2023-2024学年广东省数学九年级第一学期期末模拟试题

这是一份2023-2024学年广东省数学九年级第一学期期末模拟试题，共17页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，下列事件中，是必然事件的是，如图，斜面AC的坡度，如图，已知点E等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．若二次函数的图象经过点（﹣1，0），则方程的解为（ ）
A．，B．，C．，D．，
2．函数y＝与y＝kx2﹣k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．若关于x的方程（m﹣1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠1B．m＝1C．m≥1D．m≠0
4．已知，是方程的两个实数根，则的值是( )
A．2023B．2021C．2020D．2019
5．对于反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A．它的图像在第一、三象限
B．它的函数值随的增大而减小
C．点为图像上的任意一点，过点作轴于点．的面积是．
D．若点和点在这个函数图像上，则
6．如图①，在矩形中，，对角线相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则边的长为( )．
A．3B．4C．5D．6
7．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．掷一次骰子，向上一面的点数是6
B．13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月
C．射击运动员射击一次，命中靶心
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
8．如图,丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD,当他走到点P时,发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部,当他向前再步行20 m到达Q点时,发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部,已知丁轩同学的身高是1.5 m,两个路灯的高度都是9 m,则两路灯之间的距离是( )

A．24 mB．25 mC．28 mD．30 m
9．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（ ）
A．5米B．6米C．8米D．（3+ ）米
10．如图，已知点E（﹣4，2），点F（﹣1，﹣1），以O为位似中心，把△EFO放大为原来的2倍，则E点的对应点坐标为（ ）
A．（2，﹣1）或（﹣2，1）B．（8，﹣4）或（﹣8，4）
C．（2，﹣1）D．（8，﹣4）
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．今年我国生猪价格不断飙升，某超市的排骨价格由第一季度的每公斤元上涨到第三季度的每公斤元，则该超市的排骨价格平均每个季度的增长率为________．
12．如图，在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1,，按此规律继续下去，则矩形AB2019C2019C2018的面积为_____．
13．若关于的一元二次方程x2+2x-k=0没有实数根，则k的取值范围是________．
14．已知实数m，n满足等式m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，那么求的值是_____．
15．点A（﹣1，1）关于原点对称的点的坐标是_____．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴相交于点，其顶点为，将这条抛物线绕点旋转后得到的抛物线与轴的负半轴相交于点，其顶点为，连接，，，，则四边形的面积为__________；
17．已知抛物线，过点（0，2），则c＝__________．
18．某种商品每件进价为10元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（10≤x≤20且x为整数）出售，可卖出（20﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为_____元．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知3是一元二次方程x2-2x+a=0的一个根，求a的值和方程的另一个根.
20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为边CB上的一个动点（点D不与点B重合），过D作DO⊥AB，垂足为O，点B′在边AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DB′，AD．
（1）求证：△DOB∽△ACB；
（2）若AD平分∠CAB，求线段BD的长；
（3）当△AB′D为等腰三角形时，求线段BD的长．
21．（6分）如图,在口ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,DE= CD
(1)求证:△ABF∽△CEB
(2)若△DEF的面积为2,求△CEB的面积
22．（8分）（1）解方程：
（2）已知点P（a+b，-1）与点Q（-5，a-b）关于原点对称，求a，b的值．
23．（8分）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B（3，b）两点．
（1）求反比例函数的表达式
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标
（3）求△PAB的面积．
24．（8分）如图，一位测量人员，要测量池塘的宽度的长，他过A、B两点画两条相交于点的射线，在射线上取两点D、E，使，若测得DE=37.2米，他能求出A、B之间的距离吗？若能，请你帮他算出来；若不能，请你帮他设计一个可行方案．
25．（10分）某食品代理商向超市供货，原定供货价为元/件，超市售价为元/件.为打开市场超市决定在第一季度对产品打八折促销，第二季度再回升个百分点，为保证超市利润，代理商承诺在供货价基础上向超市返点试问平均每季度返多少个百分点，半年后超市的销售利润回到开始供货时的水平?
26．（10分）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：其中， .
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，已画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；
（3）观察函数图象，写出一条函数的性质： ；
（4）观察函数图象发现：若关于的方程有4个实数根，则的取值范围是 .
