重庆市黔江中学2021-2022学年高二上学期9月月考试数学试题（Word版附解析）

这是一份重庆市黔江中学2021-2022学年高二上学期9月月考试数学试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回.等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.
3．考试结束后，将答题卡交回.
4．本卷满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若直线经过，两点，则直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出直线的斜率，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得出结果.
【详解】设直线的倾斜角为，则，而，所以.
故选：A.
2. 下列说法正确的个数（ ）
（1）三点确定一个平面；（2）一条直线和一个点确定一个平面；（3） 两条直线确定一个平面；（4）三角形和梯形一定为平面图形.
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据点直线与平面的位置关系,即可判断四个选项.
【详解】对于(1),当三个点在同一直线上时,三个点不能确定一个平面,所以(1)错误;
对于(2),当点在直线上时,不能确定一个平面,所以(2)不正确;
对于(3),当两条直线异面时,不能确定一个平面,所以(3)不正确;
对于(4),三角形和梯形一定是平面图形,所以(4)正确.
综上可知,正确的为(4)
故选:B
【点睛】本题考查了空间中点、直线与平面的位置关系,属于基础题.
3. 若直线与直线互相平行，那么的值等于（ ）
A. 1或0B. C. 0D. 0或
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，由直线平行的判定方法可得，解可得的值，即可得答案．
【详解】解：根据题意，如果直线与直线互相平行，
则有，
解得或；
故选：．
【点睛】本题考查直线的一般式方程的应用，涉及直线平行的判定，属于基础题．
4. 如图，在长方体中，，，异面直线与所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据得到为异面直线与所成的角，再求大小即可.
【详解】因为，所以为异面直线与所成的角，
于是，又异面直线的夹角为，
所以，即异面直线与所成的角为.
故选：A.
5. 已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于( )
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据点到直线的距离公式列出关于的方程，求出方程的解,得到的值.
【详解】因为和到直线的距离相等，
由点和点到直线的距离公式，
可得，
化简得|，
,
解得实数或，故选C.
【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题.
6. 如图，网格纸上的小正方形的边长均为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体中最长的棱长为（ ）
A. B. 4
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用题给条件画出该几何体的直观图，再分别求得其各个棱长，进而得到该几何体中最长的棱长.
【详解】由题意可得该几何体的直观图为四棱锥，如下图：
其中底面，,
，连接，
由底面，可得均为直角三角形，
则
,
又由可得为直角三角形，
则，
则
则该几何体中最长的棱长为.
故选：C
7. 某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形（如图所示），将该平面图形绕其直角腰AB边旋转一周得到一个圆台，已知，则该圆台的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先还原出平面图形，得圆台的上下底面半径与母线长，结合圆台的表面积公式即可求解.
【详解】
作出其平面图形，则在平面图形中，
则圆台的上底面半径，下底面半径，母线，
则由圆台的表面积公式得：
.
故选：D
8. 如图，将边长为2的正方体沿对角线折起，得到三棱锥，则下列命题中，错误的为
A. 直线平面
B.
C. 三棱锥的外接球的半径为
D. 若为的中点，则平面
【答案】B
【解析】
【分析】通过线线垂直证得线面垂直，进而得到A正确；对于B选项先假设成立，再推出矛盾进而得到结果不正确；C根据四棱锥的形状得到球心位置，进而得到半径；由线面平行的判定定理得到线面平行.
【详解】因为ABCD是正方形，故得到,折叠之后得到，,
故得到BD面,进而得到A选项正确；
假设，又因为D，进而得到面,则,三角形,BC=2=不可能满足直角关系，故B错误.
三棱锥，的外接球的球心在O点处，因为OC=OD=OB=O，此时球的半径为OC=；故C正确；
若为的中点，则,OE在平面内，故得到平面，D正确；
故答案为B.
【点睛】直线与平面垂直概念是利用直线与直线垂直的概念定义的，要注意定义中的“任何一条直线”这个词，它与“所有直线”是同义词，但与“无数条直线”不同，2.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面.符号语言如下：.
9. 已知圆O：和圆C：，圆心为点C，现给出如下结论，其中正确的个数是（ ）
①圆O与圆C有四条公切线
②过点C且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或
③过点C且与圆O相切的直线方程为
④P､Q分别为圆O和圆C上的动点，则的最大值为，最小值为
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据两圆的位置关系可判定①④，利用截距式可判定②，利用直线与圆的位置关系判定③.
