物理必修 第二册第七章 万有引力与宇宙航行4 宇宙航行精品单元测试一课一练

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（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。每小题只有一个选项符合题目要求。
1．（2021春·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）许多科学家在物理学的发展过程中做出了重要贡献，下列叙述符合事实的是（ ）
A．第谷首先指出了行星绕太阳的轨道不是圆形，而是椭圆
B．天王星是人们根据万有引力定律计算出其轨道后才发现的，被称为“笔尖下的行星”
C．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
D．卡文迪什第一次在实验室里测出了引力常量G
【答案】D
【详解】A．开普勒首先指出了行星绕太阳的轨道不是圆形，而是椭圆，故A错误；
B．海王星是人们根据万有引力定律计算出其轨道后才发现的，被称为“笔尖下的行星”，故B错误；
C．开普勒总结出了行星运动的规律，牛顿发现了万有引力定律，故C错误；
D．卡文迪什第一次在实验室里测出了引力常量G，故D正确。
故选D。
2．（2021·高一课时练习）在静止时测量的弓箭的长度和铝管的长度相同，当弓箭以速度0.5c（c为光速）穿过铝管时，下列说法正确的是（ ）
A．弓箭的长度变短，所以在某些位置铝管能将弓箭完全遮住
B．铝管的长度变短，所以在某些位置弓箭将从铝管的两端伸出
C．弓箭和铝管都变短且变短的量相同，所以在某些位置铝管刚好能将弓箭完全遮住
D．弓箭和铝管的长度是否发生变化与观察者的运动情况有关
【答案】D
【详解】如果观察者是在相对于铝管静止的参考系中观察运动着的弓箭，那么弓箭看起来就比铝管短，在某些位置弓箭会完全在铝管内部，然而当观察者和弓箭一起运动时，观察者看到的铝管就缩短了，所以在某些位置，观察者可以看到弓箭两端都伸出铝管。
故选D。
3．（2023·高一课时练习）宇航员在某星球将一物体竖直向上抛出，其运动的图像是如图所示的抛物线，已知该星球的半径是地球半径的2倍，地球表面重力加速度取，设地球质量为M，则该星球的质量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由图可知，5s时上升的最大位移为50m，可得
解得
在地球表面满足
在某星球表面满足
联立解得
故选B。
4．（2021·高一课时练习）两颗行星A、B均在同一平面内沿相同的环绕方向围绕中心天体运动，经过观测发现每隔最短时间t行星A与行星B相距最近一次。两行星的运动均可看作匀速圆周运动，若行星A的运行周期为，则行星B的运行周期为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】半径越小，周期越小，， 从第一次相距最近到第二次相距最近，A比B多走
解得
故选A。
5．（2021·高一课时练习）有一质量为M，半径为R，密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现在从M中挖去一半径为的球体，如图所示，然后又在挖空部分填满另外一种密度为原来2倍的物质，如图所示。则填充后的实心球体对m的万有引力为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由万有引力公式得，没挖空前，球体对质点m的万有引力为
根据密度公式
可知，挖去部分的质量是球体质量的，则挖去部分对质点m的引力为
则剩下部分对m的万有引力为
若挖去的小球中填满原来球的密度的2倍的物质，该物质的质量为，则该物质对质点m的万有引力
所以则填充后的实心球体对m的万有引力为
故选A。
6．（2023·高一课时练习）假定太阳系一颗质量均匀、可看作球体的小行星自转可以忽略。现若该星球自转加快，角速度为ω时，该星球表面“赤道”上的物体对星球的压力减为原来的。已知引力常量G，则该星球密度ρ为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】该星球表面“赤道”上的物体相对地心静止，有
行星自转角速度为ω时，有
行星的平均密度
解得
故选D。
