数学（新高考Ⅱ卷02）-学易金卷：2024年高考第一次模拟考试

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第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．56 14．23 15．②④ 16．2,22
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）
【答案】【答案】(1)an=-3×2n (2)-36672
【详解】（1）因为Sn+1+Sn+a2=3an+1，则当n≥2时，Sn+Sn-1+a2=3an，
两式相减可得an+1+an=3an+1-3ann≥2，则an+1=2ann≥2，…………………………3分
且当n=1时，S2+S1+a2a2=3，解得a2=2a1，
所以an是首项为-6，公比为2的等比数列，………………………………………………………5分
所以an=-6×2n-1=-3×2n，
即an=-3×2n；………………………………………………………………………………………5分
（2）因为b3n+b3n-1+b3n-2=an+3n-2=-3×2n+3n-2，…………………………7分
则T35=b1+b2+b3+b4+b5+b6+⋯+b34+b35+b36-b36
=-3×21+22+⋯+212+1×12+12×112×3-2×12-a12
=-3×21-2121-2+210-24+3×212=-36672.………………………………………………10分
18.（12分）
【答案】(1)C=π6 (2)1
【详解】（1）由题意知，原式可化为2csA-B=4sinAsinB-3，
即2csAcsB+sinAsinB=4sinAsinB-3.…………………………………………2分
整理可得：2csA+B=-3，即csA+B=-32.………………………………4分
又因为A+B+C=π，则0所以csC=32，故C=π6.………………………………………………………………6分
（2）因为S△ABC=12absinC=14ab=2+34，所以ab=2+3，……………………8分
由余弦定理和基本不等式可得：
c2=a2+b2-2ab⋅csC=a2+b2-3ab≥2ab-3ab=2-3ab=1，…………10分
当且仅当a=b=2+3=6+22时，等号成立，…………………………………………11分
所以c≥1，故c的最小值为1.……………………………………………………………………12分
19．（12分）
【答案】(1)证明见解析 (2)3210或22
【详解】（1）∵tan∠ADB=ABAD=362=2，tan∠CAB=BCAB=63=2，
∵∠ADB,∠CAB∈(0,π2)
∴∠ADB=∠CAB，………………………………………………………………………………1分
∴∠ADB+∠MAD=∠CAB+∠MAD=π2，
∴AC⊥BD，……………………………………………………………………………………3分
即AM⊥BD，CM⊥BD，
∴PM⊥BD，CM⊥BD，又PM∩CM=M，
PM,CM⊂平面PMC， ∴BD⊥平面PMC，
PC⊂平面PMC，
∴BD⊥PC；……………………………………………………………………………………5分
（2）直角△ABC中，AC=AB2+BC2=3，
∵AD∥BC，
∴AMCM=ADBC=DMBM=12，
∴AM=1，CM=2，BM=AB2-AM2=3-1=2，
则BD=322,MD=22…………………………………………………………………………6分
由（1）BD⊥平面PMC，
以M为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz，

