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所属成套资源：沪科版七年级数学上册【专题特训卷】
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沪科版七年级上册1.5 有理数的乘除练习
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这是一份沪科版七年级上册1.5 有理数的乘除练习，共32页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc29191" 【题型1 有理数乘除法则概念辨析】 PAGEREF _Tc29191 \h 1
\l "_Tc28194" 【题型2 倒数的概念及运用】 PAGEREF _Tc28194 \h 2
\l "_Tc29153" 【题型3 有理数乘除法的简单混合运算】 PAGEREF _Tc29153 \h 3
\l "_Tc16672" 【题型4 有理数乘除法运算律的运用】 PAGEREF _Tc16672 \h 4
\l "_Tc15325" 【题型5 有理数乘除法的运算步骤问题】 PAGEREF _Tc15325 \h 5
\l "_Tc27244" 【题型6 有理数乘除法与绝对值的综合】 PAGEREF _Tc27244 \h 7
\l "_Tc14810" 【题型7 有理数乘除法中的规律计算】 PAGEREF _Tc14810 \h 9
\l "_Tc21487" 【题型8 有理数乘除法的实际应用】 PAGEREF _Tc21487 \h 10
\l "_Tc24448" 【题型9 有理数乘除法中的新定义问题】 PAGEREF _Tc24448 \h 13
【知识点1 有理数乘法的法则】
①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
②任何数同零相乘，都得0．
③多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个
时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
【知识点2 有理数除法的法则】
①有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
【题型1 有理数乘除法则概念辨析】
【例1】（2022•金堂县月考）下列说法正确的是（ ）
A．5个有理数相乘，当负因数为3个时，积为负
B．﹣1乘以任何有理数等于这个数的相反数
C．3个有理数的积为负数，则这3个有理数都为负数
D．绝对值大于1的两个数相乘，积比这两个数都大
【变式1-1】（2022春•埇桥区校级期中）在下列各题中，结论正确的是（ ）
A．若a＞0，b＜0，则0B．若a＞b，则a﹣b＞0
C．若 a＜0，b＜0，则ab＜0D．若a＞b，a＜0，则0
【变式1-2】（2022•广东一模）已知a+b＞0且a（b﹣1）＜0，则下列说法一定错误的是（ ）
A．a＞0，b＞1B．a＜﹣1，b＞1C．﹣1≤a＜0，b＞1D．a＜0，b＞0
【变式1-3】（2022•武昌区校级期中）下列说法：①若a、b互为相反数，则1；②若b＜0＜a，且|a|＜|b|，则|a+b|＝﹣|a|+|b|；③几个有理数相乘，如果负因数的个数为奇数个，则积为负；④当x＝1时，|x﹣4|+|x+2|有最小值为5；⑤若，则；其中错误的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【知识点3 倒数的概念】
乘积是1的两个数互为倒数．
①“互为倒数”的两个数是互相依存的；
②0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；
③倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
④互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．
【题型2 倒数的概念及运用】
【例2】（2022秋•温江区月考）若3a﹣12没有倒数，则a＝ ；已知m﹣11的倒数为，则m+1的相反数是 ．
【变式2-1】（2022•杨浦区校级期中）如果a+3的相反数是﹣5，那么a的倒数是 ．
【变式2-2】（2022秋•贵港期末）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2．
（1）直接写出a+b，cd，m的值；
（2）求m+cd的值．
【变式2-3】（2022•大邑县期末）已知a与2互为相反数，x与3互为倒数，则代数式a+2+|﹣6x|的值为（ ）
A．0B．﹣2C．2D．无法确定
【题型3 有理数乘除法的简单混合运算】
【例3】（2022•鄂托克旗期末）下列计算正确的是（ ）
A．﹣3020×（）
B．（）÷（）＝﹣2
C．（）÷（）×（）
D．（）×（）＝0
【变式3-1】（2022•东昌府区校级月考）（1）（）×（﹣3）÷（﹣1）÷3
（2）[（）﹣（）﹣（）]÷（）
【变式3-2】（2022•安图县期末）计算：
（1）（﹣1）．
（2）﹣125×0.42÷（﹣7）
【变式3-3】（2022•沙市区校级期中）计算：
（1）（）×（﹣3）÷（﹣1）÷3；
（2）（﹣8）（﹣1）÷（﹣9）．
【题型4 有理数乘除法运算律的运用】
【例4】（2022•诸城市期中）写出下列运算中每一步所依据的运算律或法则：
（﹣0.4）×（﹣0.8）×（﹣1.25）×2.5
＝﹣（0.4×0.8×1.25×2.5）（第一步）
＝﹣（0.4×2.5×0.8×1.25）（第二步）
＝﹣[（0.4×2.5）×（0.8×1.25）]（第三步）
＝﹣（1×1）＝﹣1．
第一步： ；第二步： ；第三步： ．
【变式4-1】（2022•平谷区期末）计算：（）×（﹣24）．
【变式4-2】（2022•红谷滩区校级期中）用简便方法计算
（1）99（﹣9）
（2）（﹣5）×（﹣3）+（﹣7）×（﹣3）+12×（﹣3）
【变式4-3】（2022•红河州校级期中）用简便方法计算：
（1）﹣130.34（﹣13）0.34
（2）（）×（﹣60）
【题型5 有理数乘除法的运算步骤问题】
【例5】（2022•利辛县月考）下面是小明同学的运算过程．
计算：﹣5÷2．
解：﹣5÷25÷（2）…第1步
＝﹣5÷1…第2步
＝﹣5…第3步
请问：（1）小明从第 步开始出现错误；
（2）请写出正确的解答过程．
【变式5-1】（2022•海陵区期中）计算：（）×（）．
解：（）×（）
①
．②
（1）找错：第 步出现错误；
（2）纠错：
【变式5-2】（2022•德州校级月考）阅读下面解题过程：
计算：5÷（22）÷6
解：5÷（22）×6
＝5÷（）×6…①
＝5÷（﹣25）…②
③
回答：
（1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第 步，错因是 ，第二处是 ，错因是 ．
（2）正确结果应是 ．
【变式5-3】（2022秋•无为县月考）阅读下列材料：
计算：（）．
解法一：原式3412．
解法二：原式（）6．
解法三：原式的倒数＝（）（）×24242424＝4．
所以，原式．
（1）上述得到的结果不同，你认为解法 是错误的；
（2）请你选择合适的解法计算：（）÷（）．
【题型6 有理数乘除法与绝对值的综合】
【例6】（2022•余姚市校级期中）（1）三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值．
（2）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求的值；
（3）若a，b，c为三个不为0的有理数，且1，求的值．
【变式6-1】（2022•雁峰区校级期末）已知非零有理数a，b，c满足ab＞0，bc＞0．
（1）求的值；
（2）若a+b+c＜0，求的值．
【变式6-2】（2022•河西区期中）已知|x|＝3，|y|＝7
（1）若x＜y，求x﹣y的值；
（2）若xy＞0，求x+y的值；
（3）求x2y﹣xy2+21的值．