7．（2023·高一课时练习）如图为同一平面内绕地球的三个卫星轨道示意图，Ⅰ、Ⅲ为圆轨道，Ⅱ为椭圆轨道，Ⅲ的半径与Ⅱ的半长轴相等，且Ⅲ与Ⅱ相交于M点，Ⅰ与Ⅱ相切于N点。三颗不同的卫星A、B、C正沿轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ稳定运行，则（ ）
A．A、B经过N点时的向心力一定相同B．A、B的速度可能等大
C．A的向心加速度比C小D．C的公转周期比B大
【答案】B
【详解】A．由于不知道A、B的质量关系，则A、B经过N点时的万有引力大小关系不能确定，且在椭圆轨道时万有引力不是全部提供向心力，所以A、B经过N点时的向心力大小不一定相同，故A错误；
B．根据卫星变轨的原理可知，A在N点的速度小于B在N点的速度，而A的速度不变，A的速度又大于B在最远点的速度，所以A在某一时刻，A、B的速度可能等大，故B正确；
C．根据
可得
由于A卫星的轨道半径小于C卫星的轨道半径，所以可知A的向心加速度比C大，故C错误；
D．由于C的轨道半径与B椭圆轨道的半长轴相等，根据开普勒第三定律，可知B、C的周期相等，故D错误。
故选B。
8．（2023·高一课时练习）如图所示，地球可看作质量分布均匀、半径为R的球体，地球内部的a点距地心的距离为r，地球外部的b点距地心的距离为3r，。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，忽略地球的自转，则a、b两点的重力加速度大小之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设地球密度为，根据题意可知点距地心距离为，且小于，则只有半径为的球体对其产生万有引力，则有
，
解得
点距地心的距离为，则有
，
解得
解得
故选B。
多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分。每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9．（2023·高一课时练习）双星的运动是引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由P、Q两颗星体组成，这两颗星绕它们连线上的某一点在二者之间万有引力作用下做匀速圆周运动，测得P星的角速度为，P、Q两颗星之间的距离为L，P，Q两颗星的轨道半径之差为（P星的质量大于Q星的质量），引力常量为G，则（ ）
A．P、Q两颗星的向心力大小相等
B．P、Q两颗星的向心加速度大小相等
C．P、Q两颗星的线速度大小之差为
D．P、Q两颗星的质量之比为
【答案】ACD
【详解】A．P、Q两颗星的向心力都等于两者之间的万有引力，因此P、Q两星的向心力大小相等，故A正确；
B．根据万有引力提供向心力
可知，因为向心力大小相等，而两星的质量不相等，因此两星的向心加速度不相等，故B错误；
C．根据圆周运动公式
可知
故C正确；
D．对于两星存在
所以
又因为，所以
根据题意
解得
故D正确。
故选ACD。
10．（2023·高一课时练习）2020年4月24日，中国行星探测任务被命名为“天问系列”，2021年“天问一号”的成功发射基于对火星运动的精确测量。如图所示，测得地球A、火星B的连线与太阳O、火星B的连线的最大夹角为，设地球和火星均绕太阳做匀速圆周运动，则地球与火星做圆周运动的说法正确的是（ ）
A．加速度之比为B．线速度之比为
C．角速度之比为D．半径之比为
【答案】AC
【详解】AD．地球A、火星B的连线与太阳O、火星B的连线的最大夹角为，此时地球A、火星B的连线与地球轨迹相切，则
根据开普勒第三定律可知
根据
可知
故A正确，D错误；
B．根据
可知
故B错误；
C．根据
可知
故C正确。
故选AC。
11．（2023·高一课时练习）中国“雪龙号”南极科考船上的科研人员，在经过赤道时测量的重力加速度大小为g，到达南极后，在南极附近测得的重力加速度大小为，已知地球的自转周期为T，引力常量为G，假设地球是均匀球体。则下列说法正确的是（ ）
A．地球的密度为
B．地球的半径为
C．地球的第一宇宙速度为
D．若地球的自转角速度变为原来的倍时，地球赤道上的物体对地面的压力为零
【答案】BC
【详解】B．物体在地球表面赤道与两极处的重力不同，是由于物体随地球的自转时需要向心力引起的。设物体的质量为m，地球的半径为R，在赤道上有
解得
故B正确；
A．设地球的质量为M，则
在南极
解得
故A错误；
C．由，解得地球的第一宇宙速度为
解得
故C正确；
D．若放在地球赤道上的物体对地面的压力为零，物体受到的万有引力充当随地球自转的向心力，即
即
解得
