甘肃省张掖市甘州区第一中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份甘肃省张掖市甘州区第一中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，问答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）的值等于（ ）
A．2B．1C．D．
2．（3分）方程的两个根为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．（3分）下列性质中，矩形不一定具有的是（ ）
A．对角线相等B．四个角都是是直角
C．对角线互相垂直D．是轴对称图形
4．（3分）下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个平行四边形B．两个正方形
C．两个矩形D．两个菱形
5．（3分）如图所示的工件，其俯视图是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）已知抛物线的顶点坐标为，则该抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）根据下列表格提供的对应的数值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）已知，，在反比例函数上，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，抛物线的对称轴是直线，则下列五个结论：①；②；③；⑤，其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）已知：，则______．
12．（4分）如图，已知，则图中相似三角形是______．
13．（4分）点在反比例函数的图象上______．
14．（4分）已知与相似，相似比为1∶3，如果的面积为______．
15．（4分）已知α、β均为锐角，且满足，则______．
16．（4分）小聪和小明两个同学玩“石头，剪刀、布”的游戏，随机出手一次是平局的概率是______．
17．（4分）如图，路灯距离地面10.5米，身高1.5米的小明站在距离灯的底部（点O），则小明的影子AM长为______米．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点O，与x轴的另一个交点为A．过抛物线的顶点B分别作轴于C、轴于D，则图中阴影部分图形的面积和为______．
三、问答题（19题8分，20题6分，21题7分，22、26题每小题8分，23、24、25每小题8分，27题9分，28题12分，共88分）
19．（8分）计算：
（1）．
（2）解方程：．
20．（6分）为答谢全国人民的真情关爱，从8月8日开始，湖北举办“与爱同行惠游湖北”活动，甲、乙都有去旅游的打算．
（1）若甲随机选择一个景点游玩，求甲选择A景点的概率；
（2）利用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择的两个景点不同的概率．
21．（7分）如图，在矩形ABCD中，，设，且
22．（8分）已知，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标．
23．（10分）某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度y（微克/毫升）与服药后时间x（时），当血液中药物浓度上升（）时，满足时，y与x成反比例函数关系．
（1）求k的值；
（2）求当时，y与x之间的函数表达式；
（3）若血液中药物浓度不低于3微克毫升的持续时间超过4小时，则称药物治疗有效，则研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？
24．（10分）如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形菜园的边AB的长为x m，其中．
（1）写出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围；
（2）当该矩形菜园的面积为100m．求边AB的长；
（3）当边AB的长为多少时，该矩形菜园的面积最大？最大面积是多少？
25．（10分）兰州白塔山山势起伏，山中白塔七级八面，上有绿项，几经强烈地震仍屹立未动，显示了我国古代劳动人民在建筑艺术上的智慧与才能．
问题提出：如何测量白塔的高MN．
方案设计：九年级三班的白亮同学去测量白塔的高，如图，他在点A处测得塔尖M的仰角是30°，又测得塔尖M的仰角是60°．
问题解决：根据上述方案和数据，求白塔的高度MN（结果精确到1m，参考数据：）．
26．（8分）如图，在四边形ABCD中，，AC平分，且，交AC于F．
（1）求证：；
（2）若，试确定四边形ABED是什么特殊四边形？请说明理由．
27．（9分）掷实心球是南京市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1，一名女生投郑实心球，实心球行进路线是一条抛物线（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据南京市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.9m，请说明理由．
28．（12分）如图，抛物线与x轴交于，两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，求出Q点的坐标；若不存在
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，请说明理由．
2023-2024学年甘肃省张掖一中九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．
【解答】解：的值等于1，
故选：B．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
2．【分析】根据解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：，，
或，，，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握解一元二次方程-因式分解法是解题的关键．
3．【分析】矩形对角线的性质：平分、相等，但不垂直．
【解答】解：A、矩形的对角线平分，故A正确；
B、矩形的四个角都是直角，不合题意；
C、矩形的对角线不互相垂直，符合题意；
D、矩形是轴对称图形，不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质：对边平行且相等，矩形的对角线平分、相等，四个角都是直角．
