2023-2024学年内蒙古乌兰察布市集宁区亿利东方学校八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年内蒙古乌兰察布市集宁区亿利东方学校八年级（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形是对圆的面积进行四等分的几种作图，则它们是轴对称图形的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.下列运算中，计算结果正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. (a2)3=a5C. (a2b)2=a2b2D. a3+a3=2a3
3.已知三角形两边的长分别是5和9，则此三角形第三边的长可能是( )
A. 1B. 4C. 8D. 14
4.如图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，下列等式不正确的是( )
A. AB=AC
B. ∠BAE=∠CAD
C. BE=DC
D. AD=DE
5.下列式子变形是因式分解的是( )
A. x2−5x+6=x(x−5)+6B. x2−5x+6=(x−2)(x−3)
C. (x−2)(x−3)=x2−5x+6D. x2−5x+6=(x+2)(x+3)
6.如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是( )
A. 180°B. 220°C. 240°D. 300°
7.随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为( )
A. 8x+15=82.5xB. 8x=82.5x+15C. 8x+14=82.5xD. 8x=82.5x+14
8.(512)2005×(225)2004=( )
A. 1B. 512C. 225D. (512)2003
9.如图，在△ABC中，∠C=90，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB=6cm，则△DEB的周长为( )
A. 4cmB. 6cmC. 10cmD. 不能确定
10.如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，则∠GEF的度数是( )
A. 108°B. 100°C. 90°D. 80°
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
11.当a______时，分式a−12a+3有意义．
12.实数0.00000052用科学记数法可表示为______ ．
13.一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是______ 边形．
14.化简1a−3−6a2−9的结果是______ ．
15.已知x+y=1，那么12x2+xy+12y2的值为______ ．
16.如图，AB/​/CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是______．
三、计算题：本大题共2小题，共20分。
17.某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
(1)这项工程的规定时间是多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
18.定义：L(A)是多项式A化简后的项数.例如多项式A=x2+2x−3，则L(A)=3.一个多项式A乘以多项式B，化简得到多项式C(即C=A×B)，如果L(A)≤L(C)≤L(A)+1，则称B是A的“郡园多项式”；如果L(A)=L(C)，则称B是A的“郡园志勤多项式”．
(1)若A=x−2，B=x+3；那么B是不是A的“郡园多项式”，说明理由；
(2)若A=x−2，B=x2+ax+4是关于x的多项式且B是A的“郡园志勤多项式”，求a的值？
(3)若A=x2−x+3m，B=x2+x+m是关于x的多项式且B是A的“郡园志勤多项式”，求m的值？
四、解答题：本题共5小题，共38分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解下列分式方程：
(1)3x=2x−1；
(2)x−8x(x−1)+3x−1=0．
20.(本小题6分)
先化简再求值：(x−3)2+2x(x+3)−7，其中x=2．
21.(本小题8分)
如图所示，CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求证：DE=AB．
22.(本小题8分)
如图：
(1)画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
(2)请计算△ABC的面积；
(3)直接写出△ABC关于x轴对称的三角形△A2B2C2的各点坐标．
23.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E.若∠CAE=∠B+30°，求∠AEB的度数．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：第一个图形是轴对称图形；
第二个图形是轴对称图形；
第三个图形不是轴对称图形；
第四个图形是轴对称图形；
所以一共有三个轴对称图形．
故选：C．
根据轴对称图形的概念求解即可．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，故本选项错误；
B、(a2)3=a6，故本选项错误；
C、(a2b)2=a4b2，故本选项错误；
D、a3+a3=2a3，正确．
故选：D．
根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘；合并同类项法则，只把系数相加减，字母与字母的次数不变．熟练掌握运算法则并灵活运用是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
先根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再求出符合条件的x的值即可．