又，故
故D错误。
故选BC。
12．（2023·高一课时练习）两颗互不影响的行星、，各有一颗在表面附近的卫星、绕其做匀速圆周运动。两颗行星周围卫星的线速度的二次方（）与轨道半径r的倒数（）的关系如图所示，已知、的线速度大小均为，则（ ）
A．的质量比的小B．的质量比的大
C．的平均密度比的小D．表面的重力加速度比的大
【答案】BC
【详解】A．根据题中条件无法比较、的大小，故A错误；
B．由牛顿第二定律
故图像的斜率为GM，则的质量比的大，故B正确；
C．由于、的近表面卫星的线速度大小均为，所以它们的第一宇宙速度也均为
平均密度
由图知，的半径比的大，则的平均密度比的小，故C正确；
D．根据
表面的重力加速度
表面的重力加速度比的小，故D错误。
故选BC。
三、非选择题：本题共6小题，共60分。
13．（2022·全国·高一专题练习）（6分）（1）某物理小组的同学设计了一个粗制玩具小车通过凹形桥最低点时的速度的实验．所用器材有：玩具小车、压力式托盘秤、凹形桥模拟器（圆弧部分的半径为）。
完成下列填空：
①将凹形桥模拟器静置于托盘秤上，如图（a）所示，托盘秤的示数为1.00kg；
②将玩具小车静置于凹形桥模拟器最低点时，托盘秤的示数如图（b）所示，该示数为________kg；
③将小车从凹形桥模拟器某一位置释放，小车经过最低点后滑向另一侧，此过程中托盘秤的最大示数为m；多次从同一位置释放小车，记录各次的m值如下表所示：
④根据以上数据，可求出小车经过凹形桥最低点时对桥的压力为________N；小车通过最低点时的速度大小为________m/s。（重力加速度大小取，计算结果保留2位有效数字）
（2）一般宇宙飞船飞近某一新发现的行星，并进入靠近该行星表面的圆形轨道绕行数圈后，着陆在行星上，宇宙飞船上备有以下实验仪器。
A．弹簧测力计一个
B．精确秒表一只
C．天平一台（附砝码一套）
D．物体一个
为测定该行星的密度，宇航员在绕行中进行了一次测量，依据测量数据可以求出密度。
①绕行时测量所用的仪器为________（用仪器的字母序号表示），所测物理量为_________（用文字说明和相应符号表示）。
②密度表达式：________（万有引力常量为G）。
【答案】 1.40 7.9 1.4 B 周期T
【详解】(1)②[1]根据秤盘指针可知量程为10kg，分度值为0.1kg，要估读一位，则示数为1.40kg；
④[2]记录的托盘示数的平均值为
所以小车经过凹桥最低点时小车对桥的压力为
[3]由题可知小车的质量为
由牛顿第二定律可得
可得
(2)①[4][5]由
可得该行星的密度
所以为测定该行星的密度，需要秒表测量飞船做圆周运动的周期，即选B；
②[6]由上可知，该行星的密度为
14．（2022春·四川成都·高一成都外国语学校期末）（8分）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，王亚平做了太空抛物实验，奥运顶流“冰墩墩”在空间站上被航天员抛出后，并没有像在地面上那样做曲线运动，而是水平飞出去了。
请根据此实验回答以下问题：
（1）关于冰墩墩被水平抛出后，做水平运动的原因，以下解释中正确的是_______；
A．冰墩墩在空间站内不受力的作用
B．冰墩墩水平方向不受外力作用
C．冰墩墩处于完全失重的状态
D．冰墩墩随空间站绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力
（2）历史上，牛顿曾提出：若在地球表面的高山上来做平抛实验，把物体抛出，它将落向地面；如果将物体抛出的速度变大，它将会落向更远的地方。如果抛出的速度足够大，它有可能不落回地面，而是绕地球运转。已知地球半径为6.37 × 103km，小伟同学用如下方法推导这一速度：
其结果与正确值相差很远，这是由于他在近似处理中，错误的假设是_______；
A．卫星的轨道是圆的
B．卫星的轨道半径等于地球半径
C．卫星的周期等于地球自转的周期
D．卫星的向心力等于它在地球上受到的地球引力
（3）已知地球表面重力加速度g = 9.8m/s2，请你利用已学习的物理知识求出正确的“足够大的速度”为__________km/s。（保留3位有效数字）
【答案】 BCD C
【详解】（1）[1]A．冰墩墩在空间站内受地球等的万有引力作用，A错误；
BCD．冰墩墩随空间站绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，处于完全失重状态，并由于万有引力指向地心，则冰墩墩水平方向不受外力作用，BCD正确；