【变式6-3】（2022•雨花区月考）若a+b+c＜0，abc＞0，则2•3•4•的最大值为（ ）
A．6B．8C．10D．7
【题型7 有理数乘除法中的规律计算】
【例7】（2022•上蔡县期中）考察下列每一道算式，回答问题：
算式：63×67＝4221 72×78＝5616
561×569＝3192009 1814×1816＝3294224
（1）两个因数个位上的数字之和是多少？其余各位上的数字有何特征？
（2）根据四个式子的计算，请你猜想符合上述特征的两个数相乘的运算规律．
（3）再举两道符合上述特征的计算题，并用你猜想的规律进行计算．
【变式7-1】已知3，10，15，…观察以上规律计算 ，45，则a＝ ．
【变式7-2】（2022•夏邑县期中）有一列数a1，a2，a3，…an，若a1，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的差的倒数．
（1）试计算a2，a3，a4；
（2）根据以上计算结果，试猜测a2016、a2017的值．
【变式7-3】（2022•厦门期末）已知一些两位数相乘的算式：
62×11，78×69，34×11，63×67，18×22，15×55，12×34，54×11
利用这些算式探究两位数乘法中可以简化运算的特殊情形：
（1）观察已知算式，选出具有共同特征的3个算式，并用文字描述它们的共同特征；
（2）分别计算你选出的算式．观察计算的结果，你能发现不经过乘法运算就可以快速、直接地写出积的规律吗？请用文字描述这个规律；
（3）证明你发现的规律；
（4）在已知算式中，找出所有可以应用（或经过转化可以应用）上述规律的算式，并将它们写在横线上： ．
【题型8 有理数乘除法的实际应用】
【例8】（2022•江宁区校级月考）天龙顶国家山地公园，位于岑溪市南渡镇吉太附近，距岑溪市35公里，天龙顶是桂东最高峰，史上早已成名，被誉为“土主龙楼”天龙顶形成于远古冰川，由整块红色砂岩劈凿而成，拔地而起，是极限攀岩、野外露营及登山爱好者的天堂．某年寒假，小昌与小勇一起去游天龙顶，他们想知道山的高度．小昌说可以利用温度计测量山峰的高度，小昌在山顶测得温度约是﹣1℃，小勇此时在山脚测得温度约是8.6℃，已知该地区每年增加100米，气温大约下降0.8℃，小昌很快算出了答案，你知道天龙顶的高度约是多少米吗？
【变式8-1】（2021秋•北京期中）
妈妈身高多少厘米？
【变式8-2】（2022•常州期中）某原料仓库一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）：
（1）这天仓库的原料比原来增加或减少了多少吨？
（2）根据实际情况，现有两种方案：
方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元；
方案二：不管运进还是运出费用都是每吨原料6元；
从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案较合适？请说明理由．
【变式8-3】（2022•台湾）碳足迹标签是一种碳排放量的标示方式，让大众了解某一产品或服务所产生的碳排放量多寡，如图所示．
碳足迹标签的数据标示有其规定，以碳排放量大于20公克且不超过40公克为例，此范围内的碳足迹数据标示只有20、22、24、…、38、40公克等11个偶数；碳足迹数据标示决定于碳排放量与这11个偶数之中的哪一个差距最小，两者对应标示的范例如下表所示．
请根据上述资讯，回答下列问题，并详细解释或完整写出你的解题过程．
（1）若有一个产品的碳足迹数据标示为38公克，则它可能的碳排放量之最小值与最大值分别为多少公克？
（2）承（1），当此产品的碳排放量减少为原本的90%时，请求出此产品碳足迹数据标示的所有可能情形．
【题型9 有理数乘除法中的新定义问题】
【例9】（2022•大安市期末）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24．
（1）求3*（﹣4）的值；
（2）求（﹣2）*（6*3）的值．
【变式9-1】（2022•九龙坡区校级模拟）定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的n倍（n为正整数），我们就说这个自然数是一个“n喜数”．例如：24就是一个“4喜数”，因为24＝4×（2+4）；25就不是一个“n喜数”，因为25≠n（2+5）．
（1）判断44和72是否是“n喜数”？请说明理由；
（2）请求出所有的“7喜数”之和．
【变式9-2】（2022•丰台区期末）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．
例如：如图1，计算46×71，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果计入相应的方格中，最后沿斜线方向相加得3266．
（1）如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则x＝ ，y＝ ；
（2）如图3，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，则m＝ ，n＝ ；
（3）如图4，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则k＝ ．
【变式9-3】（2022•靖江市期中）小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把5÷5÷5记作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4，﹣2）．
（1）直接写出计算结果，f（4，）＝ ，f（5，3）＝ ；
（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号）
①f（6，3）＝f（3，6）；
②f（2，a）＝1（a≠0）；
③对于任何正整数n，都有f（n，﹣1）＝1；
④对于任何正整数n，都有f（2n，a）＜0（a＜0）．
（3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a，n的式子表示）
（4）请利用（3）问的推导公式计算：f（5，3）×f（4，）×f（5，﹣2）×f（6，）．
专题1.4 有理数的乘除【九大题型】
【沪科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc25910" 【题型1 有理数乘除法则概念辨析】 PAGEREF _Tc25910 \h 1
\l "_Tc24021" 【题型2 倒数的概念及运用】 PAGEREF _Tc24021 \h 3
\l "_Tc28915" 【题型3 有理数乘除法的简单混合运算】 PAGEREF _Tc28915 \h 4
\l "_Tc7067" 【题型4 有理数乘除法运算律的运用】 PAGEREF _Tc7067 \h 6
\l "_Tc7885" 【题型5 有理数乘除法的运算步骤问题】 PAGEREF _Tc7885 \h 8
\l "_Tc15911" 【题型6 有理数乘除法与绝对值的综合】 PAGEREF _Tc15911 \h 10
\l "_Tc3571" 【题型7 有理数乘除法中的规律计算】 PAGEREF _Tc3571 \h 13
\l "_Tc23286" 【题型8 有理数乘除法的实际应用】 PAGEREF _Tc23286 \h 15
\l "_Tc11498" 【题型9 有理数乘除法中的新定义问题】 PAGEREF _Tc11498 \h 17
【知识点1 有理数乘法的法则】
①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
②任何数同零相乘，都得0．
③多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个
时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
【知识点2 有理数除法的法则】
①有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