【解答】
解：此三角形第三边的长为x，则
9−5只有选项C符合题意．
故选：C．
4.【答案】D
【解析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据已知的对应角相等确定对应边是解题的关键．
根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，即可进行判断．
解：∵△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，
∴AB=AC，∠BAE=∠CAD，BE=DC，AD=AE，
故A、B、C正确；
AD的对应边是AE而非DE，故D错误．
故选：D．
5.【答案】B
【解析】解：A、x2−5x+6=x(x−5)+6右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误；
B、x2−5x+6=(x−2)(x−3)是整式积的形式，故是分解因式，故本选项正确；
C、(x−2)(x−3)=x2−5x+6是整式的乘法，故不是分解因式，故本选项错误；
D、x2−5x+6=(x−2)(x−3)，故本选项错误．
故选：B．
【分析】根据因式分解的定义：就是把整式变形成整式乘积的形式，即可作出判断．
本题考查的是因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题综合考查等边三角形的性质及三角形内角和为180°，四边形的内角和是360°等知识，难度不大，属于基础题．
本题可先根据等边三角形顶角的度数求出两底角的度数和，然后在四边形中根据四边形的内角和为360°，求出∠α+∠β的度数．
【解答】
解：因为等边三角形的顶角为60°，
所以两底角和=180°−60°=120°；
所以∠α+∠β=360°−120°=240°．
故选：C．
7.【答案】D
【解析】解：设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为：
8x=82.5x+14，
故选：D．
根据乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，利用时间得出等式方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，解题关键是正确找出题目中的相等关系，用代数式表示出相等关系中的各个部分，把列方程的问题转化为列代数式的问题．
8.【答案】B
【解析】解：原式=(512×125)2004×512
=512．
故选：B．
根据xa⋅ya=(xy)a，进行运算即可．
此题考查了同底数幂的乘法运算，属于基础题，注意式子：xa⋅ya=(xy)a的运用．
9.【答案】B
【解析】解：∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，
在△ACD和△AED中，
AD=ADCD=DE，
∴△ACD≌△AED(HL)，
∴AC=AE，
∴△DEB的周长=BD+DE+BE，
=BD+CD+BE，
=BC+BE，
=AC+BE，
=AE+BE，
=AB，
∵AB=6cm，
∴△DEB的周长为6cm．
故选：B．
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE，利用“HL”证明△ACD和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE，然后求出△DEB的周长．
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了等腰三角形的性质与三角形外角的性质．此题难度适中，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质：等边对等角和三角形的外角性质.由AB=BC=CD=DE=EF，根据等腰三角形的性质：等边对等角，可得∠ACB=∠A，∠CDB=∠CBD，∠CED=∠DCE，∠EFD=∠EDF，又由三角形外角的性质与∠A=18°，即可求得∠GEF的度数．
【解答】
解：∵∠A=18°，AB=BC，
∴∠ACB=∠A=18°，
∴∠CBD=∠A+∠ACB=36°，
∵BC=CD，
∴∠CDB=∠CBD=36°，
∴∠DCE=∠A+∠CDA=18°+36°=54°，
∵CD=DE，
∴∠CED=∠DCE=54°，
∴∠EDF=∠A+∠AED=18°+54°=72°，
∵DE=EF，
∴∠EFD=∠EDF=72°，
∴∠GEF=∠A+∠AFE=18°+72°=90°．
即∠GEF=90°．
故选C．
11.【答案】≠−32
【解析】解：由题意得：2a+3≠0，
解得：a≠−32，
故答案为：≠−32．
根据分式有意义的条件可得2a+3≠0，再解即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
12.【答案】5.2×10−7
【解析】解：0.00000052=5.2×10−7．
故答案为：5.2×10−7．
绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13.【答案】八
【解析】【分析】
本题主要考查了多边形内角和外角．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
【解答】
解：设这个多边形为n边形，根据题意得：
180°⋅(n−2)=3×360°
解得n=8．
故答案为：八．
14.【答案】1a+3
【解析】解：1a−3−6a2−9
=a+3(a+3)(a−3)−6(a+3)(a−3)
=a−3(a+3)(a−3)
=1a+3，
故答案为：1a+3．
先通分，再计算减法，最后化简．
本题考查了分式的减法运算，关键在于将其化为同分母分式，注意化简要彻底．
15.【答案】12
【解析】解：12x2+xy+12y2
=12(x2+2xy+y2)
=12(x+y)2
=12×1
=12．
故答案为12．
根据完全平方公式，可知12x2+xy+12y2=12(x2+2xy+y2)=12(x+y)2，再整体代入计算即可．
此题考查完全平方公式的应用，熟练掌握公式的结构特征是关键．
16.【答案】4
【解析】解：如图所示，过点P作PE⊥BC于E，