【详解】根据题意可知，两圆半径分别为，，
故两圆相离，所以有四条公切线，①正确；
，④正确；
显然过且在两坐标轴的截距相等的直线有（此时截距为零），
当截距不为零时，可设，代入点得，故②错误；
易知是过与圆O相切的直线，此时斜率不存在，
若切线斜率存在，可设，
则O点到的距离为，
所以该切线方程为，
综上过点C且与圆O相切的直线方程，，故③错误；
故选：C
10. 正四面体是棱长都相等的正三棱锥，若正四面体的棱长为2，则该正四面体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正方体得到正四面体，然后利用两者的体积关系求正四面体体积.
【详解】如图
正方体中，四面体为正四面体，若其棱长为2，则正方体的棱长为.
所以，
又，
所以.
故选：D
11. 从直线：上的动点作圆的两条切线，切点为，，则四边形（为坐标原点）面积的最小值是（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得当点P与圆心的距离最小时，切线长PC、PD最小，此时四边形的面积最小，由距离公式和面积公式求解可得．
【详解】∵圆的圆心为，半径，
当点P与圆心的距离最小时，切线长PC、PD最小，此时四边形的面积最小，
∴圆心到直线的距离，
∴ ，
∴四边形的面积.
故选：A．
【点睛】本题考查圆的切线方程，明确四边形的面积何时最小是解决问题的关键，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
12. 已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，球O的半径为4，△ABC是边长为6的等边三角形，记△ABC的外心为O1.若三棱锥P﹣ABC的体积为则PO1＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
取得等边三角形的面积，利用正弦定理求得三角形外接圆的半径，根据三棱锥的体积求得三棱锥的高，利用勾股定理求得.
【详解】由题意可得：S△ABC9，O1A＝2，O1O＝2.
设点P到平面BAC的高为h，由h×9，解得h＝4.
∴点P所在小圆⊙O2（⊙O1与⊙O2所在平面平行）上运动，OO2＝2.
∴O2P＝2.
∴PO12.
故选：D.
【点睛】本小题主要考查球的内接三棱锥的有关计算，考查空间想象能力，属于中档题.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把最简答案写在答题卡相应位置上.
13. 已知圆C:关于直线对称，求圆心C坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】求出的范围，由直线过圆心可得答案.
【详解】由已知得，解得或，
圆C:，圆心为，
若圆C关于直线对称，则，
解得，符合题意.
故答案为：.
14. 直线：与圆：的位置关系是______．
【答案】相交
【解析】
【分析】由直线方程可得直线过定点，判断定点与圆的位置关系即可求解.
【详解】直线，变形为：，
所以直线过定点，设该点为，
由圆：知圆心，半径，
所以，
所以定点在圆内，
所以直线与圆相交.
故答案为：相交.
15. 如下图，将圆柱的侧面沿母线展开，得到一个长为，宽为4的矩形，由点A拉一根细绳绕圆柱侧面两周到达，线长的最小值为________（线粗忽略不计）
【答案】2
【解析】
【分析】设AA1中点为B，侧面展开图矩形为ACC1A1，CC1中点为B1．得绳长的最小值即为侧面展开图中的AB1+BC1，再利用勾股定理求解即可
【详解】设AA1中点为B，侧面展开图矩形为ACC1A1，CC1中点为B1．则绳长的最小值即为侧面展开图中的AB1+BC1．
AB1＝BC1．
∴绳长的最小值为2．
故答案为2
【点睛】本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现了转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．
16. 两圆相交于和两点，两圆圆心都在直线上，则的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】首先由两圆相交的公共弦垂直过两圆圆心的直线，可求出；再由两圆的交点的中点在过两圆心的直线上，可求出，进而求解.
【详解】由平面几何性质知，两相交圆圆心的连线与两圆的公共弦垂直，
且经过弦的中点，则，解得，
∵和的中点为在直线，
∴，解得，
∴．
故答案为：3.
二、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知点A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x-2y+2=0上.
（1）求AB边上的高CE所在直线的方程；
（2）求△ABC的面积.