【题型1 有理数乘除法则概念辨析】
【例1】（2022•金堂县月考）下列说法正确的是（ ）
A．5个有理数相乘，当负因数为3个时，积为负
B．﹣1乘以任何有理数等于这个数的相反数
C．3个有理数的积为负数，则这3个有理数都为负数
D．绝对值大于1的两个数相乘，积比这两个数都大
【分析】根据有理数的乘法法则逐一判断即可．
【解答】解：A、若五个有理数中只要出现一个0，不管有几个负因数，结果都为0．故本选项错误；
B、﹣1乘以任何有理数等于这个数的相反数，故本选项正确；
C、3个有理数的积为负数，则这3个有理，都为负数，也可能有一个负数，故本选项错误；
D、绝对值大于1的两个数相乘，积不一定比这两个数都大，如﹣3和2，它们的积比这两个数小，故本选项错误；
故选：B．
【变式1-1】（2022春•埇桥区校级期中）在下列各题中，结论正确的是（ ）
A．若a＞0，b＜0，则0B．若a＞b，则a﹣b＞0
C．若 a＜0，b＜0，则ab＜0D．若a＞b，a＜0，则0
【分析】根据两数的符号或大小判断相应等式是否成立即可．
【解答】解：A、两数相除，异号得负，故选项错误；
B、大数减小数，一定大于0，故选项正确；
C、两数相乘，同号得正，故选项错误；
D、若a＞b，a＜0，则0，故选项错误．
故选：B．
【变式1-2】（2022•广东一模）已知a+b＞0且a（b﹣1）＜0，则下列说法一定错误的是（ ）
A．a＞0，b＞1B．a＜﹣1，b＞1C．﹣1≤a＜0，b＞1D．a＜0，b＞0
【分析】根据有理数的乘法，异号两数相乘得负，可得答案．
【解答】解：a＞0，b＞1，
a（b﹣1）＞0，
故A错误；
故选：A．
【变式1-3】（2022•武昌区校级期中）下列说法：①若a、b互为相反数，则1；②若b＜0＜a，且|a|＜|b|，则|a+b|＝﹣|a|+|b|；③几个有理数相乘，如果负因数的个数为奇数个，则积为负；④当x＝1时，|x﹣4|+|x+2|有最小值为5；⑤若，则；其中错误的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】根据相反数、绝对值、有理数的乘法、等式的基本性质、有理数的乘方解决此题．
【解答】解：①根据相反数的定义，当b＝0时，此时不成立，故①错误，那么①符合题意．
②根据绝对值的定义，由b＜0＜a，且|a|＜|b|，则|a+b|＝|b|﹣|a|＝﹣|a|+|b|，故②正确，那么②不符合题意．
③几个不为0的有理数相乘，如果负因数的个数为奇数个，则积为负，故③错误，那么③符合题意．
④当x＝1时，|x﹣4|+|x+2|有最小值6，故④错误，那么④符合题意．
⑤由，得（a≠0，c≠0，b≠0，d≠0），故⑤不正确，那么⑤符合题意．
综上：错误的有①③④⑤，共4个．
故选：B．
【知识点3 倒数的概念】
乘积是1的两个数互为倒数．
①“互为倒数”的两个数是互相依存的；
②0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；
③倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
④互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．
【题型2 倒数的概念及运用】
【例2】（2022秋•温江区月考）若3a﹣12没有倒数，则a＝ 4 ；已知m﹣11的倒数为，则m+1的相反数是 ﹣5 ．
【分析】根据0没有倒数，倒数的定义以及相反数的定义作答．
【解答】解：当3a﹣12＝0即a＝4时，3a﹣12没有倒数；
由m﹣11的倒数为得到：m﹣11＝﹣7，则m＝4，
所以﹣（m+1）＝﹣（4+1）＝﹣5，即m+1的相反数是﹣5．
故答案是：4；﹣5．
【变式2-1】（2022•杨浦区校级期中）如果a+3的相反数是﹣5，那么a的倒数是 ．
【分析】先根据只有符号不同的两个数互为相反数求出a，再根据乘积是1的两个数互为倒数解答．
【解答】解：∵a+3的相反数是﹣5，
∴a+3＝5，
∴a，
∵（）×（）＝1，
∴a的倒数是．
故答案为：．
【变式2-2】（2022秋•贵港期末）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2．
（1）直接写出a+b，cd，m的值；
（2）求m+cd的值．
【分析】（1）根据互为相反数的和为0，互为倒数的积为1，绝对值的意义，即可解答；
（2）分两种情况讨论，即可解答．
【解答】解：（1）∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，
∴a+b＝0，cd＝1，m＝±2．
（2）当m＝2时，m+cd2+1+0＝3；
当m＝﹣2时，m+cd2+1+0＝﹣1．
【变式2-3】（2022•大邑县期末）已知a与2互为相反数，x与3互为倒数，则代数式a+2+|﹣6x|的值为（ ）
A．0B．﹣2C．2D．无法确定
【分析】依据相反数和倒数的定义可求得a、x的值，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：由a与2互为相反数，x与3互为倒数，可得a＝﹣2，x，
∴a+2+|﹣6x|
＝﹣2+2+|﹣6|
＝|﹣2|
＝2．
故选：C．
【题型3 有理数乘除法的简单混合运算】
【例3】（2022•鄂托克旗期末）下列计算正确的是（ ）
A．﹣3020×（）
B．（）÷（）＝﹣2
C．（）÷（）×（）
D．（）×（）＝0
【分析】根据有理数的乘法与除法运算对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、﹣3020×（）＝（﹣30+20），故本选项错误；
B、（）÷（）＝（）÷（）＝﹣2，故本选项正确；
C、（）÷（）×（）12，故本选项错误；
D、（）×（）＝﹣1×（），故本选项错误．
故选：B．
【变式3-1】（2022•东昌府区校级月考）（1）（）×（﹣3）÷（﹣1）÷3
（2）[（）﹣（）﹣（）]÷（）
【分析】（1）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（2）原式先计算括号中的运算，再计算除法运算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式＝（）×（﹣105）＝﹣15﹣35+21＝﹣29．
【变式3-2】（2022•安图县期末）计算：
（1）（﹣1）．
（2）﹣125×0.42÷（﹣7）
【分析】各式利用除法法则把除法转化成乘法运算，通过计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式．
（2）原式＝﹣125×0.42×（）
＝﹣125×（﹣0.06）
＝7.5．
【变式3-3】（2022•沙市区校级期中）计算：
（1）（）×（﹣3）÷（﹣1）÷3；
（2）（﹣8）（﹣1）÷（﹣9）．
【分析】各式利用除法法则把除法转化成乘法运算，通过约分即可得到结果．
【解答】解：（1）（）×（﹣3）÷（﹣1）÷3；
（2）（﹣8）（﹣1）÷（﹣9）＝﹣82．
【题型4 有理数乘除法运算律的运用】
【例4】（2022•诸城市期中）写出下列运算中每一步所依据的运算律或法则：
（﹣0.4）×（﹣0.8）×（﹣1.25）×2.5
＝﹣（0.4×0.8×1.25×2.5）（第一步）
＝﹣（0.4×2.5×0.8×1.25）（第二步）
＝﹣[（0.4×2.5）×（0.8×1.25）]（第三步）
＝﹣（1×1）＝﹣1．
第一步： ；第二步： ；第三步： ．
【分析】根据有理数的乘法，即可解答．
【解答】解：写出下列运算中每一步所依据的运算律或法则：
（﹣0.4）×（﹣0.8）×（﹣1.25）×2.5
＝﹣（0.4×0.8×1.25×2.5）（第一步）
＝﹣（0.4×2.5×0.8×1.25）（第二步）
＝﹣[（0.4×2.5）×（0.8×1.25）]（第三步）
＝﹣（1×1）＝﹣1．
第一步：确定积的符号，并把绝对值相乘；
第二步：乘法的交换律；
第三步：乘法的结合律．
故答案为：确定积的符号，并把绝对值相乘；乘法的交换律；乘法的结合律．
【变式4-1】（2022•平谷区期末）计算：（）×（﹣24）．
【分析】原式利用乘法分配律计算即可得到结果．