∵AB/​/CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，
∵PA+PD=AD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4，即点P到BC的距离是4．
故答案为：4．
过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得PA=PE，PD=PE，那么PE=PA=PD，依据AD=8，进而求出PE=4．
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：(1)设这项工程的规定时间是x天，
根据题意得：(1x+11.5x)×15+5x=1．
解得：x=30．
经检验x=30是原分式方程的解．
答：这项工程的规定时间是30天．
(2)该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷(130+11.5×30)=18(天)，
则该工程施工费用是：18×(6500+3500)=180000(元)．
答：该工程的费用为180000元．
【解析】(1)设这项工程的规定时间是x天，根据甲、乙队先合做15天，余下的工程由甲队单独需要5天完成，可得出方程，解出即可．
(2)先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可．
本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答．
18.【答案】解：(1)B是A的“郡园多项式”，
理由如下：(x−2)(x+3)=x2−2x+3x−6=x2+x−6，
x2+x−6的项数比A的项数多1项，
则B是A的“郡园多项式”；
(2)(x−2)(x2+ax+4)=x3+ax2+4x−2x2−2ax−8=x3+(a−2)x2+(4−2a)x−8，
∵B是A的“郡园志勤多项式”，
∴a−2=0且4−2a=0，
解得a=2．
∴a的值是2；
(3)(x2−x+3m)(x2+x+m)=x4+x3+mx2−x3−2x2−mx+3mx2+3mx+3m2=x4+(4m+1)x2+2mx+3m2，
∵B是A的“郡园志勤多项式”，
∴4m+1=0或m=0，
解得m=−14或0．
∴m的值是−14或0．
【解析】(1)根据多项式乘多项式的法则计算，根据“郡园多项式”的定义判断；
(2)根据多项式乘多项式的法则计算，根据“郡园志勤多项式”，得到关于a的方程，解方程即可求解；
(3)根据多项式乘多项式的法则计算，根据“郡园志勤多项式”，得到关于m的方程，解方程即可求解．
本题考查的是多项式乘多项式，掌握“郡园多项式”和“郡园志勤多项式”的定义，多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
19.【答案】解：(1)3x=2x−1，
3(x−1)=2x，
解得：x=3，
检验：当x=3时，x(x−1)≠0，
∴x=3是原方程的根；
(2)x−8x(x−1)+3x−1=0，
x−8+3x=0，
解得：x=2，
检验：当x=2时，x(x−1)≠0，
∴x=2是原方程的根．
【解析】(1)按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答；
(2)按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
20.【答案】解：原式=x2−6x+9+2x2+6x−7
=3x2+2．
当x=2时，原式=3×4+2=12+2=14．
【解析】先去括号，再合并同类项得到最简结果，最后将x，y的值代入计算即可．
本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
21.【答案】证明：∵∠DCA=∠ECB，
∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE，
∴∠DCE=∠ACB．
∵在△DCE和△ACB中，DC=AC∠DCE=∠ACBCE=CB，
∴△DCE≌△ACB(SAS)，
∴DE=AB．
【解析】先求出∠DCE=∠ACB，再利用“边角边”证明△DCE和△ACB全等，然后根据全等三角形对应边相等证明即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，本题难点在于求出∠DCE=∠ACB．
22.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；

(2)△ABC的面积为3×5−12×1×5−12×2×3−12×3×2=6.5；
(3)如图所示，△A2B2C2的各点坐标为A2(−3,−2)，B2(−4,3)，C2(−1,1)．
【解析】(1)利用轴对称性质，作出A、B、C关于y轴的对称点，顺次连接即得到关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)此处由于三角形ABC的边和相应的高不好求出，可以利用间接方法求出其面积．
(3)根据关于x轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可求出△A2B2C2的各点坐标．
本题考查的是轴对称变换作图，点的平移及三角形面积的求法，作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，基本作法是：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．
23.【答案】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠B=∠EAB，
∵∠C=90°，∠CAE=∠B+30°，
∴∠B+30°+∠B+∠B=90°，
∴∠B=20°，
∴∠AEB=180°−20°−20°=140°．
【解析】本题考查了线段垂直平分线，三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是得出关于∠B的方程，题目比较好，难度适中．
根据线段垂直平分线求出AE=BE，推出∠B=∠EAB，根据已知和三角形内角和定理得出∠B+30°+∠B+∠B=90°，求出∠B，即可得出答案．