4．【分析】根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答．
【解答】解：A、两个平行四边形不一定相似；
B、两个正方形，大小不一定相同，故本选项正确；
C、两个矩形四个角相等，所以不一定相似；
D、两个菱形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了图形相似的判定，熟练掌握矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性质是解题的关键，难度适中．
5．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
6．【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．y是x的一次函数，故本选项不符合题意；
B．当时，故本选项不符合题意；
C．y是x的二次函数；
D．等式的右边是分式，y不是x的二次函数；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如（a、b、c为常数，）的函数，叫二次函数．
7．【分析】根据题意，抛物线的顶点坐标为，得到对称轴经过点，列出式子，求出答案．
【解答】解：由题意得：
抛物线的顶点坐标为，
∴对称轴经过点，
∴，解得：，
∴该抛物线的解析式为：．
故选：B．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质及待定系数法是解答本题的关键．
8．【分析】仔细看表，可发现y的值﹣0.59和0.84最接近0，再看对应的x的值即可得出答案．
【解答】解：由表可以看出，当x取3.24与3.25之间的某个数时，即这个数是的一个根．
则的一个解x的取值范围为．
故选：B．
【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似根，根据图表信息确定出代数式的值为0的x的取值范围是解题的关键．
9．【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数中，
∴此函数图象的两个分支分别位于二四象限，并且在每一象限内．
∵，，在反比例函数上，
∴，在第二象限，点在第四象限，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
10．【分析】根据图像的对称轴、与x轴交点个数、与y轴交点位置进行判断即可．
【解答】解：∵图象开口向下，∴，
∵图象交y轴于正半轴，∴，
∵对称轴是直线，∴，
∴，∴，∴，故②错；
∵，∴，故③对；
∵图象与x轴两个交点，∴，即，故①对；
根据图像可知关于对称的点为，
故图象与x轴交点在-6和3之间，且开口向下，
∴时，；
由图象知：时，，
∵，∴，即；共四个对，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，理解图象的特征是解决问题的关键．
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
11．．
【分析】根据合比性质，可得答案．
【解答】解：由和比性质，得，故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，利用了和比性质：．
12．．
【分析】根据平角定义及三角形内角和定理求出，结合，即可判定．
【解答】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，∴，
又∵，∴，
故答案为：．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定是解题的关键．
13．-3．
【分析】把P点坐标代入中即可得到k的值．
【解答】解：把代入．
故答案为﹣3．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．
14．9．
【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵相似与的相似比为1∶3，
∴相似与的面积比为3∶9，
∵的面积为1，∴．
故答案为：2．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意熟记定理是解此题的关键．
15．75°．
【分析】直接利用绝对值的非负性和偶次方的非负性得出，，再结合特殊角的三角函数值得出答案．
【解答】解：∵，∴，
∴，，∴，，
则．
故答案为：75°．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及非负数的性质，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．
16．
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两人平局的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：小聪和小明玩“石头、剪刀，所有可能出现的结果列表如下：
∵由表格可知，共有9种等可能情况，石头），剪刀），布）．
∴小明和小聪平局的概率为：．
故答案为：．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17．5
【分析】证，得，即可解决问题．
【解答】解：如图，由题意可知，米，米，
∴，∴，即，
解得：，即AM的长为5米，
故答案为：5．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
18．18
【分析】先把原点坐标代入解析式求出k得到B点坐标，然后利用抛物线的对称性得到图中阴影部分图形的面积和，从而根据矩形面积公式计算即可．
【解答】解：把代入得，解得，
∴抛物线解析式为，∴B点坐标为，
∵轴于C，∴图中阴影部分图形的面积和．
故答案为18．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
三、问答题（19题8分，20题6分，21题7分，22、26题每小题8分，23、24、25每小题8分，27题9分，28题12分，共88分）
19．（8分）计算：
【分析】（1）利用特殊角的三角函数值计算即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）原式；
（2）．，
，∴，．
【点评】本题考查解一元二次方程，特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是掌握解一元二次方程放方法，记住特殊角的三角函数值．
20．【分析】（1）由概率公式即可得出答案；