则B2,0,0，C0,2,0，D-22,0,0，
设P0,csθ,sinθ，其中0<θ<π，
所以MB=2,0,0，CB=2,-2,0，BP=-2,csθ,sinθ，………………8分
设平面PBD的一个法向量为n=x1,y1,z1，
则n⋅MB=2x1=0n⋅BP=-2x1+y1csθ+z1sinθ=0，
取y1=sinθ，n=0,sinθ,-csθ，
设平面PBC的一个法向量为m=x2,y2,z2，
则m⋅CB=2x2-2y2=0m⋅BP=-2x2+y2csθ+z2sinθ=0，
取y2=sinθ，则m=2sinθ,sinθ,2-csθ，……………………………………10分
csm,n=n⋅mnm=1-2csθ3sin2θ+2-csθ2=77，
解得csθ=45，sinθ=35或csθ=0，sinθ=1.
则P0,45,35或P0,0,1
故VP-BCD=13S△BCD⋅zP=13(12⋅BD⋅MC)⋅zP=3210或22.………………………………………12分
20．（12分）
【答案】(1)p0=0.8 (2)①最多有16件；②加工费最高为47.5元
【详解】（1）由题意可知，这种精密配件的不合格率为1-p，则加工后的30件这种精密配件中恰有6件不合格的概率fp=C3061-p6p240则f'p=-6C3061-p5p24+24C3061-p6p23=6C3061-p5p234-5p，
令f'p>0，解得0所以fp在0,0.8上单调递增，在0.8,1上单调递减，………………………………4分
所以当p=0.8时，fp取得极大值，故p0=0.8．…………………………………………5分
（2）①从加工后的这种精密配件中随机抽取一件为优等品的概率为0.8×0.5=0.4．
设从加工后的这种精密配件中随机抽取n件，由题意可知，X∼Bn,0.4，
且PX=k=Cnk0.4k×(1-0.4)n-k，
由题意可知，P(X=5)≤P(X=6)P(X=7)≤P(X=6)，
即Cn50.45×0.6n-5≤Cn60.46×0.6n-6Cn70.47×0.6n-7≤Cn60.46×0.6n-6，
解得14≤n≤16.5，
又n∈N，所以n的最大值为16，
故抽取的这种精密配件最多有16件．…………………………………………………………………8分
②设该工厂加工一个这种精密配件获利Y元，加工费与复修费均为m元，
由题意可知，Y的可能取值为150-m,100-m,100-2m,-30-2m，………………………………………………………9分
则随机变量Y的分布列为
则EY=0.4150-m+0.4100-m+0.1100-2m+0.1-30-2m=107-1.2m，
由题意可知，107-1.2m≥50，解得m≤47.5，所以一个配件的加工费最高为47.5元．……12分
21．（12分）
【答案】(1)x212+y23=1 (2)存在，P(4,0)
【详解】（1）因为e=ca=1-b2a2=32，所以a=2b.
所以椭圆C的方程为x24b2+y2b2=1.……………………………………………………………2分
因为点-3,-32在椭圆C上，所以34b2+94b2=1，解得b2=3，
所以a2=12.
所以椭圆C的标准方程为x212+y23=1.………………………………………………………………4分
（2）存在定点P(4,0)，使∠OPA=∠OPB.理由如下：
由（1）知，c2=12-3=9，则点F(3,0).
设在x轴上存在定点P(ι,0)，使∠OPA=∠OPB成立.
当直线l斜率为0时，直线右焦点F的直线l即x轴与C交于长轴两端点，
若∠OPA=∠OPB，则t>23，或t<-23.……………………………………………………6分
当直线l斜率不为0时，设直线l的方程为x=my+3,Ax1,y1,Bx2,y2，.
由x212+y23=1,x=my+3消去x并整理，得4+m2y2+6my-3=0，
则y1+y2=-6m4+m2,y1y2=-34+m2.…………………………………………………………………8分
因为∠OPA=∠OPB，所以kPA+kPB=0，
所以y1x1-t+y2x2-t=0，即y1x2-t+y2x1-t=0.
所以y1my2+3-t+y2my1+3-t=0，
即2my1y2+3y1+y2-ty1+y2=0，
-6m4+m2-18m4+m2+6mt4+m2=6m(t-4)4+m2=0恒成立，…………………………………………………10分
即对∀m∈R，6m(t-4)4+m2=0恒成立，则t=4，即P(4,0).
又点P(4,0)满足条件t>23.
综上所述，故存在定点P(4,0)，使∠OPA=∠OPB.…………………………………………………12分

22．（12分）
【答案】(1)a=-2 (2)证明见解析
【详解】（1）解：因为fx=exx，则f'x=exx-1x2，直线l1的斜率k1=f'1=0，…1分
因为gx=asinx，则g'x=acsx，直线l2的斜率k2=f'0=a，
直线l2的方程为y=ax，
又两直线l1、l2夹角的正切值为2，故a=±2，……………………………………………3分
令φx=asinx-ax=asinx-x，则φ'x=acsx-1，
当a=2时，φ'x≤0恒成立，当且仅当x=2kπk∈N*时，等号成立，
此时，函数y=φx在0,+∞上单调递减，故φx<φ0=0，不满足题意；
当a=-2时，φ'x≥0恒成立，当且仅当x=2kπk∈N*时，等号成立，
此时，函数y=φx在0,+∞上单调递增，故φx>φ0=0，满足题意.
综上所述，a=-2.………………………………………………………………………………5分
（2）证明：由（1）知a=-2，故Fx=exx-2sinx，x∈-π,0.
F'x=x-1ex-2x2csxx2，…………………………………………………………………………6分
当x∈-π2,0时，x-1ex<0，x2csx≥0，F'x<0，
故Fx在-π2,0上单调递减，………………………………………………………………7分
当x∈-π,-π2时，令hx=x-1ex-2x2csx，x∈-π,-π2，
h'x=xex-4xcsx+2x2sinx=xex-4csx+2xsinx，
ex>0，csx<0，xsinx>0，则h'x<0，故hx在-π,-π2上单调递减，…………8分
因为h-π=2π2-π+1eπ>0，h-π2=-π2-1e-π2<0，则h-πh-π2<0，
由零点存在性定理知：hx在-π,-π2上有唯一零点，…………………………………9分
即F'x在-π,-π2上有唯一零点，该零点即为x0，
当x∈-π,x0时，hx>0，即F'x>0，
当x∈x0,-π2时，hx<0，即F'x<0，……………………………………………10分
又x∈-π2,0时，F'x<0，故Fx在-π,x0单调递增，在x0,0单调递减，
则当x∈-π,-π2时，Fx0>F-π2=2-2πeπ2=2πeπ2-1πeπ2>0，
因为x0∈-π,-π2，则Fx0=ex0x0-2sinx0<-2sinx0<2，
故x0是函数Fx在-π,0上的唯一的极大值点，且02
3
4
5
6
7
8
A
C
B
C
D
C
D
D
9
10
11
12
BCD
AB
AC
ABD
Y
150-m
100-m
100-2m
-30-2m
P
0.4
0.4
0.1
0.1