2024三明一中高一上学期12月月考试题数学含解析

这是一份2024三明一中高一上学期12月月考试题数学含解析，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.
1. 若，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C D.
2. （ ）
A. 0B. C. D. 1
3. 已知幂函数图象过点，则的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
4. 若，且，则（ ）
A. B. C. D.
5. 标准的围棋共行列,个格点，每个点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况，而我国北宋学者括在他的著作《梦溪笔谈》中，也论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”，即，下列数据最接近的是（ ）
A. B. C. D.
6. “”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 已知函数在处取到最大值，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数若关于的方程恰有个不同的实数根,则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列选项正确是（ ）
A.
B.
C. 经过4小时，时针转了
D. 若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为
10. 下列函数中最小值为2的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数，则（ ）
A.
B. 在定义域上单调递增
C.
D. 不等式的解集为
12. 下列选项中，正确的有（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 命题“，”的否定是________.
14. 已知，，则________.
15. 已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则________；________.
16. 如果函数在其定义域内存在实数，使得（k为常数）成立，则称为“对k可拆分函数”.若为“对1的可拆分函数”，则a的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设函数的定义域为，集合，记，，若是的 ，求实数的取值范围.从①充分不必要条件，②必要不充分条件，这两个条件中任选一个，补充在横线上，并给予解答.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
18. 已知函数.
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
19. 已知为定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的最小值.
20. 已知，，，.
（1）求；
（2）求角
21. （1）求证：；
（2）当时，求函数的所有零点.
22. 已知函数，．
（1）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
（2）设函数，在区间上连续不断，证明：函数有且只有一个零点，且．三明一中2023-2024学年上学期12月月考
高一数学试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.
1. 若，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质可判断A，其余选项可用特殊值验证.
【详解】因为，，由不等式的可加性可得，故A正确；
当，，，时，，，，故B错误；
当，，，时，，，，故C错误；
当，，，时，，，，故D错误.
故选：A
2. （ ）
A. 0B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】逆用两角差的正弦公式进行求解即可.
【详解】，
故选：C
3. 已知幂函数的图象过点，则的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，根据求出的值，可得出函数的解析式，可得出函数的定义域，可得出答案.
【详解】因为函数为幂函数，设，则，可得，
所以，，则，
所以，函数的定义域为，A，C，D错.
故选：B.
4. 若，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同角三角函数基本关系及诱导公式、二倍角正弦公式求解.
【详解】因为，，
所以，
所以.
故选：D
5. 标准的围棋共行列,个格点，每个点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况，而我国北宋学者括在他的著作《梦溪笔谈》中，也论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”，即，下列数据最接近的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合对数的运算，即可得到结果.
【详解】由题意，对于，有
，
所以，分析选项B中与其最接近.
故选：B
6. “”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性,得结合集合的包含关系解题即可.
【详解】由题知且设函数的对称轴为
若函数在区间上单调递增,
则得
所以“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件.
故选：.
7. 已知函数在处取到最大值，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】运用辅助角公式或逆用两角差的正弦公式化简后求出，再代入运用两角差的正弦公式即可求解.
【详解】因为，
其中，，又在处取到最大值，
所以（），即（），
则，，
所以，
故选：A．
8. 已知函数若关于的方程恰有个不同的实数根,则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式,作出函数图像,令结合图像可得当取不同值时方程的个数,结合二次函数零点的分布求解.
【详解】根据作出的大致图像,如下图所示.

令,由图知当时,方程有两个根,分别为；
当时,方程有个根；
当时,方程有个根；
当时,方程有个根.
要使得方程恰有个不同的实数根,则有个不同的实数根,显然,不满足方程,舍去；
设的两个根分别为且
故当时满足题意,则得
当时满足题意,则得
综上所述,实数的取值范围是.
故选：.
【点睛】本题考查函数的零点与方程的关系,转化,数形结合的思想方法,属中档题.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列选项正确的是（ ）
A.
B.
C. 经过4小时，时针转了
D. 若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】A. 根据在第三象限判断；B.由角度制和弧度制公式求解判断；C.由时针按顺时针转，过1小时转求解判断；D.利用弧长公式求得半径，再利用扇形面积公式求解判断.
【详解】A. 因为在第三象限，所以，故错误；
B. ，故正确；
C.时针按顺时针转所以是负角，过1小时转，所以经过4小时，时针转了，故正确；
D.若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的半径为，该扇形的面积为，故正确；
故选：BCD
10. 下列函数中最小值为2的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据指数、对数函数的性质可判断AB，利用反比例函数的性质可判断C，利用换元法可判断D.
【详解】因为，，故A错误；
因为，所以，即最小值为2，故B正确；
因，，
所以，，即最大值为2，故C错误；
令，则，
所以，
当，即时，的最小值为2，故D正确；
故选：BD.
11. 已知函数，则（ ）
A.
B. 在定义域上单调递增
C.
D. 不等式的解集为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据正切函数的性质逐一判断即可.
【详解】对于A，因为，
所以，故A正确；
对于B，由，得，
故函数的定义域为，
因为，故B错误；
对于C，
，故C正确；
对于D，，即，
则，解得，
所以不等式的解集为，故D错误.