【解答】解：原式（﹣24）（﹣24）（﹣24）＝﹣12+18﹣3＝﹣15+18＝3．
【变式4-2】（2022•红谷滩区校级期中）用简便方法计算
（1）99（﹣9）
（2）（﹣5）×（﹣3）+（﹣7）×（﹣3）+12×（﹣3）
【分析】（1）将99变形为（100），然后依据乘法的分配律进行计算即可；
（2）逆用乘法的分配律计算即可．
【解答】解：（1）原式＝（100）×（﹣9）
＝﹣900
＝﹣899．
（2）原式＝（﹣5﹣7+12）×（﹣3）
＝0×（﹣3）
＝0．
【变式4-3】（2022•红河州校级期中）用简便方法计算：
（1）﹣130.34（﹣13）0.34
（2）（）×（﹣60）
【分析】（1）首先应用乘法交换律，把﹣130.34（﹣13）0.34化成﹣13130.34﹣0.34，然后应用乘法分配律，求出算式的值是多少即可．
（2）应用乘法分配律，求出算式（）×（﹣60）的值是多少即可．
【解答】解：（1）﹣130.34（﹣13）0.34
＝﹣13130.34﹣0.34
＝﹣13×（）﹣（）×0.34
＝﹣13×1﹣1×0.34
＝﹣13﹣0.34
＝﹣13.34
（2）（）×（﹣60）
＝（）×（﹣60）（﹣60）（﹣60）（﹣60）
＝20+15﹣12+28
＝51
【题型5 有理数乘除法的运算步骤问题】
【例5】（2022•利辛县月考）下面是小明同学的运算过程．
计算：﹣5÷2．
解：﹣5÷25÷（2）…第1步
＝﹣5÷1…第2步
＝﹣5…第3步
请问：（1）小明从第 1 步开始出现错误；
（2）请写出正确的解答过程．
【分析】（1）根据有理数除法的运算方法，以及有理数乘法的运算方法，可得：小明从第1步开始出现错误；
（2）首先计算除法，然后计算乘法，求出算式﹣5÷2的值是多少即可．
【解答】解：（1）小明从第1步开始出现错误；
（2）﹣5÷2
故答案为：1．
【变式5-1】（2022•海陵区期中）计算：（）×（）．
解：（）×（）
①
．②
（1）找错：第 ① 步出现错误；
（2）纠错：
【分析】（1）两数相乘，同号为正，（）与（）都是负数，它们的乘积是正数，所以第①步错误；
（2）根据有理数的乘法法则进行计算．
【解答】解：（1）因为第一步中两负数相乘的积是正数，而第①步多了一个负号，所以解法从第①步开始出现错误；
故答案为：①；
（2）正确的解法是：（）×（）．
【变式5-2】（2022•德州校级月考）阅读下面解题过程：
计算：5÷（22）÷6
解：5÷（22）×6
＝5÷（）×6…①
＝5÷（﹣25）…②
③
回答：
（1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第 ① 步，错因是 除以一个数相当于乘以这个数的倒数 ，第二处是 ② ，错因是 同级运算应从左到右的顺序依次进行计算 ．
（2）正确结果应是 ．
【分析】（1）根据除以一个数相当于乘以这个数的倒数和同级运算应从左到右的顺序依次进行计算，即可得出答案；
（2）根据有理数的乘除法则进行计算即可．
【解答】解：（1）第一处是第①步，错因是除以一个数相当于乘以这个数的倒数，第二处是②，错因是同级运算应从左到右的顺序依次进行计算；
故答案为：①，除以一个数相当于乘以这个数的倒数；②，同级运算应从左到右的顺序依次进行计算；
（2）5÷（22）÷6
＝5÷（）
＝5×（）
．
故答案为：．
【变式5-3】（2022秋•无为县月考）阅读下列材料：
计算：（）．
解法一：原式3412．
解法二：原式（）6．
解法三：原式的倒数＝（）（）×24242424＝4．
所以，原式．
（1）上述得到的结果不同，你认为解法 一 是错误的；
（2）请你选择合适的解法计算：（）÷（）．
【分析】（1）我认为解法一是错误的；
（2）选择解法三求出值即可．
【解答】解：（1）上述得到的结果不同，我认为解法一是错误的；
故答案为：一；
（2）原式的倒数为：（）÷（）＝（）×（﹣42）＝﹣7+9﹣28+12＝﹣35+21＝﹣14，
则原式．
【题型6 有理数乘除法与绝对值的综合】
【例6】（2022•余姚市校级期中）（1）三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值．
（2）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求的值；
（3）若a，b，c为三个不为0的有理数，且1，求的值．
【分析】（1）分两种情况解答：①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时即可得到答案；
（2）分两种情况解答：①当a，b，c都是负数；②当a，b，c中有一个为负数，另两个为正数时即可得到答案；
（3）根据已知可得a、b、c为两个负数，一个正数，由此可得答案．
【解答】解：（1）∵abc＞0，
∴a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则1+1+1＝3；
②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，
则1﹣1﹣1＝﹣1．
综上所述，的值为3或﹣1．
（2）∵abc＜0，
∴a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数．
①当a，b，c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时，则1﹣1﹣1＝﹣3；
②当a，b，c中有一个为负数，另两个为正数时，不妨设a＜0，b＞0，c＞0，
则1+1+1＝1．
综上所述，的值为﹣3或1，
故答案为：﹣3或1；
（3）∵1，
∴a、b、c为两个负数，一个正数，
不妨设a＜0，b＜0，c＞0，
∴1．
【变式6-1】（2022•雁峰区校级期末）已知非零有理数a，b，c满足ab＞0，bc＞0．
（1）求的值；
（2）若a+b+c＜0，求的值．
【分析】（1）根据ab＞0，bc＞0可得a＞0，b＞0，c＞0或a＜0，b＜0，c＜0，所以ac＞0，化简即可；
（2）若a+b+c＜0，则a＜0，b＜0，c＜0，abc＜0，根据绝对值的性质化简即可．
【解答】解：（1）∵ab＞0，bc＞0，
∴a＞0，b＞0，c＞0或a＜0，b＜0，c＜0，
∴ac＞0，
∴1+1+1＝3；
（2）∵a+b+c＜0，
∴a＜0，b＜0，c＜0，abc＜0，
∴1﹣1﹣1﹣1＝﹣4．
【变式6-2】（2022•河西区期中）已知|x|＝3，|y|＝7
（1）若x＜y，求x﹣y的值；
（2）若xy＞0，求x+y的值；
（3）求x2y﹣xy2+21的值．
【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义求出x与y的值，即可求出所求．
【解答】解：∵|x|＝3，|y|＝7，
∴x＝±3，y＝±7，
（1）当x＜y时，x＝3，y＝7或x＝﹣3，y＝7，
此时x﹣y＝﹣4或﹣10；
（2）∵xy＞0，∴x与y同号，即x＝3，y＝7或x＝﹣3，y＝﹣7，
此时x+y＝10或﹣10；
（3）由x＝±3，y＝±7，
当x＝3，y＝7时，原式＝﹣84+21＝﹣63；
当x＝3，y＝﹣7时，原式＝84+21＝105；
当x＝﹣3，y＝7时，原式＝210+21＝231；
当x＝﹣3，y＝﹣7时，原式＝105．
【变式6-3】（2022•雨花区月考）若a+b+c＜0，abc＞0，则2•3•4•的最大值为（ ）
A．6B．8C．10D．7
【分析】根据a+b+c＜0，abc＞0，得出a，b，c三个数中有两个负数一个正数，分情况求值即可．
【解答】解：∵a+b+c＜0，abc＞0，
∴分以下几种情况：
①a＞0，b＞0，c＜0时，
2•3•4•1﹣2+3+4＝6，
②a＞0，c＞0，b＜0时，
2•3•4•1﹣2﹣3+4＝﹣2，
③a＜0，b＞0，c＞0时，
2•3•4•1+2+3+4＝8，
∴最大值为8，
故选：B．
【题型7 有理数乘除法中的规律计算】
【例7】（2022•上蔡县期中）考察下列每一道算式，回答问题：
算式：63×67＝4221 72×78＝5616
561×569＝3192009 1814×1816＝3294224
（1）两个因数个位上的数字之和是多少？其余各位上的数字有何特征？
