重庆外国语学校（川外附中）2024届高三上学期1月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份重庆外国语学校（川外附中）2024届高三上学期1月月考数学试题（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由集合的交并补运算可求.
【详解】由
得，又，
.
故选：C.
2. 复数的共轭复数在复平面内所对应的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则在复平面内，对应的点坐标可求．
【详解】解：由，
则，
故在复平面内所对应的点的坐标为：.
故选：B．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，共轭复数的概念，以及复数的几何意义，属于基础题．
3. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
4. 某居委会从5名志愿者中随机选出3名参加周末的社区服务工作，则甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用古典概型即可求得甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上的概率.
【详解】设这5名志愿者为甲，乙，丙，a，b，
从5名志愿者中随机选出3名，共有10种可能的结果：
（甲，乙，丙），（甲，乙，a），（甲，乙，b ），（甲，丙，a），（甲，丙，b），
（甲，a，b），（乙，丙，a），（乙，丙， b），（乙，a，b），（丙，a，b），
其中甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上包含4种情况
则甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上的概率为
故选：A
5. 等差数列前项和为， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将化成和的形式，得到二者关系，求得，利用求得结果.
【详解】
，即
故选：C
【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题思路如下：
（1）根据题中所给的条件，结合等差数列通项公式，将其转化为关于首项与公差的式子；
（2）化简求得数列的某一项；
（3）结合等差数列求和公式，得到和与项的关系，求得结果.
6. 纳斯卡线条是一种巨型的地上绘图，位于秘鲁南部的纳斯卡荒原上，是存在了2000年的谜局：究竟是谁创造了它们并且为了什么而创造，至今仍无人能解，因此被列入“十大谜团”，在这些图案中，有一只身长50米的大蜘蛛（如图），现用视角为的摄像头（注：当摄像头和所拍摄的圆形区域构成一个圆锥时，该圆锥的轴截面的顶角称为该摄像头的视角）在该蜘蛛图案的上方拍摄，使得整个蜘蛛图案落在边长为50米的正方形区域内，则该摄像头距地面的高度的最小值是（ ）
A. 50米B. 米
C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求得拍摄区域的圆的直径最小为，再利用余弦定理求圆锥母线长，从而利用圆锥的高、母线、底面半径的关系即可得解.
【详解】依题意，要使整个蜘蛛图案落在边长为50米的正方形区域内，
则拍摄区域的圆的直径最小为，若所成圆锥的母线长为a，
此时由余弦定理得，，即，
所以该摄像头距地面的高度最小值
米.
故选：B.
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条直线与双曲线右支交于两点，坐标原点为，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题可知，，再结合双曲线第一定义，可得，对有，
即，解得，再对，由勾股定理可得，化简即可求解
【详解】如图，因为，所以.因为所以.
在中，，即，
得，则.在中，由得.
故选：B
【点睛】本题考查双曲线的离心率求法，几何性质的应用，属于中档题
8. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知结合式子特点合理构造函数，结合导数与单调性的关系分别证出，，然后进行赋值即可比较函数值的大小.
【详解】令，则，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
故，所以，当时取等号.
所以，
令，则，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
故，所以，当时取等号.
所以，即.
故选：C.
二、多选题（共4小题）
9. 已知数据的平均数为，方差为.由这组数据得到新数据，其中，则（ ）
A. 新数据的平均数是B. 新数据的方差是
C. 新数据的平均数是D. 新数据的标准差是
【答案】AD
【解析】
【分析】由平均数与方差的计算公式判断
【详解】由题意得，
由平均数与方差公式得的平均数是，
方差，标准差是，故AD正确，BC错误
故选：AD
10. 已知函数，则（ ）
A. 有三个零点B. 有两个极值点
C. 点是曲线的对称中心D. 直线是曲线的切线
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用导数研究函数的单调性、极值点、极值以及零点判断A、B，根据函数关于点对称的充要条件判断C，再根据导数的几何意义求函数的切线方程判断D.
【详解】，，
令，解得：或，
时，，单调递减；
时，，单调递增；
时，，单调递减；
的极小值为：，
的极大值为：，
有三个零点，有两个极值点，A、B正确；
对于C，若点是曲线的对称中心，则有，
将函数代入上式验证得：
，C正确；
对于D，，解得：，
当时，，当时，，
切线方程为：或，D错误.
