【解析】
【详解】分析：根据面积之比得出△BGC的面积等于正方形面积的，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而得出其周长．
详解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
∴阴影部分的面积为×9=6，
∴空白部分的面积为9-6=3，
由CE=DF，BC=CD，∠BCE=∠CDF=90°，可得△BCE≌△CDF，
∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3=，
设BG=a，CG=b，则ab=，
又∵a2+b2=32，
∴a2+2ab+b2=9+6=15，
即（a+b）2=15，
∴a+b=，即BG+CG=，
∴△BCG的周长=+3，
故答案为+3．
点睛：此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形面积问题．解题时注意数形结合思想与方程思想的应用．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18. 如果，且．求的值．
【答案】
【解析】
【分析】根据比例的性质求得，代入，即可求解．
【详解】解：，
，
．
，
．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
19. ．
【答案】，．
【解析】
【分析】
根据求根公式解一元二次方程即可．
【详解】解：
，，，
△，
，．
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟记求根公式，按照用公式法解一元二次方程的步骤熟练计算．
20. 米奇家住宅面积为90平方米，其中客厅30平方米，大卧室18平方米，小卧室15平方米，厨房14平方米，大卫生间9平方米，小卫生间4平方米．如果一只小猫在该住宅内地面上任意跑．求：
(1)P(在客厅捉到小猫)；
(2)P(在小卧室捉到小猫)；
(3)P(在卫生间捉到小猫)；
(4)P(不在卧室捉到小猫)．
【答案】（1） （2） （3） （4）
【解析】
【详解】分析：
根据题意，由相应房间的面积比上总面积90进行计算即可.
详解：
由题意可得：
(1)P(在客厅捉到小猫)=；
(2)P(在小卧室捉到小猫)=；
(3)P(在卫生间捉到小猫)=；
(4)P(不在卧室捉到小猫)=.
点睛：知道：“在某个房间捉到小猫的概率=该房间的面积：米奇家住宅的总面积”是解答本题的关键.
21. 数学课上，老师出示了一道题目：如图1，在中，，点E在上，点D在的延长线上，且，试探究线段之间存在的数量关系，并说明理由．
（1）[猜想证明]线段关系是．请补全下列证明思路；
如图1：过点E作交于点F，则，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵．
∴．
∴ （ASA），
∴，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴．
（2）[变式拓展]
如图2，在中，，点E在的延长线上，点D在直线上，且．请你在图2中补齐图形．并探索（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出完整的证明；若不成立，请直接写出新的结论．
【答案】（1），，，
（2）（1）中结论成立，理由见解析
【解析】
分析】（1）先判断出，再判断出．得出，得出，再判断出即可解答；
（2）先判断出，进而判断出，进而判断出，得出，得出，再判断出，得出结论即可解答．
【小问1详解】
证明：如图1，过点E作交于点F，则，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵．
∴．
∴（ASA），
∴，
∴．
∴，
∴，
∴．
故答案为：，，，．
【小问2详解】
解（1）中的结论仍然成立，；
如图2，过点A作交于点H，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造出相似三角形是解本题的关键．
22. 如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，m）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．
（1）求m的值及一次函数解析式；
（2）P是线段AB上的一点，连接PC、PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
【答案】（1）m=2；y=x+；（2）P点坐标是（﹣，）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）设点P的坐标为根据面积公式和已知条件列式可求得的值，并根据条件取舍，得出点P的坐标．
【详解】解：（1）∵反比例函数的图象过点
∴
∵点B（﹣1，m）也在该反比例函数的图象上，
∴﹣1•m=﹣2，
∴m=2；
设一次函数的解析式为y=kx+b，
由y=kx+b的图象过点A，B（﹣1，2），则
解得：
∴一次函数的解析式为
（2）连接PC、PD，如图，设
∵△PCA和△PDB面积相等，
∴
解得：
∴P点坐标是
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数以及一次函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键.
23. 如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．
①求证：BD⊥CF；
②当AB=4，AD=时，求线段BG的长．
【答案】解：（1）BD=CF成立．理由见解析； （2）①证明见解析； ②
【解析】
【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，易证得△BAD≌△CAF，根据全等三角形的对应边相等，即可证得BD=CF；
（2）①由△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又由对顶角相等，易证得△BMA∽△CMG，根据相似三角形的对应角相等，可得BGC=∠BAC=90°，即可证得BD⊥CF；
②首先过点F作FN⊥AC于点N，利用勾股定理即可求得AE，BC的长，继而求得AN，CN的长，又由等角的三角函数值相等，可求得，然后利用△BMA∽△CMG，求得CG的长，再由勾股定理即可求得线段BG的长．
【详解】解（1）BD=CF成立．
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAF=∠DAF-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS）．
∴BD=CF．
（2）①证明：设BG交AC于点M．
∵△BAD≌△CAF（已证），
∴∠ABM=∠GCM．
∵∠BMA=∠CMG，
∴△BMA∽△CMG．
∴∠BGC=∠BAC=90°．
∴BD⊥CF．