（2）根据四个式子的计算，请你猜想符合上述特征的两个数相乘的运算规律．
（3）再举两道符合上述特征的计算题，并用你猜想的规律进行计算．
【分析】（1）根据算式分析规律解答即可；
（2）列出方程解答即可；
（3）举例解答即可．
【解答】解：（1）两个因数个位上的数字之和＝10，其余各位上的数字相同，
（2）设其余各位相同的数是x，积＝x（x+1）×100+×个位上的数的积；
（3）73×77＝5621，53×57＝3021．
【变式7-1】已知3，10，15，…观察以上规律计算 56 ，45，则a＝ 2或8 ．
【分析】根据题目中的例子可以求得所求式子的值，本题得以解决．
【解答】解：56，
45，
解得，a＝2或a＝8，
故答案为：56，2或8．
【变式7-2】（2022•夏邑县期中）有一列数a1，a2，a3，…an，若a1，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的差的倒数．
（1）试计算a2，a3，a4；
（2）根据以上计算结果，试猜测a2016、a2017的值．
【分析】（1）根据题意代入数据进行计算即可；
（2）观察它是否具有周期性，进而可得答案．
【解答】解：（1）∵a1，
∴a22，
∴a31，
∴a4；
（2）由（1）得：
∵2016÷3＝672，
∴a2016＝﹣1，
a2017．
【变式7-3】（2022•厦门期末）已知一些两位数相乘的算式：
62×11，78×69，34×11，63×67，18×22，15×55，12×34，54×11
利用这些算式探究两位数乘法中可以简化运算的特殊情形：
（1）观察已知算式，选出具有共同特征的3个算式，并用文字描述它们的共同特征；
（2）分别计算你选出的算式．观察计算的结果，你能发现不经过乘法运算就可以快速、直接地写出积的规律吗？请用文字描述这个规律；
（3）证明你发现的规律；
（4）在已知算式中，找出所有可以应用（或经过转化可以应用）上述规律的算式，并将它们写在横线上： 18×22，15×55 ．
【分析】（1）确定因数为11的算式；
（2）计算并发现规律；
（3）根据两位数的乘法进行计算，并变形；
（4）根据发现的规律找算式即可．
【解答】解：（1）62×11，34×11，54×11．
这3个算式共同特征是：一个两位数与11相乘；
（2）62×11＝682，34×11＝374，54×11＝594，
规律：两位数乘法中，如果有一个因数为11，得数的百位上的数是两个因数最高位上的积，十位上的数是第一个因数各个位数的和（满10进1），个位上的数是两个因数个位上数的积；
如54×11＝594，
（3）证明：设一个两位数为，另一个数为11，
则它们的积为：11＝11（10a+b）＝110a+11b＝100a+10a+10b+b＝100a+10（a+b）+b；
（4）18×22＝36×11＝396，15×55＝75×11＝7×100+（7+5）×10+5＝825，
所以这些算式也可以利用此规律：18×22，15×55．
故答案为：18×22，15×55．
【题型8 有理数乘除法的实际应用】
【例8】（2022•江宁区校级月考）天龙顶国家山地公园，位于岑溪市南渡镇吉太附近，距岑溪市35公里，天龙顶是桂东最高峰，史上早已成名，被誉为“土主龙楼”天龙顶形成于远古冰川，由整块红色砂岩劈凿而成，拔地而起，是极限攀岩、野外露营及登山爱好者的天堂．某年寒假，小昌与小勇一起去游天龙顶，他们想知道山的高度．小昌说可以利用温度计测量山峰的高度，小昌在山顶测得温度约是﹣1℃，小勇此时在山脚测得温度约是8.6℃，已知该地区每年增加100米，气温大约下降0.8℃，小昌很快算出了答案，你知道天龙顶的高度约是多少米吗？
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：[8.6﹣（﹣1）]÷0.8×100＝1200（米），
则天龙顶的高度约是1200米．
【变式8-1】（2021秋•北京期中）
妈妈身高多少厘米？
【分析】根据一家三人的对话列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：180160（厘米），
则妈妈的身高为160厘米．
【变式8-2】（2022•常州期中）某原料仓库一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）：
（1）这天仓库的原料比原来增加或减少了多少吨？
（2）根据实际情况，现有两种方案：
方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元；
方案二：不管运进还是运出费用都是每吨原料6元；
从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案较合适？请说明理由．
【分析】（1）将进出数量×进出次数，再把它们相加即可求解；
（2）分别求出两种方案的钱数，再相加即可求解．
【解答】解：（1）﹣3×2+4×1﹣1×3+2×3﹣5×2
＝﹣6+4﹣3+6﹣10
＝﹣9．
答：仓库的原料比原来减少9吨．
（2）方案一：（4+6）×5+（6+3+10）×8
＝50+152
＝202（元）．
方案二：（6+4+3+6+10）×6
＝29×6
＝174（元）
因为174＜202，
所以选方案二运费少．
【变式8-3】（2022•台湾）碳足迹标签是一种碳排放量的标示方式，让大众了解某一产品或服务所产生的碳排放量多寡，如图所示．
碳足迹标签的数据标示有其规定，以碳排放量大于20公克且不超过40公克为例，此范围内的碳足迹数据标示只有20、22、24、…、38、40公克等11个偶数；碳足迹数据标示决定于碳排放量与这11个偶数之中的哪一个差距最小，两者对应标示的范例如下表所示．
请根据上述资讯，回答下列问题，并详细解释或完整写出你的解题过程．
（1）若有一个产品的碳足迹数据标示为38公克，则它可能的碳排放量之最小值与最大值分别为多少公克？
（2）承（1），当此产品的碳排放量减少为原本的90%时，请求出此产品碳足迹数据标示的所有可能情形．
【分析】（1）由碳排放量20.2公克，碳足迹数据标示20公克，碳排放量21.0公克，碳足迹数据标示，20公克或22公克皆可，可得碳足迹数据标示为38公克，碳排放量之最小值与最大值分别为37.0和39.0公克．
（2）由（1）的最大值和最小值乘以90%就求出此产品碳足迹数据标示的所有可能情形．
【解答】解：（1）碳排放量之最小值与最大值分别为37.0和39.0公克．
（2）∵此产品的碳排放量减少为原本的90%，
∴37.0×90%＝33.3（公克），39.0×90%＝35.1（公克），
∴此产品碳足迹数据标示为：34公克或36公克．
【题型9 有理数乘除法中的新定义问题】
【例9】（2022•大安市期末）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24．
（1）求3*（﹣4）的值；
（2）求（﹣2）*（6*3）的值．
【分析】分别根据运算“*”的运算方法列式，然后进行计算即可得解．
【解答】解：（1）3*（﹣4），
＝4×3×（﹣4），
＝﹣48；
（2）（﹣2）*（6*3），
＝（﹣2）*（4×6×3），
＝（﹣2）*（72），
＝4×（﹣2）×（72），
＝﹣576．
【变式9-1】（2022•九龙坡区校级模拟）定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的n倍（n为正整数），我们就说这个自然数是一个“n喜数”．例如：24就是一个“4喜数”，因为24＝4×（2+4）；25就不是一个“n喜数”，因为25≠n（2+5）．
（1）判断44和72是否是“n喜数”？请说明理由；
（2）请求出所有的“7喜数”之和．
【分析】（1）根据“n喜数”的意义，判断即可得出结论；
（2）先设出“7喜数”的个位数字a和十位数字b，进而得出b＝2a，即可得出数值，然后求和即可．
【解答】解：（1）44不是一个“n喜数”，因为44≠n（4+4），
72是一个“8喜数”，因为72＝8×（2+7），
（2）设存在“7喜数”，设其个位数字为a，十位数字为b，（a，b为1到9的自然数），
由定义可知：10b+a＝7（a+b），
化简得：b＝2a，
因为a，b为1到9的自然数，