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）由题意可知，为的中点，，利用斜率计算公式、点斜式即可得出．
（2）由 得，利用两点之间的距离公式、三角形面积计算公式即可得出．
【小问1详解】
解：由题意可知，为的中点，因为，，所以，，所以，
所在直线方程为，即．
【小问2详解】
解：由 解得，所以，所以平行于轴，平行于轴，即，
，
．
18. 如图所示，在正三棱柱中，，，为的中点，是上的一点，且由沿棱柱侧面经过棱到的最短路线为.设这条最短路线与的交点为，求：
（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；
（2）和的长.
【答案】（1）；（2）的长为2，的长为.
【解析】
【分析】（1）由展开图为矩形，用勾股定理求出对角线长；
（2）在侧面展开图中三角形是直角三角形，可以求出线段的长度，进而可以求的长度，再由相似比可以求出的长度.
【详解】（1）由题意，该三棱柱的侧面展开图是宽为4，长为的矩形，
所以对角线的长为；
（2）将该三棱柱的侧面沿棱展开，如图所示.
设的长为，则.
因为，，，
所以(负值舍去)，即的长为2.
又因为，
所以，即，
所以.
【点睛】本题考查求侧面展开图的对角线长，以及三棱柱中的线段长，熟记三棱柱的结构特征即可，属于常考题型.
19. 如图，在正三棱柱中，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连结，交于，连结，推导出，由此能证明平面；
（2）设，以为原点，在平面中过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．
【小问1详解】
证明：连结，交于，连结，
正三棱柱中，为的中点，
是的中点，，
平面，平面，
平面．
【小问2详解】
设，以为原点，在平面中过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则,0,，,2,，,1,，,2,，
,,，,,，,0,，
设平面的法向量,,，
则，取，得,,，
设直线与平面所成角为，
则．
直线与平面所成角的正弦值为．
20. 如图，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，E是AC上的点，且，．
（1）求证：；
（2）求直线BD与AC所成角大小．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用圆的直径所对圆周角的性质、圆柱的性质、线面垂直的判定定理以及线面垂直的性质定理即可得出；
（2）利用已知计算出，的值，再利用（1）的结论及已知求出的值，用向量的数量积公式计算直线BD与AC所成角的余弦，即可得到直线BD与AC所成角的大小．
【小问1详解】
证明：是底面圆的直径，，；
由圆柱可得：母线底面，底面，；
又，平面，平面，
又平面，．
【小问2详解】
，，
，
由（1）知母线底面，，，
又，，
，由题知，，
设直线BD与AC所成角为，则
，
而，所以，故直线BD与AC所成角的大小为.
21. 已知为坐标原点，圆方程为：，直线过点.
（1）若直线与圆有且只有一个公共点，求直线的方程；
（2）若直线与圆交于不同的两点，，试问：直线与的斜率之和是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.
【答案】（1）或；（2）直线与的斜率之和为定值.
【解析】
【分析】（1）当斜率不存在时，经检验符合题意，当斜率存在时，设的方程为，只有一个公共点，即直线与圆相切，可得圆心到直线的距离，代入数据，即可得答案；
（2）设出直线的方程及点A,B的坐标，则可得的表达式，联立直线和圆的方程，根据韦达定理，可得，的值，代入表达式，即可得证.
【详解】（1）①当直线斜率不存在时，的方程为符合题意；
②当直线斜率存在时，设的方程为，由得圆心，半径.
∵直线与圆有一个公共点，
∴，解得.
∴的方程为，
综上所述，直线的方程为或.
（2）直线与的斜率之和为定值，
证明：由（1）知直线斜率存在，设的方程为，
设，，
则.
联立直线与圆的方程：，
消去得，
得，
根据韦达定理得，
∴.
∴直线与的斜率之和为定值.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、韦达定理的应用，易错点为需讨论斜率是否存在，再进行求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.
22. 已知圆与圆关于直线对称，且点在圆上.
（1）判断圆与圆的位置关系；
（2）设为圆上任意一点，，三点不共线，为的平分线，且交于.求证:与的面积之比为定值.
【答案】（1）圆与圆相离；（2）为定值.
【解析】
【分析】（1）根据给定的对称关系及点D坐标，求出圆心和半径即可作答.
（2）设出点P的坐标，求出，再结合角平分线及三角形面积定理计算作答.
【详解】（1）依题意，圆N的圆心关于直线的对称点为，
则圆的半径，
所以圆的方程为，又，所以圆与圆相离.
（2）设，有，
则，
，
即有，即是，而，
所以为定值.