故选BCD。
（2）[2]AD．如果抛出的速度足够大，它有可能不落回地面，而是绕地球运转，由万有引力提供向心力，做匀速圆周运动，AD假设正确，不符合题意；
B．由于山的高度远小于地球的半径，则该卫星的轨道半径可视为等于地球半径，B假设正确，不符合题意；
C．由于山的高度远小于地球的半径，则该卫星的轨道半径可视为等于地球半径，则该卫星为近地卫星，而只有地球同步卫星的周期才等于地球自转的周期，C假设错误，符合题意。
故选C。
（3）[3]由于山的高度远小于地球的半径，则该卫星的轨道半径可视为等于地球半径，则该卫星为近地卫星，有
在地球表面有
整理有
15．（7分）若某位宇航员随飞船登陆火星后，在火星表面的某处以速度竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回了抛出点。已知火星的半径为R，引力常量为G，“萤火号”卫星绕火星运动的周期为T，“萤火号”卫星绕火星的运动近似看作匀速圆周运动。试求：
（1）火星的质量M。
（2）“萤火号”卫星绕火星运动的轨道半径r。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设火星的重力加速度为g，则
联立得
根据万有引力充当向心力知
解得
【点睛】本题主要考查万有引力定律及其应用。根据竖直上抛运动的对称性求时间，根据天体表面的万有引力约等于重力求质量，根据万有引力充当向心力求半径。
16．（9分）假设未来的人类登上某一地外行星。一个人在该行星表面以速率v0竖直上抛一个小球，经过t时间后回到抛出点。设这个行星的半径为R，万有引力常量为G，回答下面问题：
（1）该行星表面的重力加速度大小；
（2）该行星的平均密度；
（3）如果将来要在这颗行星上发射环绕卫星，环绕这个行星的第一宇宙速度大小约为多少？
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）由已知，由竖直上抛运动的对称性，减速到0需要的时间是，设该行星表面的重力加速度大小g，有
解得
（2）在这个星球表面上的物体受到的重力可以视为万有引力，这个星球的质量为M，有
解得
又
有平均密度
（3）根据
得星球的第一宇宙速度为
17．（2023·高一课时练习）（14分）我国发射的探月卫星有一类为绕月极地卫星。利用该卫星可对月球进行成像探测。如图所示，设卫星在绕月极地轨道上做圆周运动时距月球表面的高度为h，绕行周期为T2；月球绕地球公转的周期为T1，公转轨道半径为r；地球半径为R1，月球半径为R2，忽略地球引力、太阳引力对绕月卫星的影响，万有引力常量已知。
（1）求月球质量M2；
（2）求地球表面重力加速度g1。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）卫星环绕月球做匀速圆周运动，可得
月球质量为
（2）月球绕地球做匀速圆周运动，可得
在地球表面
解得
18．（2022·全国·高一专题练习）（16分）开普勒用二十年的时间研究第谷的行星观测数据，分别于1609年和1619年发表了下列定律：开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴a的三次方跟它的公转周期T的二次方的比都相等，即，k是一个对所有行里都相同的常量。在研究行星绕太阳运动的规律时，将行星轨道简化为一半径为r的圆轨道。
（1）如图所示，设行星与太阳的连线在一段非常非常小的时间Δt内，扫过的扇形面积为ΔS。求行星绕太阳运动的线速度的大小v，并结合开普勒第二定律证明行星做匀速圆周运动；（提示：扇形面积=×半径×弧长）
（2）请结合开普勒第三定律、牛顿运动定律，证明太阳对行星的引力F与行星轨道半径r的平方成反比。
【答案】（1），证明过程见解析；（2）证明过程见解析
【详解】（1）根据扇形面积公式可得时间Δt内行星扫过的扇形面积满足
解得
根据开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，即为常量，则行星绕太阳运动的线速度的大小v也为常量，所以行星做匀速圆周运动；
（2）设行星质量为m，根据题意可知行星的圆周运动由太阳对行星的引力F提供向心力，则根据牛顿第二定律有
根据开普勒第三定律可得
即
联立以上两式可得
其中为常量，则太阳对行星的引力F与行星轨道半径r的平方成反比。序号
1
2
3
4
5
m（kg）
1.80
1.75
1.85
1.75
1.90