∴a＝1，b＝2；a＝2，b＝4；a＝3，b＝6；a＝4，b＝8．四种情况，
∴“7喜数”有4个：21、42、63、84，
∴它们的和＝21+42+63+84＝210．
【变式9-2】（2022•丰台区期末）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．
例如：如图1，计算46×71，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果计入相应的方格中，最后沿斜线方向相加得3266．
（1）如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则x＝ 3 ，y＝ 2 ；
（2）如图3，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，则m＝ 1 ，n＝ 2 ；
（3）如图4，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则k＝ 6 ．
【分析】（1）由21＝7x，10+y＝3×4，即可求x、y的值；
（2）由题意可得，m+n+8＝11，ad＝10n+4，bc＝10m+2，再推理出m、n的值即可；
（3）根据运算法则，将表格补充，当千位是0时，10（6﹣k﹣k）+k﹣4＝7k；当千位是1时，10（16﹣k﹣k）+k﹣4＝7k；即可求k的值．
【解答】解：（1）∵63＝9×7，21＝7x，
∴x＝3，
∵10+y＝3×4，
∴y＝2，
故答案为：3，2；
（2）由题意可得，m+n+8＝11，
∴m+n＝3，
∵ad＝10n+4，
∴n＝0或n＝1或n＝2或n＝3，
∵bc＝10m+2，
∴m＝3或m＝1或m＝0，
∵ac＝18＝2×9＝3×6，
∴m＝1，
∴n＝2，
故答案为：1，2；
（3）如图4，
当千位是0时，10（6﹣k﹣k）+k﹣4＝7k，
解得：k；
当千位是1时，10（16﹣k﹣k）+k﹣4＝7k，
k＝6；
∵k是整数，
∴k＝6，
故答案为：6．
【变式9-3】（2022•靖江市期中）小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把5÷5÷5记作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4，﹣2）．
（1）直接写出计算结果，f（4，）＝ 4 ，f（5，3）＝ ；
（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ② ．（填序号）
①f（6，3）＝f（3，6）；
②f（2，a）＝1（a≠0）；
③对于任何正整数n，都有f（n，﹣1）＝1；
④对于任何正整数n，都有f（2n，a）＜0（a＜0）．
（3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a，n的式子表示）
（4）请利用（3）问的推导公式计算：f（5，3）×f（4，）×f（5，﹣2）×f（6，）．
【分析】（1）根据题意计算即可；
（2）①分别计算f（6，3）和f（3，6）的结果进行比较即可；
②根据题意计算即可判断；
③分为n为偶数和奇数两种情况分别计算即可判断；
④2n为偶数，偶数个a相除，结果应为正；
（3）推导f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），按照题目中的做法推到即可；
（4）按照上题的推导式可以将算式中的每一部分表示出来再计算．
【解答】解：（1）f（4，）4，
f（5，3）＝3÷3÷3÷3÷3；
故答案为：4； ．
（2）①f（6，3）＝3÷3÷3÷3÷3÷3，f（3，6）＝6÷6÷6，
∴f（6，3）≠f（3，6），故错误；
②f（2，a）＝a÷a＝1（a≠0），故正确；
③对于任何正整数n，当n为奇数时，f（n，﹣1）＝﹣1；当n为偶数时，f（n，﹣1）＝1．故错误；
④对于任何正整数n，2n为偶数，所以都有f（2n，a）＞0，而不是f（2n，a）＜0（a＜0），故错误；
故答案为：②．
（3）公式f（n，a）＝a÷a÷a÷a÷…÷a÷a＝1÷（an﹣2）＝（）n﹣2（n为正整数，a≠0，n≥2）．
（4）f（5，3）×f（4，）×f（5，﹣2）×f（6，）
9×（）×16
．进出数量（单位：吨）
﹣3
4
﹣1
2
﹣5
进出次数
2
1
3
3
2
碳排放量
碳足迹数据标示
20.2公克
20公克
20.8公克
20公克
21.0公克
20公克或22公克皆可
23.1公克
24公克
进出数量（单位：吨）
﹣3
4
﹣1
2
﹣5
进出次数
2
1
3
3
2
碳排放量
碳足迹数据标示
20.2公克
20公克
20.8公克
20公克
21.0公克
20公克或22公克皆可
23.1公克
24公克
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc29191" 【题型1 有理数乘除法则概念辨析】 PAGEREF _Tc29191 \h 1
\l "_Tc28194" 【题型2 倒数的概念及运用】 PAGEREF _Tc28194 \h 2
\l "_Tc29153" 【题型3 有理数乘除法的简单混合运算】 PAGEREF _Tc29153 \h 3
\l "_Tc16672" 【题型4 有理数乘除法运算律的运用】 PAGEREF _Tc16672 \h 4
\l "_Tc15325" 【题型5 有理数乘除法的运算步骤问题】 PAGEREF _Tc15325 \h 5
\l "_Tc27244" 【题型6 有理数乘除法与绝对值的综合】 PAGEREF _Tc27244 \h 7
\l "_Tc14810" 【题型7 有理数乘除法中的规律计算】 PAGEREF _Tc14810 \h 9
\l "_Tc21487" 【题型8 有理数乘除法的实际应用】 PAGEREF _Tc21487 \h 10
\l "_Tc24448" 【题型9 有理数乘除法中的新定义问题】 PAGEREF _Tc24448 \h 13
【知识点1 有理数乘法的法则】
①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
②任何数同零相乘，都得0．
③多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个
时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
【知识点2 有理数除法的法则】
①有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
【题型1 有理数乘除法则概念辨析】
【例1】（2022•金堂县月考）下列说法正确的是（ ）
A．5个有理数相乘，当负因数为3个时，积为负
B．﹣1乘以任何有理数等于这个数的相反数
C．3个有理数的积为负数，则这3个有理数都为负数
D．绝对值大于1的两个数相乘，积比这两个数都大
【变式1-1】（2022春•埇桥区校级期中）在下列各题中，结论正确的是（ ）
A．若a＞0，b＜0，则0B．若a＞b，则a﹣b＞0
C．若 a＜0，b＜0，则ab＜0D．若a＞b，a＜0，则0
【变式1-2】（2022•广东一模）已知a+b＞0且a（b﹣1）＜0，则下列说法一定错误的是（ ）
A．a＞0，b＞1B．a＜﹣1，b＞1C．﹣1≤a＜0，b＞1D．a＜0，b＞0
【变式1-3】（2022•武昌区校级期中）下列说法：①若a、b互为相反数，则1；②若b＜0＜a，且|a|＜|b|，则|a+b|＝﹣|a|+|b|；③几个有理数相乘，如果负因数的个数为奇数个，则积为负；④当x＝1时，|x﹣4|+|x+2|有最小值为5；⑤若，则；其中错误的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【知识点3 倒数的概念】
乘积是1的两个数互为倒数．
①“互为倒数”的两个数是互相依存的；
②0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；
③倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