故选：ABC.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于点对称
B. 在区间上单调递减
C. 将的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到的函数为偶函数
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】借助于辅助角公式将化简，然后利用三角函数的对称性，单调性以及三角函数的平移逐一判断选项，可得结果.
【详解】，
令，则，当时，，此时，故的图象关于点对称，A错误；
当时，，而函数在上单调递减，B正确；
将的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到为偶函数，C正确；，
，所以．
故选:BCD．
12. 在棱长为的正方体中，为正方形的中心，为棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 点为中点时，
B. 点与点重合时，三棱锥外接球体积为
C. 当点运动时，三棱锥外接球的球心总在直线上
D. 当为的中点时，正方体表面到点距离为的轨迹的总长度为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用线面垂直的性质可判断A选项的正误；利用球体的体积公式可判断B选项的正误；利用球体的几何性质可判断C选项的正误；确定点为球心，半径为的球在正方体每个面上的截面图形，求出轨迹的长度，可判断D选项的正误.
【详解】对于A，连接、，则为的中点，当点为的中点时，则，
平面，平面，则，
因为四边形为正方形，则，
，则平面，平面，则，
因此，，A对；
对于B，当点与点重合时，三棱锥的外接球即正方体外接球，
该球的半径为，该球的体积为，B错；
对与C，因为，且，则平面，
如下图所示，连接交于点，
因为，则，则，
易知为等边三角形，且为的中点，故为的中心，
故以为底的三棱锥的外接球球心在上，C对；
对于D，如下图所示，在侧面上，
设以点为球心，半径为的球分别交、于点、，则，
所以，，从而，故，
故在平面和平面上轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为的两段弧，
设以为球心，为半径的球截平面所得圆的半径为，
则，
故以为球心，为半径的球在平面和平面上的轨迹是以为半径，圆心角为的两段弧，
因此，轨迹的总长度为，D对.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：解决与球相关切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
三、填空题（共4小题）
13. 已知向量，，若．则______．
【答案】
【解析】
分析】先根据向量垂直求参，再根据坐标求模即可.
【详解】由得，即，解得，
所以，．
故答案为：．
14. 的二项展开式中的常数项为________．（用数字作答）
【答案】160
【解析】
【分析】结合二项式的展开式的通项公式即可求出结果.
【详解】由二项式展开式的通项公式为，
令，则常数项为，
故答案为：
15. 已知函数满足，当时，，若不等式的解集是集合的子集，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】先由已知条件判断出函数的单调性，再把不等式转化为整式不等式，再利用子集的要求即可求得a的取值范围.
【详解】由可知，关于对称，
又，当时，单调递减，
故不等式等价于，即，
因为不等式解集是集合的子集，
所以，解得．
故答案为：
16. 已知，函数在有极值，设，其中为不大于的最大整数，记数列的前项和为，则___________.
【答案】615
【解析】
【分析】根据给定条件探求出，再借助的意义分析的前100项的各个值，再求和作答.
【详解】函数，求导得：，
因，函数在有极值，则存在，有，解得，
于是得，即，而，
因此，数列的前100项中有1个0，3个1，5个2，7个3，9个4，11个5，13个6，15个7，17个8，19个9，
而，
所以.
故答案为：615
【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.
四、解答题（共6小题）
17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，求周长的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用正弦定理转化后，整理化简得从而求出角的大小；（2）利用余弦定理可得关系，利用基本不等式求的最大值，由此可求周长的最大值.
【小问1详解】
由及正弦定理得，
因为，
所以，因为，，所以，，
又，解得；
【小问2详解】
∵，，即，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立．
所以周长的最大值为．
18. 在数列中，，，且对任意的，都有.
（1）证明：是等比数列，并求出的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析，；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由，可得，即是等比数列，可求得，变形为，即可得到是等差数列，可求得，从而求得；
（2），利用分组求和以及等差等比前项和公式，先求出为正偶数时的表达式，再求为正奇数时的表达式，即可得到.
【小问1详解】
证明：因为，，所以.
因为，所以，
又，则有，
所以，
所以是以4为首项，2为公比的等比数列.
所以，
所以，
又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，所以.