（2）画树状图，共有16个等可能的结果，甲、乙两人选择的两个景点不同的结果有12个，由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）若甲随机选择一个景点游玩，则甲选择A景点的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有16个等可能的结果，甲、乙两人选择的两个景点不同的结果有12个，
∴甲、乙两人选择的两个景点不同的概率．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
21．【分析】由矩形的性质得，，进而证，再由锐角三角函数定义得，设，则，然后由勾股定理得出方程，解方程，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，∴，
∵，∴，∴，
∴，
在中，，
设，则，
由勾股定理得：，即，
解得：（负值已舍去），
∴，即AD的长为6．
【点评】本题考查了矩形的性质、锐角三角形函数定义以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和锐角三角函数定义是解题的关键．
22．【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由顶点坐标公式即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：，解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）抛物线的对称轴为直线，
当时，，即顶点坐标为：．
【点评】本题考查的是函数图象点的特征，确定函数表达式是解题的关键．
23．【分析】（1）利用正比例函数解析式求法得出即可；
（2）利用反比例函数解析式求法得出即可；
（3）把分别代入正比例函数和反比例函数解析式求出自变量的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）∵点在的图象上，
∴，∴；
（2）设当时，y与x之间的函数表达式为；
∵点在，∴，
∴当时，y与x之间的函数表达式为；
（3）把分别代入和，得和，
∵，∴这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产．
【点评】本题主要考查正比例函数以及反比例函数的解析式，以及正比例函数以及反比例函数的应用，正确得到正比例函数以及反比例函数的解析式是解题的关键．
24．【分析】（1）设菜园的宽AB为x m，则BC为m，由面积公式写出S与x的函数关系式，进而求出x的取值范围；
（2）令求得x的值即可；
（3）利用二次函数求最值的知识可得出菜园的最大面积．
【解答】解：（1）设这个菜园垂直于墙的一边AB的长为x m．
则，①，
则，
由，
解②得：，
解③得：，
所以x的取值范围为：，
所以；
（2）由题意得：，
整理得：，解得：，，
∵，所以不符合题意，
即AB的长为10m；
（3），
∵，抛物线开口向下，
又∵，
∴当m时，面积最大．
【点评】此题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，熟练掌握最值问题的求法是解答本题的关键．
25．【分析】根据三角形的外角性质求出，根据等腰三角形的判定定理得到，根据正弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：∵是的一个外角，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
答：白塔的高度MN约为43米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
26．【分析】（1）先由角平分线和平行线的得出，从而得出，即可；
（2）先判断出四边形AECF是平行四边形，再判断出即可．
【解答】解：连接AE，∵AC平分，∴，
∵，∴，∴，
∴点D在线段AC的垂直平分线上，
∵，E是BC的中点，∴，
∴点E是线段AC的垂直平分线上，
∴DE是线段AC的垂直平分线，
∴，，∴，
∴，∴，
（2）当时，四边形ABED是菱形，
∵，，
∴，∴四边形AECF是平行四边形，
∵，，∴是等边三角形，∴，
∴平行四边形ABED是菱形．
【点评】此题是全等三角形的判定与性质，主要考查了角平分线的性质，平行线的性质，菱形的判定，平行四边形的判定，解本题的关键是．
27．【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数表达式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可求解．
【解答】解：（1）∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，
∴设，
∵经过点，
∴，
解得：，
∴，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）该女生在此项考试中是得满分，理由如下：
∵对于二次函数，当时，有，
∴，
解得：，（舍去），
∵，∴该女生在此项考试中是得满分．
【点评】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法．解题关键是理解题意把函数问题转化为方程问题．
28．【分析】（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）根据题意可知，边AC的长是定值，要想的周长最小，即是最小，所以此题的关键是确定点Q的位置，找到点A关于对称轴的对称点B，利用待定系数法求出直线BC的解析式，直线BC与对称轴的交点即是所求的点Q；
（3）首先求得BC的坐标，然后设P的横坐标是x，利用x表示出的面积，利用二次函数的性质求解．
【解答】解：（1）根据题意得：，解得，
则抛物线的解析式是；
（2）理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴对称，
∴直线BC与的交点即为Q点，此时周长最小，
对于，令，故点，
设BC的解析式是，则，解得，
则BC的解析式是．时，，
∴点Q的坐标是；
（3）过点P作y轴的平行线交BC于点D，
设P的横坐标是x，则P的坐标是，对称轴与BC的交点D是．
则．
则，
∵．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质，求最值问题一般是转化为函数最值问题求解．
x
…
3.24
3.25
3.26
…
…
﹣0.02
0.01
0.03
…
小明小聪
石头
剪刀
布
石头
（石头，石头）
（石头，剪刀）
（石头，布）
剪刀
（剪刀，石头）
（剪刀，剪刀）
（剪刀，布）
布
（布，石头）
（布，剪刀）
（布，布）