④互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．
【题型2 倒数的概念及运用】
【例2】（2022秋•温江区月考）若3a﹣12没有倒数，则a＝ ；已知m﹣11的倒数为，则m+1的相反数是 ．
【变式2-1】（2022•杨浦区校级期中）如果a+3的相反数是﹣5，那么a的倒数是 ．
【变式2-2】（2022秋•贵港期末）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2．
（1）直接写出a+b，cd，m的值；
（2）求m+cd的值．
【变式2-3】（2022•大邑县期末）已知a与2互为相反数，x与3互为倒数，则代数式a+2+|﹣6x|的值为（ ）
A．0B．﹣2C．2D．无法确定
【题型3 有理数乘除法的简单混合运算】
【例3】（2022•鄂托克旗期末）下列计算正确的是（ ）
A．﹣3020×（）
B．（）÷（）＝﹣2
C．（）÷（）×（）
D．（）×（）＝0
【变式3-1】（2022•东昌府区校级月考）（1）（）×（﹣3）÷（﹣1）÷3
（2）[（）﹣（）﹣（）]÷（）
【变式3-2】（2022•安图县期末）计算：
（1）（﹣1）．
（2）﹣125×0.42÷（﹣7）
【变式3-3】（2022•沙市区校级期中）计算：
（1）（）×（﹣3）÷（﹣1）÷3；
（2）（﹣8）（﹣1）÷（﹣9）．
【题型4 有理数乘除法运算律的运用】
【例4】（2022•诸城市期中）写出下列运算中每一步所依据的运算律或法则：
（﹣0.4）×（﹣0.8）×（﹣1.25）×2.5
＝﹣（0.4×0.8×1.25×2.5）（第一步）
＝﹣（0.4×2.5×0.8×1.25）（第二步）
＝﹣[（0.4×2.5）×（0.8×1.25）]（第三步）
＝﹣（1×1）＝﹣1．
第一步： ；第二步： ；第三步： ．
【变式4-1】（2022•平谷区期末）计算：（）×（﹣24）．
【变式4-2】（2022•红谷滩区校级期中）用简便方法计算
（1）99（﹣9）
（2）（﹣5）×（﹣3）+（﹣7）×（﹣3）+12×（﹣3）
【变式4-3】（2022•红河州校级期中）用简便方法计算：
（1）﹣130.34（﹣13）0.34
（2）（）×（﹣60）
【题型5 有理数乘除法的运算步骤问题】
【例5】（2022•利辛县月考）下面是小明同学的运算过程．
计算：﹣5÷2．
解：﹣5÷25÷（2）…第1步
＝﹣5÷1…第2步
＝﹣5…第3步
请问：（1）小明从第 步开始出现错误；
（2）请写出正确的解答过程．
【变式5-1】（2022•海陵区期中）计算：（）×（）．
解：（）×（）
①
．②
（1）找错：第 步出现错误；
（2）纠错：
【变式5-2】（2022•德州校级月考）阅读下面解题过程：
计算：5÷（22）÷6
解：5÷（22）×6
＝5÷（）×6…①
＝5÷（﹣25）…②
③
回答：
（1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第 步，错因是 ，第二处是 ，错因是 ．
（2）正确结果应是 ．
【变式5-3】（2022秋•无为县月考）阅读下列材料：
计算：（）．
解法一：原式3412．
解法二：原式（）6．
解法三：原式的倒数＝（）（）×24242424＝4．
所以，原式．
（1）上述得到的结果不同，你认为解法 是错误的；
（2）请你选择合适的解法计算：（）÷（）．
【题型6 有理数乘除法与绝对值的综合】
【例6】（2022•余姚市校级期中）（1）三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值．
（2）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求的值；
（3）若a，b，c为三个不为0的有理数，且1，求的值．
【变式6-1】（2022•雁峰区校级期末）已知非零有理数a，b，c满足ab＞0，bc＞0．
（1）求的值；
（2）若a+b+c＜0，求的值．
【变式6-2】（2022•河西区期中）已知|x|＝3，|y|＝7
（1）若x＜y，求x﹣y的值；
（2）若xy＞0，求x+y的值；
（3）求x2y﹣xy2+21的值．
【变式6-3】（2022•雨花区月考）若a+b+c＜0，abc＞0，则2•3•4•的最大值为（ ）
A．6B．8C．10D．7
【题型7 有理数乘除法中的规律计算】
【例7】（2022•上蔡县期中）考察下列每一道算式，回答问题：
算式：63×67＝4221 72×78＝5616
561×569＝3192009 1814×1816＝3294224
（1）两个因数个位上的数字之和是多少？其余各位上的数字有何特征？
（2）根据四个式子的计算，请你猜想符合上述特征的两个数相乘的运算规律．
（3）再举两道符合上述特征的计算题，并用你猜想的规律进行计算．
【变式7-1】已知3，10，15，…观察以上规律计算 ，45，则a＝ ．
【变式7-2】（2022•夏邑县期中）有一列数a1，a2，a3，…an，若a1，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的差的倒数．
（1）试计算a2，a3，a4；
（2）根据以上计算结果，试猜测a2016、a2017的值．
【变式7-3】（2022•厦门期末）已知一些两位数相乘的算式：
62×11，78×69，34×11，63×67，18×22，15×55，12×34，54×11
利用这些算式探究两位数乘法中可以简化运算的特殊情形：
（1）观察已知算式，选出具有共同特征的3个算式，并用文字描述它们的共同特征；
（2）分别计算你选出的算式．观察计算的结果，你能发现不经过乘法运算就可以快速、直接地写出积的规律吗？请用文字描述这个规律；
（3）证明你发现的规律；
（4）在已知算式中，找出所有可以应用（或经过转化可以应用）上述规律的算式，并将它们写在横线上： ．
【题型8 有理数乘除法的实际应用】
【例8】（2022•江宁区校级月考）天龙顶国家山地公园，位于岑溪市南渡镇吉太附近，距岑溪市35公里，天龙顶是桂东最高峰，史上早已成名，被誉为“土主龙楼”天龙顶形成于远古冰川，由整块红色砂岩劈凿而成，拔地而起，是极限攀岩、野外露营及登山爱好者的天堂．某年寒假，小昌与小勇一起去游天龙顶，他们想知道山的高度．小昌说可以利用温度计测量山峰的高度，小昌在山顶测得温度约是﹣1℃，小勇此时在山脚测得温度约是8.6℃，已知该地区每年增加100米，气温大约下降0.8℃，小昌很快算出了答案，你知道天龙顶的高度约是多少米吗？
【变式8-1】（2021秋•北京期中）
妈妈身高多少厘米？
【变式8-2】（2022•常州期中）某原料仓库一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）：
（1）这天仓库的原料比原来增加或减少了多少吨？
（2）根据实际情况，现有两种方案：
方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元；
方案二：不管运进还是运出费用都是每吨原料6元；
从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案较合适？请说明理由．
【变式8-3】（2022•台湾）碳足迹标签是一种碳排放量的标示方式，让大众了解某一产品或服务所产生的碳排放量多寡，如图所示．
碳足迹标签的数据标示有其规定，以碳排放量大于20公克且不超过40公克为例，此范围内的碳足迹数据标示只有20、22、24、…、38、40公克等11个偶数；碳足迹数据标示决定于碳排放量与这11个偶数之中的哪一个差距最小，两者对应标示的范例如下表所示．
请根据上述资讯，回答下列问题，并详细解释或完整写出你的解题过程．
（1）若有一个产品的碳足迹数据标示为38公克，则它可能的碳排放量之最小值与最大值分别为多少公克？
（2）承（1），当此产品的碳排放量减少为原本的90%时，请求出此产品碳足迹数据标示的所有可能情形．
【题型9 有理数乘除法中的新定义问题】
【例9】（2022•大安市期末）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24．
（1）求3*（﹣4）的值；