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【详解】∵二次函数的图象经过点（﹣1，0），∴方程一定有一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为：（3，0），∴方程的解为：，．
故选C．
考点：抛物线与x轴的交点．
2、D
【分析】根据k＞0，k＜0，结合两个函数的图象及其性质分类讨论，然后再对照选项即可．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当k＜0时，反比例函数y＝在二、四象限，而二次函数y＝kx2﹣k开口向下，故A、B、C、D都不符合题意；
②当k＞0时，反比例函数y＝在一、三象限，而二次函数y＝kx2﹣k开口向上，与y轴交点在原点下方，故选项D正确；
故选：D．
本题主要考查反比例函数与二次函数的图象，掌握k对反比例函数与二次函数的图象的影响是解题的关键．
3、A
【分析】根据一元二次方程的定义可得m﹣1≠0，再解即可．
【详解】解：由题意得：m﹣1≠0，
解得：m≠1，
故选：A．
本题考查了一元二次方程的定义，注意掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
4、A
【分析】根据题意可知b=3-b2，a+b=-1，ab=-3，所求式子化为a2-b+2019=a2-3+b2+2019=（a+b）2-2ab+2016即可求解.
【详解】，是方程的两个实数根，
∴，，，
∴；
故选A．
本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键．
5、B
【分析】对反比例函数化简得，所以k=＞0，当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、∵k=＞0，∴它的图象分布在第一、三象限，故本选项正确；
B、∵它的图象分布在第一、三象限，∴在每一象限内y随x的增大而减小，故本选项错误；
C、∵k=，根据反比例函数中k的几何意义可得的面积为=，故本选项正确；
D、∵它的图象分布在第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，∵x1=﹣1＜0，x2=﹣＜0，且x1＞x2，∴，故本选项正确．
故选：B．
题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=（k≠0）中，当k＞0时函数图象的两个分支分别位于一三象限是解答此题的关键．
6、B
【分析】当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，结合图象可得面积最大为1，得到与的积为12；当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，得到与的和为7，构造关于的一元二方程可求解．
【详解】解：当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，面积最大为1．
∴，即．
当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，
∴．
则，代入，得，解得或1，
因为，即，
所以．
故选B．
本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．
7、B
【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，即发生的概率是1的事件．
【详解】解：A．掷一次骰子，向上一面的点数是6，属于随机事件；
B.13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月，属于必然事件；
C．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件；
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件；
故选B．
此题主要考查事件发生的概率，解题的关键是熟知必然事件的定义.
8、D
【解析】由题意可得:EP∥BD,所以△AEP∽△ADB,所以,因为EP=1.5,BD=9,所以,解得:AP=5,因为AP=BQ,PQ=20,所以AB=AP+BQ+PQ=5+5+20=30,故选D.
点睛:本题主要考查相似三角形的对应边成比例在解决实际问题中的应用,应用相似三角形可以间接地计算一些不易直接测量的物体的高度和宽度,解题时关键是找出相似三角形,然后根据对应边成比例列出方程,建立适当的数学模型来解决问题.
9、A
【解析】试题分析：根据CD：AD=1:2，AC=3米可得：CD=3米，AD=6米，根据AB=10米，∠D=90°可得：BD==8米，则BC=BD－CD=8－3=5米.
考点：直角三角形的勾股定理
10、B
【分析】E（﹣4，1）以O为位似中心，按比例尺1：1，把△EFO放大，则点E的对应点E′的坐标是E（﹣4，1）的坐标同时乘以1或﹣1．
【详解】解：根据题意可知，点E的对应点E′的坐标是E（﹣4，1）的坐标同时乘以1或﹣1．
所以点E′的坐标为（8，﹣4）或（﹣8，4）．
故选：B．
本题主要考查根据位似比求对应点的坐标，分情况讨论是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】等量关系为：第一季度的猪肉价格×（1+增长率）2=第三季度的猪肉价格
【详解】解：设平均每个季度的增长率为g，
∵第一季度为每公斤元，第三季度为每公斤元，
，解得．
∴平均每个季度的增长率．
故答案为：．
本题考查了一元二次方程的应用，是常考查的增长率问题，解题的关键是熟悉有关增长率问题的有关等式．
12、
【分析】利用勾股定理可求得AC的长，根据面积比等于相似比的平方可得矩形AB1C1C的面积，同理可求出矩形AB2C2C1、AB3C3C2，……的面积，从而可发现规律，根据规律即可求得第2019个矩形的面积，即可得答案.
