2024届新高考数学二轮专题强化练习“8+4+4”小题期末狂练（16）（2份打包，原卷版+教师版）

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1.已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】解 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
2.已知复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则复数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. iB. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
3.已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A．
4.函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，
有函数 SKIPIF 1 < 0 ，
即函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，图象关于原点对称，故排除A､B ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则恒有 SKIPIF 1 < 0 ，排除D；
故选：C.
5.已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. 2
【答案】C
【解析】由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
6.如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一平面内的两个观测点C与D，现测得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 米，在点C处测得塔顶A的仰角为 SKIPIF 1 < 0 ，则该铁塔的高度约为（ ）．（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
A. 42米B. 47米C. 38米D. 52米
【答案】B
【解析】在 SKIPIF 1 < 0 中，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该铁塔的高度约为47米.
故选：B.
7.已知正实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则以下结论正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由题 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
在平面直角坐标系中分别作出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由图像可得 SKIPIF 1 < 0 ，则A错误；
对于B， SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由图像可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，D错误；
故选：C
8.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球与内切球的研究．其中的一些研究思想启发着后来者的研究方向．已知正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球半径为R，内切球半径为r，且两球球心重合，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. 2B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】如图：
设底面正方形ABCD的对角线长为2a，高为h，，正方形的中心为O，外接球的球心为 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ① ， SKIPIF 1 < 0 ②，
以O为原点，建立空间直角坐标系如上图，
则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面PCD的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设向量 SKIPIF 1 < 0 与平面PCD的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
球心 SKIPIF 1 < 0 到平面PCD的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，由①得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ③，
故设 SKIPIF 1 < 0 ，则③可整理成 SKIPIF 1 < 0 ，两边平方得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由①②得 SKIPIF 1 < 0 ；
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了10次坐公交车和骑自行车所花的时间，10次坐公交车所花的时间分别为7，11，8，12，8，13，6，13，7，15（单位：min），10次骑自行车所花时间的均值为15min，方差为1.已知坐公交车所花时间X与骑自行车所花时间Y都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计X，Y分布中的参数，并利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线如图所示.若小明每天需在早上8点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是（ ）
A. 坐公交车所花时间的均值为10，方差为3
B. 若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，则有50%以上的可能性会迟到
C. 若小明早上7：42出发，则应选择骑自行车
D. 若小明早上7：47出发，则应选择坐公交车
【答案】BCD
【解析】A：坐公交车所花时间的均值为 SKIPIF 1 < 0 ，
方差为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项A错误.
B：根据题意，可以得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 之后出发，并选择坐公交车，有 SKIPIF 1 < 0 以上的可能性会超过 SKIPIF 1 < 0 ，即8点之后到校，会迟到，故选项B正确.
C：由图可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，应选择在给定的时间内不迟到的概率大的交通工具.
SKIPIF 1 < 0 小明早上7：42出发，有 SKIPIF 1 < 0 可用，则应选择骑自行车，故选项C正确.
D：小明早上7：47出发，只有 SKIPIF 1 < 0 可用，则应选择坐公交车，故选项D正确.
故选：BCD.
10.已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0
C. 曲线 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点D. 直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有两个公共点
【答案】AC
【解析】由双曲线的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，可设双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
把点 SKIPIF 1 < 0 代入，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 错误；
取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
联立 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 只有一个公共点，故 SKIPIF 1 < 0 不正确．
故选：AC．
11.已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
B. SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 图象的一条对称轴
C. 将 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
D. SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有3个零点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A，当 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，故A错误，
对于B，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故B正确，
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，C正确，
对于D，令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的正零点有 SKIPIF 1 < 0 ，要使 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有3个零点，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确，
故选：BCD
12.若存在实常数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，使得函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 对其公共定义域上的任意实数x都满足： SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则称此直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的“隔离直线”，已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数），则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内单调递减；
B. SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之间存在“隔离直线”，且 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
C. SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之间存在“隔离直线”，且 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ；
D. SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之间存在唯一的“隔离直线” SKIPIF 1 < 0 .
【答案】BD
【解析】对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内单调递增，
SKIPIF 1 < 0 错误；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的隔离直线为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
由 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立得： SKIPIF 1 < 0 .
⑴若 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 符合题意；
⑵若 SKIPIF 1 < 0 则有 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
同理可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 正确， SKIPIF 1 < 0 错误；
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 图象在 SKIPIF 1 < 0 处有公共点，
SKIPIF 1 < 0 若存在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的隔离直线，那么该直线过这个公共点.
设隔离直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则隔离直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 不恒成立.
若 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，对称轴为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 不恒成立.
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
此时直线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
下面证明 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取到极小值，也是最小值，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 存在唯一的隔离直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13. SKIPIF 1 < 0 展开式中的常数项为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】通项公式Tr+1 SKIPIF 1 < 0 （x2）6﹣r SKIPIF 1 < 0 （﹣1）r SKIPIF 1 < 0 x12﹣3r，
令12﹣3r＝0，解得r＝4．
∴展开式中的常数项 SKIPIF 1 < 0 15．
故答案为15．
14. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 知，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
此时，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
若数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15.已知在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
16.某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型（图甲），该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板 SKIPIF 1 < 0 （图乙）沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形 SKIPIF 1 < 0 卷后为圆柱 SKIPIF 1 < 0 的侧面．为准确画出裁剪曲线，建立如图所示的以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点的平面直角坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 为裁剪曲线上的点，作 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ．图乙中线段 SKIPIF 1 < 0 卷后形成的圆弧 SKIPIF 1 < 0 （图甲），通过同学们的计算发现 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间满足关系式 SKIPIF 1 < 0 ，现在另外一个纸板上画出曲线 SKIPIF 1 < 0 ，如图丙所示，把沿虚线裁剪后的长方形纸板卷一周，求该裁剪曲线围成的椭圆的离心率为__________．

【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以相应圆柱的底面圆的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，故其直径为4，
故根据题意可知该椭圆的短轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 的最大值为2，
故椭圆的长轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0