人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算优秀同步测试题

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一、交集
1、文字语言：对于两个给定的集合A，B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做A，B的交集，记作A∩B，读作“A交B”
2、符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
3、图形语言：阴影部分为A∩B
4、性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅，如果A⊆B，则A∩B＝A
5、解题思路：单个数字交集找相同，不等式的交集画数轴，不同集合高度画不同。
二、并集
1、文字语言：对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”
2、符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
3、符号语言：阴影部分为A∪B

4、性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A，如果A⊆B，则A∪B＝B.
5、解题思路：两个集合所有元素集中在一起，但是重复元素只写一次，要满足集合中的互异性
三、补集
1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，
那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U.
2、补集
（1）文字语言：如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作.
（2）符号语言：
（3）符号语言：
（4）性质：A∪∁UA＝U；A∩∁UA＝∅；∁U(∁UA)＝A.
【注意】并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R，要看题目的。
四、利用交并补求参数范围的解题思路
1、根据并集求参数范围：，
若A有参数，则需要讨论A是否为空集；
若B有参数，则
2、根据交集求参数范围：
若A有参数，则需要讨论A是否为空集；
若B有参数，则
题型一 交集的运算
【例1】已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}，则A∩B等于( )
A．{1} B．{2} C．{－1,2} D．{1,2,3}
【答案】B
【解析】由题得，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，2))，∴A∩B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2))
【变式1-1】设集合，集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】集合，集合，
又集合与集合中的公共元素为5，8，，故选A.
【变式1-2】已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________.
【答案】{(0,1)，(－1,2)}
【解析】A，B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，
代入验证即可．
【变式1-3】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】集合，
.故选：C.
【变式1-4】已知A＝{x|x≤1}，B＝{y|y≥0}，则集合A∩B等于( )
A．∅ B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0【答案】C
【解析】利用数轴，容易得到答案。
题型二 并集的运算
【例2】(2017·全国Ⅱ)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B等于( )
A．{1,2,3,4} B．{1,2,3} C．{2,3,4} D．{1,3,4}
【答案】A
【解析】∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，∴A∪B＝{1,2,3,4}．故选A.
【变式2-1】A＝{x|－1【答案】{x|－1【解析】如图，
由图知A∪B＝{x|－1【变式2-2】若集合，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，
又，
所以．故选：D．
【变式2-3】已知集合，若，则B可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，四个选项中只有是集合A的子集.故选：A
【变式2-4】满足条件的所有集合A的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】因为，
所以，集合A可能为，
即所有集合A的个数是4，故选D.
【变式2-5】已知集合A={三角形}，B={等腰三角形}，C={矩形}，D={菱形}，则（ ）
A． B． C． D．{正方形}
【答案】D
【解析】因集合A={三角形}，B={等腰三角形}，则，
因此，，A，B都不正确；
C={矩形}，D={菱形}，因存在不含有直角的菱形，即，C不正确，
而正方形既是菱形又是矩形，于是得{正方形}，D正确.故选：D
题型三 补集的运算
【例3】设全集，，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为全集，，所以.故选：C
【变式3-1】已知集合，，全集，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题，，所以，故选：B
【变式3-2】已知全集，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以；故选：B
【变式3-3】已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由补集定义可知：或，即，故选：D．
【变式3-4】已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知：.故选：D.
题型四 交并补综合运算
【例4】已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，所以，
则. 故选：C.
【变式4-1】已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵全集，集合，则，
又∵集合，因此，.故选：C.
【变式4-2】已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
则，
故.故选：D.
【变式4-3】设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，
所以，又，
所以，故选：A.
【变式4-4】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，则，
，
因此，.故选：D.
题型五 集合运算中的求参问
【例5】已知集合，若，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为集合，且，
所以，所以实数a的取值范围为，故选：D.
【变式5-1】已知集合，，且，则实数a的所有值构成的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
当时，，满足，只有D选项符合.
当时，，
要使，则或或，即或或，
所以实数a的所有值构成的集合是.故选：D
【变式5-2】已知集合，．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为集合，且，
所以，即；故选：D
【变式5-3】设集合，，若，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】当时，，满足.
当时，要使，则B是A的子集
则需.
综上所述，的取值范围是.
【变式5-4】设集合A＝{x|x＋1≤0或x－4≥0}，B＝{x|2a≤x≤a＋2}．
（1）若A∩B≠∅，求实数a的取值范围；
（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．
【解析】（1）∵A＝{x|x＋1≤0或x－4≥0}， ∴A＝{x|x≤－1或x≥4}．
∵A∩B≠∅，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a≤a＋2，,a＋2≥4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a≤a＋2，,2a≤－1，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤2，,a≥2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤2，,a≤－\f(1,2)，))∴a＝2或a≤－eq \f(1,2).
∴a的取值范围为{a|a＝2或a≤－eq \f(1,2)}.
（2）由A∩B＝B知，B⊆A，有三种情况：
①eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a≤a＋2，,a＋2≤－1，))解得a≤－3；
②eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a≤a＋2，,2a≥4，))解得a＝2；
③B＝∅，则2a>a＋2，解得a>2.
∴a的取值范围为{a|a≤－3或a≥2}．
【变式5-5】已知集合，，且，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，∴，
∵，∴．故选：C．
【变式5-6】设集合，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若全集，，求实数的取值范围．
【答案】（1）或；（2）；（3）
【解析】（1）由得，
因为，所以，
所以，
整理得，解得或．
当时，，满足；
当时，，满足；
故的值为或．
（2）由题意，知．
由，得．
当集合时，关于的方程没有实数根，
所以，即，解得．
当集合时，若集合中只有一个元素，
则，
整理得，解得，
此时，符合题意；
若集合中有两个元素，则，
所以，无解．
综上，可知实数的取值范围为．
（3）由，可知，
所以，所以．
综上，实数的取值范围为．故得解.
题型六 韦恩图的应用
【例6】设全集U是自然数集N，集合A＝{x|x2 >4，x∈N}，B＝{0,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A.{x|x>2，x∈N} B.{x|x≤2，x∈N} C.{0,2} D.{1,2}
【答案】C
【解析】由题图可知，图中阴影部分所表示的集合是B∩(∁UA)，[来源:学_科_网]
∁UA＝{x|x2≤4，x∈N}＝{x|－2≤x≤2，x∈N}＝{0,1,2}，
∵B＝{0,2,3}，∴B∩()＝{0,2}，选C.
【变式6-1】图中的阴影部分表示的集合是( )
A．A∩() B．B∩() C． D．
【答案】B
【解析】阴影部分表示集合B与集合A的补集的交集．因此，阴影部分所表示的集合为B∩()．
【变式6-2】已知非空集合M，N是全集U的子集，则（ ）
A． B． C．M D．N
【答案】D
【解析】根据题意，集合M，N间的关系如下图，易知，
可用矩形表示全集U，椭圆表示集合M，圆表示集合N．
根据图形可知，所以．
【变式6-3】某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？
【答案】同时参加数学和化学小组的有8人
【解析】设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，
同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．
由全班共36名同学参加课外探究小组可得
(26－6－x)＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，
即同时参加数学和化学小组的有8人．
【变式6-4】某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的有________人．
【答案】12
【解析】设两项运动都喜欢的人数为x，喜爱篮球的记为集合A，喜爱乒乓球的记为集合B，
画出Venn图得到方程：15－x＋x＋10－x＋8＝30⇒x＝3，
∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12.