【详解】∵在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，
∴AC==，
∵矩形ABCD与矩形AB1C1C相似，
∴矩形AB1C1C与矩形ABCD的相似比为，
∴矩形AB1C1C与矩形ABCD的面积比为，
∵矩形ABCD的面积为1×2=2，
∴矩形AB1C1C的面积为2×=，
同理：矩形AB2C2C1的面积为×==，
矩形AB3C3C2的面积为×==，
……
∴矩形ABnCnCn-1面积为，
∴矩形AB2019C2019C2018的面积为=，
故答案为：
本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，根据求出的结果得出规律并熟记相似图形的面积比等于相似比的平方是解题关键.．
13、k﹤-1.
【分析】若关于x的一元二次方程x2+2x-k=0没有实数根，则△=b2-4ac＜0，列出关于k的不等式，求得k的取值范围即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x-k=0没有实数根，
∴△=b2-4ac＜0，
即22-4×1×（-k）＜0，
解这个不等式得：k＜-1．
故答案为：k＜-1．
14、1或﹣2
【分析】分两种情况讨论：①当m≠n时，根据根与系数的关系即可求出答案；②当m=n时，直接得出答案．
【详解】由题意可知：m、n是方程x1+1x﹣1=0的两根，分两种情况讨论：
①当m≠n时，由根与系数的关系得：
m+n=﹣1，mn=﹣1，
∴原式2，
②当m=n时，原式=1+1=1．
综上所述：的值是1或﹣2．
故答案为：1或﹣2．
本题考查了构造一元二次方程求代数式的值，解答本题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于中等题型．
15、（1，﹣1）
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
【详解】解：点A（﹣1，1）关于原点对称的点的坐标是：（1，﹣1）．
故答案为：（1，﹣1）．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
16、32
【分析】利用抛物线的解析式算出M的坐标和A的坐标,根据对称算出B和N的坐标,再利用两个三角形的面积公式计算和即可.
【详解】∵,
∴M(2,-4),
令,解得x1=0,x2=4,
∴A(0,4),
∵B,N分别关于原点O的对称点是A,M,
∴B(-4,-0),N(-2,4),
∴AB=8,
∴四边形AMBN的面积为:2S△ABM=,
故答案为:32.
本题考查二次函数的性质,关键在于利用对称性得出坐标点.
17、2
【分析】将点（0，2）代入原解析式解出c的值即可.
【详解】∵抛物线，过点（0，2），
∴，
∴c=2，
故答案为：2.
本题主要考查了抛物线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
18、1
【解析】本题是营销问题，基本等量关系：利润＝每件利润×销售量，每件利润＝每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．
【详解】解：设利润为w元，
则w＝（20﹣x）（x﹣10）＝﹣（x﹣1）2+25，
∵10≤x≤20，
∴当x＝1时，二次函数有最大值25，
故答案是：1．
本题考查了二次函数的应用，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
三、解答题(共66分)
19、a=-3；另一个根为-1.
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=3代入x2-2x+a=0可求出a的值，然后把a的值代入方程得到x2-2x-3=0，再利用因式分解法解方程即可得到方程的另一根．
【详解】解：设方程的另一个根为m，则
解得：
∴方程的另一个根为
∴a=-13=-3.
本题主要考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
20、（1）证明见试题解析；（2）1；（3）．
【解析】试题分析：（1）公共角和直角两个角相等，所以相似.(2)由（1）可得三角形相似比，设BD＝x，CD，BD，BO用x表示出来，所以可得BD长.(3)同（2）原理，BD＝B′D＝x,
AB′，B′O，BO用x表示,利用等腰三角形求BD长.
试题解析：
（1）证明:∵DO⊥AB，∴∠DOB＝90°，
∴∠ACB＝∠DOB＝90°,
又∵∠B＝∠B．∴△DOB∽△ACB．
（2）∵AD 平分∠CAB，DC⊥AC,DO⊥AB,
∴DO＝DC,
在 Rt△ABC 中，AC＝6，BC＝,8，∴AB＝10,
∵△DOB∽△ACB,
∴DO∶BO∶BD＝AC∶BC∶AB＝3∶4∶1,
设BD＝x，则DO＝DC＝x，BO＝x,
∵CD＋BD＝8，∴x＋x＝8，解得x＝,1，即：BD＝1．
（3）∵点B 与点B′关于直线DO 对称，∴∠B＝∠OB′D，
BO＝B′O＝x，BD＝B′D＝x,
∵∠B 为锐角，∴∠OB′D 也为锐角，∴∠AB′D 为钝角,
∴当△AB′D 是等腰三角形时，AB′＝DB′,
∵AB′＋B′O＋BO＝10，
∴x＋x＋x＝10，解得x＝，即BD＝，
∴当△AB′D 为等腰三角形时，BD＝.