故选：AC.
12. 下列选项中，正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据对数函数的性质判断A，根据对数的运算性质判断B，利用基本不等式及对数的运算性质判断C，根据对数的运算性质得到，再令，根据对勾函数的性质判断D.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：由于，，
所以，则，故B正确；
对于C：因为，又，
所以，故C错误；
对于D：，
令，由对勾函数的性质可知在上单调递减，
因为，所以，
即，即，故D正确；
故选：ABD
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 命题“，”的否定是________.
【答案】，
【解析】
【分析】根据命题否定的性质即可得.
【详解】命题“，”的否定为“，”.
故答案为：，.
14. 已知，，则________.
【答案】1
【解析】
【分析】借助指数幂的运算性质，计算即可.
【详解】
故答案为：1.
15. 已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则________；________.
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】先根据三角函数定义求出正切值，再利用诱导公式化简，得到齐次式，化弦为切，代入求值即可.
【详解】因为，由三角函数定义可知，
.
故答案为：2；-3
16. 如果函数在其定义域内存在实数，使得（k为常数）成立，则称为“对k的可拆分函数”.若为“对1的可拆分函数”，则a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题中条件建立方程，化简变形后可得，求得函数的值域即
【详解】根据题意可知，必有，
函数的定义域为,
则在其定义域内存在实数，
使，
即，
即，
所以，
则，
又，
则，，
即，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设函数的定义域为，集合，记，，若是的 ，求实数的取值范围.从①充分不必要条件，②必要不充分条件，这两个条件中任选一个，补充在横线上，并给予解答.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案见解析.
【解析】
【分析】由题中给定的条件关系，可判断两集合间的关系，由此可列不等式组求出的取值范围.
【详解】选①，由解得，
所以，
因为，
所以，
，
是的充分不必要条件，则 ，
从而，且等号不同时成立，
解得.
即实数的取值范围是；
选②，
由解得，
所以，
因为，
所以，
，
当是的必要不充分条件，则 ，
从而，且等号不同时成立，
解得.
即实数的取值范围是.
18. 已知函数.
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦型函数的周期计算公式以及复合函数的单调区间求法，可得答案；
（2）利用整体思想换元，结合一次函数以及正弦函数的单调性，可得答案.
【小问1详解】
的最小正周期为，令，
因为的单调递减区间是，
且由，解得，.
所以函数的单调递减区间为，.
【小问2详解】
因为，所以，
所以当，即，时，，
当，即，时，.
19. 已知为定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的最小值.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性求得的解析式.
（2）对进行分类讨论，根据二次函数的性质求得正确答案.
【小问1详解】
∵函数是定义在上的奇函数，
∴，且，
∴，
设，则，
∴，
∴，
所以.
【小问2详解】
依题意，，
当时，，
有，所以：
①当时，，
②当时，.
20. 已知，，，.
（1）求；
（2）求角.
【答案】（1）7 （2）
【解析】
【分析】（1）两边平方得，从而求出，得到，联立求出正弦和余弦，得到正切值；
（2）由题目条件得到，故，由同角三角函数关系求出，进而由求出正弦值，结合角的范围得到答案.
小问1详解】
①，两边平方得，
所以，
从而，
因为，所以，
故，，，
所以，②
联立①②解得，，
故；
【小问2详解】
因为，，，
所以，
由于在上单调递减，
所以，
其中，
由（1）知，，
而，与矛盾，舍去，
，满足要求，
故，
所以
，
因为，
所以
21. （1）求证：；
（2）当时，求函数的所有零点.
【答案】（1）证明见解析；（2）和
【解析】
【分析】（1）根据两角和的余弦公式、二倍角公式等知识进行证明.
（2）由列方程，通过解方程来求得正确答案.
【详解】（1）证明：左边
=右边.
所以，原式成立；
（2）解：由（1）可得：
，
令，得或，
因为，
所以或.
故当时，函数的零点为和.
22. 已知函数，．
（1）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
（2）设函数，在区间上连续不断，证明：函数有且只有一个零点，且．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求得，从而问题转化为当时，恒成立，分、、进行解答即可；
（2）对进行分类讨论，分为：和，利用零点存在定理结合函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
，
因为，恒成立，所以当时，恒成立，
当时，成立，
当时，成立，
当时，在单调递减，则，即，
综上所述，实数的取值范围为．
【小问2详解】
函数的图象在区间上连续不断．
①当时，因为与在区间上单调递增，
所以在区间上单调递增．
因为，，
所以，
根据函数零点存在定理，存在，使得，
所以在区间上有且只有一个零点；
②当时，因为单调递增，所以，
因为，所以，所以在区间上没有零点．
综上，有且只有一个零点．
因为，即，
所以，，
因为在区间上单调递减，所以，
所以．
【点睛】关键点睛：
第二问对进行分类讨论时，①当时，因为与在上单调递增，再结合零点存在定理，即可求解；②当时，恒成立，所以，在上没有零点；最后利用，得到，然后化简可求解.