②过点F作FN⊥AC于点N．
∵在正方形ADEF中，AD=DE=，
∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，
∴CN=AC-AN=3，
∴在Rt△ABM中，
∴在Rt△ABM中，
∵△BMA∽△CMG，
∴Rt△BGC中，
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
24. 如图，在边长为16的菱形ABCD中，AC、BD为对角线，，点E、F分别是边AB、边BC上的动点，连接DE、DF、EF．
（1）当点E、点F分别是边AB，边BC的中点时．
①求证：是等边三角形；
②若点G是对角线AC上的动点，连接EG，FG，则直接写出的最小值为______；
（2）若点H是对角线AC上的动点，连接EH、FH，则直接写出的最小值为______；
（3）若，EF交BD于点K，点P、点Q分别是线段DE、线段DF上的动点，连接KQ、PQ，则直接写出的最小值为______．
【答案】（1）①见解析 ②16 （2） （3）
【解析】
【分析】（1）①由菱形的性质可得AB=BC=CD=AD=16，∠BCD=∠BAD=60°，可证△ABD，△BCD是等边三角形，由全等三角形的判定和性质可证DE=DF，∠EDF=60°，可得结论；
②作点F关于AC的对称点N，连接GN，则FG=GN，当点E，点G，点N三点共线时，EG+FG的最小值为EN，即可求解；
（2）作点F关于AC的对称点N，连接HN，则FH=HN，当点E，点H，点N三点共线且EN⊥CD时，EH+FH的最小值为EN，即可求解；
（3）如图中，作点K关于DF的对称点为M，过点M做DE的垂线，交DF为Q，交DE为P，此时，PQ+KQ最短，连接DM、作DG⊥EF于G，EH⊥AD于H．首先求出DE、DG的长，再证明△DGK≌△MPD，推出MP=DG即可．
【详解】解：（1）①如图，
∵ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=120°，
∴△ADB为等边三角形和△CDB为等边三角形，
∴∠ABD=∠CBD=60°，
∵点E、点F分别是边AB，边BC的中点，
∴AE=BF，
在△AED和△BFD中，
° ，
∴△AED≌△BFD，
∴DE=DF，∠ADE+∠BDE=∠FDB+∠BDE=60°，
∴∠EDF=60°，
∴△DEF为等边三角形；
②∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD，
如图1，作点F关于AC的对称点N，连接GN，则FG=GN，
∴EG+FG=EG+GN，
∴点E，点G，点N三点共线时，EG+FG的最小值为EN，
∵点F，点N关于AC对称，
∴CN=CF=BC=CD，
∴DN=CN=AE=BE，
又∵AB∥CD，
∴四边形AEND是平行四边形，
∴EN=AD=16，
故答案为：16；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD，
如图2，作点F关于AC的对称点N，连接HN，则FH=HN，
∴EH+FH=EH+HN，
∴点E，点H，点N三点共线且EN⊥CD时，EH+FH的最小值为EN，即菱形的高，
∵∠DAB=60°，DA=16，
菱形的高，
∴EN=8，
∴EH+FH的最小值为8；
（3）如图3，过点D作DN⊥BC于N，作点K关于DF的对称点H，连接DH，HF，QH，
∴KQ=HQ，∠BDF=∠HDF，KD=HD，
∴PQ+KQ=PQ+QH，
∴当点H，点Q，点P三点共线，且HP⊥DE时，PQ+KQ有最小值，
∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=60°，
∴∠A=∠BCD=60°，AD=CD=BC=AB，
∴△ABD，△BCD是等边三角形，
∴AD=BD=16，∠ADB=∠DBC=60°，
又∵AE=BF，
∴△ADE≌△BDF（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠BDF，
∴ADB=∠EDF=60°，
∴△EDF是等边三角形，
∴∠EFD=60°，
∵DN⊥BC，△BDC是等边三角形，
∴BN=NC=8，∠BDN=30°，
∴DN=BN=8，
∵FN=BN-BF=4，
∴DF，
∵∠EFD=∠DBC=60°，∠BDF=∠KDF，
∴△BDF∽△FDK，
∴，
∴，
∴DK=13，
∴DH=13，
∵∠DFN=∠DBC+∠BDF=60°+∠BDF，∠EDH=∠EDF+∠FDH=60°+∠BDF，
∴∠DFN=∠EDH，
又∵∠HPD=∠DNF，
∴△DPH∽△FND，
∴，
∴，
∴HP=2，
∴PQ+KQ的最小值为2．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，最短路径等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
25. 将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B在第一象限，，，点P在边上（点P不与点重合）．

（1）如图①，当时，求点P的坐标；
（2）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且，点O的对应点为，设．
①如图②，若折叠后与重叠部分为四边形，分别与边相交于点，试用含有t的式子表示的长，并直接写出t的取值范围；
②若折叠后与重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1）点P的坐标为；
（2）①，t的取值范围是；②．
【解析】
【分析】（1）过点P作轴，则，因为，，可得，进而得，由30°所对的直角边等于斜边的一半可得，进而用勾股定理可得，点P的坐标即求出；
（2）①由折叠知，，所以，；再根据，即可根据菱形定义“四条边相等的四边形是菱形”可证四边形为菱形，所以，可得；根据点A的坐标可知，加之，从而有；而在中，，
又因为，所以得，由和的取值范围可得t的范围是；②分重叠部分为四边形和三角形两种情况，分别由①知，为等边三角形，由（1）四边形为菱形，所以,三角形为直角三角形，进而求得重叠部分面积的表达式，然后根据二次函数的性质求最值即可．
【小问1详解】
解：如图，过点P作轴，垂足为H，则．
，
．
．
在中，，
，．
点P的坐标为．
【小问2详解】
解：①由折叠知，，
，．
又∵，
．
四边形为菱形．
．可得．
点，
．
∴．
在中，．
，
，其中t的取值范围是．
②当重叠部分为四边形时，即
由①知，为等边三角形，
∵四边形为菱形，
∴,
∴三角形为直角三角形，，
∴，,
∴，
∵，
∴．

当重叠部分为三角形时，即
由折叠知，，
，．
又∵，
．
四边形为菱形．
．
∴．
点，
．
∴．
在中，．
∴，其中t的取值范围是．
∴，,
∴，
∵，
∴．
综上，当时，求S的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了折叠问题、菱形的判定与性质、求不规则四边形的面积等知识，掌握数形结合思想是解答本题的关键．