点睛：角平分线问题的辅助线添加及其解题模型.
①垂两边：如图（1），已知平分，过点作，，则.
②截两边：如图（2），已知平分，点上，在上截取，则≌.
③角平分线+平行线→等腰三角形：
如图（3），已知平分，，则；
如图（4），已知平分，，则.
(1) (2) (3) (4)
④三线合一（利用角平分线+垂线→等腰三角形）：
如图（1），已知平分，且，则，.
(1)
21、（1）见解析；（2）18.
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，AB∥DC，然后根据平行线的性质可得∠ABF=∠CEB，最后根据相似三角形的判定定理可得△ABF∽△CEB；
（2）根据已知条件即可得出DE=EC，利用平行四边形的性质和相似三角形的判定可得△DEF∽△CEB，最后根据相似三角形的性质即可求出△CEB的面积.
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠A=∠C，AB∥DC
∴∠ABF=∠CEB
∴△ABF∽△CEB；
（2）∵DE= CD
∴DE=EC
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴△DEF∽△CEB
∴
∵△DEF的面积为2
∴S△CEB=18
此题考查的是平行四边形的性质和相似三角形的判定及性质，掌握平行四边形的性质定理和相似三角形的判定定理及性质定理是解决此题的关键.
22、（1）；（2）．
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得；
（2）先根据关于原点对称的点坐标变换规律可得一个关于a、b二元一次方程组，再利用加减消元法解方程组即可得．
【详解】（1），
，
或，
或，
即；
（2）关于原点对称的点坐标变换规律：横、纵坐标均互为相反数，
则，
解得．
本题考查了解一元二次方程、关于原点对称的点坐标变换规律、解二元一次方程组，熟练掌握方程（组）的解法和关于原点对称的点坐标变换规律是解题关键．
23、（1）反比例函数的表达式y=，（2）点P坐标（，0）， (3)S△PAB= 1.1．
【解析】（1）把点A（1，a）代入一次函数中可得到A点坐标，再把A点坐标代入反比例解析式中即可得到反比例函数的表达式；（2）作点D关于x轴的对称点D，连接AD交x轴于点P，此时PA+PB的值最小.由B可知D点坐标，再由待定系数法求出直线AD的解析式，即可得到点P的坐标；（3）由S△PAB=S△ABD﹣S△PBD即可求出△PAB的面积.
解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，
得a=﹣1+4，
解得a=3，
∴A（1，3），
点A（1，3）代入反比例函数y=，
得k=3，
∴反比例函数的表达式y=，
（2）把B（3，b）代入y=得，b=1
∴点B坐标（3，1）；
作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，
∴D（3，﹣1），
设直线AD的解析式为y=mx+n，
把A，D两点代入得，， 解得m=﹣2，n=1，
∴直线AD的解析式为y=﹣2x+1，
令y=0，得x=，
∴点P坐标（，0），
(3)S△PAB=S△ABD﹣S△PBD=×2×2﹣×2×=2﹣=1.1．
点晴：本题是一道一次函数与反比例函数的综合题，并与几何图形结合在一起来求有关于最值方面的问题.此类问题的重点是在于通过待定系数法求出函数图象的解析式，再通过函数解析式反过来求坐标，为接下来求面积做好铺垫.
24、24.8米．
【分析】首先判定△DOE∽△BOA，根据相似三角形的性质可得，再代入DE=37.2米计算即可．
【详解】∵，∠DOE=∠BOA，
∴△DOE∽△BOA，
∴，
∴，
∴AB=24.8(米)．
答：A、B之间的距离为24.8米．
本题考查了相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形的对应边的比相等．
25、代理商平均每个季度向超市返个百分点，半年后超市的利润回到开始供货时的水平.
【分析】设代理商平均每个季度向超市返个百分点，根据题意列出方程，解方程，即可得到答案.
【详解】解：设代理商平均每个季度向超市返个百分点，
由题意得：，
解得：(舍去).
∴代理商平均每个季度向超市返个百分点，半年后超市的利润回到开始供货时的水平.
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到题目的等量关系，列出方程.
26、（1）1；（2）图见解析；（3）图象关于轴对称（或函数有最小值，答案不唯一）；（4）.
【分析】（1）把x=-2代入函数解释式即可得m的值；
（2）描点、连线即可得到函数的图象；
（3）根据函数图象得到函数y=x2-2|x|的图象关于y轴对称；当x>1时，y随x的增大而增大；
（4）根据函数的图象即可得到a的取值范围-1