【小问2详解】
由（1）知，
则的奇数项为以为首项，为公比的等比数列；偶数项是以，为公差的等差数列.
所以当为偶数，且时，
；
当为奇数，且时，为偶数，
.
时，，满足.
所以，当为奇数，且时，有.
综上，.
【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.
19. 如图，在四棱锥中．平面平面，∥，，，，点E，F分别为AS，CD的中点．

（1）证明：∥平面；
（2）若，，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，，证明四边形为平行四边形，从而得，即证得线面平行；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求二面角．
【小问1详解】
如图，取的中点，连接，．
因为分别为的中点．
所以，．
因为，，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以．
因为平面，平面．
所以平面．
【小问2详解】
如图，取的中点，连接，．
因为为等腰三角形，所以．
因为平面平面，平面平面．
所以平面．又，平面，则，，易证．
可建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，．
所以，，，，
所以，，，，
设平面一个法向量为，则有即取得
设平面AFS的一个法向量为，
则，即，取，得，
所以，设二面角的大小为，则．
20. 某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，规定成绩为80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．

（1）求图中的值；
（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为能否晋级成功与性别有关；
（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望．
参考公式：，其中．
【答案】（1）
（2）列联表见解析，有
（3）分布列见解析，3
【解析】
【分析】（1）根据频率和为1，列方程求出a的值；
（2）由频率分布直方图计算晋级成功的频率，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出能有的把握认为“晋级成功”与性别有关；
（3）由晋级失败的频率估计概率，得，计算对应的概率，写出X的分布列，计算数学期望值．
【小问1详解】
由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1，
可知，解得．
【小问2详解】
由频率分布直方图，知晋级成功的频率为，
所以晋级成功的人数为，
填表如下：
所以，
所以有的把握认为能否晋级成功与性别有关．
【小问3详解】
由（2）知晋级失败的频率为，
将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，此人晋级失败的概率为，
易知，
则，，
，，
．
所以的分布列为
则．
21. 已知椭圆，点P为E上的一动点，分别是椭圆E的左､右焦点，的周长是12，椭圆E上的点到焦点的最短距离是2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的动直线l与椭圆交于P，Q两点，求面积的最大值及此时l的方程.
【答案】（1）
（2），此时直线的方程为：.
【解析】
【分析】(1)根据题意，列出方程，解之即可求出结果；
(2) 过点的动直线的方程为：，然后将直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理表示出两点纵坐标的关系，然后将焦点三角形面积表示出来，最后根据函数的单调性求出最值即可.
【小问1详解】
由题意得,解得：，
椭圆的方程是：.
【小问2详解】
设，
联立消去得：
由题意可知：点,
所以
令，则，所以，
，易知在单调递增，
所以当，此时，所以直线的方程为：.
22. 已知函数，.
（1）讨论的零点个数；
（2）若对，不等式恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出定义域为，，根据导函数的符号得出函数的单调性，得出最小值.根据最小值与0的关系，结合函数的单调性，讨论函数零点的个数即可；
（2）根据已知可推出.令，构造，求导根据函数的单调性可得，可转化为对恒成立.构造，根据导函数可得，即，进而即可求得a的取值范围.
【小问1详解】
解：由已知可得，定义域为，.
因为，解可得，.
解可得，，所以在上单调递减；
解可得，，所以在上单调递增.
所以，在处有唯一极小值，也是最小值，.
所以，当时，，恒成立，此时的零点个数为0；
当时，，有唯一零点；
当时，，此时有，
且.
由在上单调递减，，，
根据零点的存在定理可知，，即，使得；
令，，则在上恒成立，
所以在上单调递减，又，所以.
所以在上恒成立，
又，，
又在上单调递增，
根据零点的存在定理可知，，即，使得.
所以是的零点，所以的零点个数为2.
综上所述，当时，的零点个数为0；当时，有1个零点；当时，的零点个数为2.
【小问2详解】
解:由已知可得，.
因为，，所以有
令，对于，，
则，则对恒成立，即对恒成立.
令，则只需即可.
，所以在上单调递增.
所以，
所以，解得.晋级情况性别
晋级成功
晋级失败
总计
男
16
女
50
总计
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
晋级情况性别
晋级成功
晋级失败
总计
男
16
34
50
女
9
41
50
总计
25
75
100
0
1
2
3
4