（2）求（﹣2）*（6*3）的值．
【变式9-1】（2022•九龙坡区校级模拟）定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的n倍（n为正整数），我们就说这个自然数是一个“n喜数”．例如：24就是一个“4喜数”，因为24＝4×（2+4）；25就不是一个“n喜数”，因为25≠n（2+5）．
（1）判断44和72是否是“n喜数”？请说明理由；
（2）请求出所有的“7喜数”之和．
【变式9-2】（2022•丰台区期末）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．
例如：如图1，计算46×71，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果计入相应的方格中，最后沿斜线方向相加得3266．
（1）如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则x＝ ，y＝ ；
（2）如图3，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，则m＝ ，n＝ ；
（3）如图4，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则k＝ ．
【变式9-3】（2022•靖江市期中）小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把5÷5÷5记作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4，﹣2）．
（1）直接写出计算结果，f（4，）＝ ，f（5，3）＝ ；
（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号）
①f（6，3）＝f（3，6）；
②f（2，a）＝1（a≠0）；
③对于任何正整数n，都有f（n，﹣1）＝1；
④对于任何正整数n，都有f（2n，a）＜0（a＜0）．
（3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a，n的式子表示）
（4）请利用（3）问的推导公式计算：f（5，3）×f（4，）×f（5，﹣2）×f（6，）．
专题1.4 有理数的乘除【九大题型】
【沪科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc25910" 【题型1 有理数乘除法则概念辨析】 PAGEREF _Tc25910 \h 1
\l "_Tc24021" 【题型2 倒数的概念及运用】 PAGEREF _Tc24021 \h 3
\l "_Tc28915" 【题型3 有理数乘除法的简单混合运算】 PAGEREF _Tc28915 \h 4
\l "_Tc7067" 【题型4 有理数乘除法运算律的运用】 PAGEREF _Tc7067 \h 6
\l "_Tc7885" 【题型5 有理数乘除法的运算步骤问题】 PAGEREF _Tc7885 \h 8
\l "_Tc15911" 【题型6 有理数乘除法与绝对值的综合】 PAGEREF _Tc15911 \h 10
\l "_Tc3571" 【题型7 有理数乘除法中的规律计算】 PAGEREF _Tc3571 \h 13
\l "_Tc23286" 【题型8 有理数乘除法的实际应用】 PAGEREF _Tc23286 \h 15
\l "_Tc11498" 【题型9 有理数乘除法中的新定义问题】 PAGEREF _Tc11498 \h 17
【知识点1 有理数乘法的法则】
①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
②任何数同零相乘，都得0．
③多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个
时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
【知识点2 有理数除法的法则】
①有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
【题型1 有理数乘除法则概念辨析】
【例1】（2022•金堂县月考）下列说法正确的是（ ）
A．5个有理数相乘，当负因数为3个时，积为负
B．﹣1乘以任何有理数等于这个数的相反数
C．3个有理数的积为负数，则这3个有理数都为负数
D．绝对值大于1的两个数相乘，积比这两个数都大
【分析】根据有理数的乘法法则逐一判断即可．
【解答】解：A、若五个有理数中只要出现一个0，不管有几个负因数，结果都为0．故本选项错误；
B、﹣1乘以任何有理数等于这个数的相反数，故本选项正确；
C、3个有理数的积为负数，则这3个有理，都为负数，也可能有一个负数，故本选项错误；
D、绝对值大于1的两个数相乘，积不一定比这两个数都大，如﹣3和2，它们的积比这两个数小，故本选项错误；
故选：B．
【变式1-1】（2022春•埇桥区校级期中）在下列各题中，结论正确的是（ ）
A．若a＞0，b＜0，则0B．若a＞b，则a﹣b＞0
C．若 a＜0，b＜0，则ab＜0D．若a＞b，a＜0，则0
【分析】根据两数的符号或大小判断相应等式是否成立即可．
【解答】解：A、两数相除，异号得负，故选项错误；
B、大数减小数，一定大于0，故选项正确；
C、两数相乘，同号得正，故选项错误；
D、若a＞b，a＜0，则0，故选项错误．
故选：B．
【变式1-2】（2022•广东一模）已知a+b＞0且a（b﹣1）＜0，则下列说法一定错误的是（ ）
A．a＞0，b＞1B．a＜﹣1，b＞1C．﹣1≤a＜0，b＞1D．a＜0，b＞0
【分析】根据有理数的乘法，异号两数相乘得负，可得答案．
【解答】解：a＞0，b＞1，
a（b﹣1）＞0，
故A错误；
故选：A．
【变式1-3】（2022•武昌区校级期中）下列说法：①若a、b互为相反数，则1；②若b＜0＜a，且|a|＜|b|，则|a+b|＝﹣|a|+|b|；③几个有理数相乘，如果负因数的个数为奇数个，则积为负；④当x＝1时，|x﹣4|+|x+2|有最小值为5；⑤若，则；其中错误的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】根据相反数、绝对值、有理数的乘法、等式的基本性质、有理数的乘方解决此题．
【解答】解：①根据相反数的定义，当b＝0时，此时不成立，故①错误，那么①符合题意．
②根据绝对值的定义，由b＜0＜a，且|a|＜|b|，则|a+b|＝|b|﹣|a|＝﹣|a|+|b|，故②正确，那么②不符合题意．
③几个不为0的有理数相乘，如果负因数的个数为奇数个，则积为负，故③错误，那么③符合题意．
④当x＝1时，|x﹣4|+|x+2|有最小值6，故④错误，那么④符合题意．
⑤由，得（a≠0，c≠0，b≠0，d≠0），故⑤不正确，那么⑤符合题意．
综上：错误的有①③④⑤，共4个．
故选：B．
【知识点3 倒数的概念】
乘积是1的两个数互为倒数．
①“互为倒数”的两个数是互相依存的；
②0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；
③倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
④互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．
【题型2 倒数的概念及运用】
【例2】（2022秋•温江区月考）若3a﹣12没有倒数，则a＝ 4 ；已知m﹣11的倒数为，则m+1的相反数是 ﹣5 ．
【分析】根据0没有倒数，倒数的定义以及相反数的定义作答．
【解答】解：当3a﹣12＝0即a＝4时，3a﹣12没有倒数；
由m﹣11的倒数为得到：m﹣11＝﹣7，则m＝4，
所以﹣（m+1）＝﹣（4+1）＝﹣5，即m+1的相反数是﹣5．
故答案是：4；﹣5．
【变式2-1】（2022•杨浦区校级期中）如果a+3的相反数是﹣5，那么a的倒数是 ．
【分析】先根据只有符号不同的两个数互为相反数求出a，再根据乘积是1的两个数互为倒数解答．
【解答】解：∵a+3的相反数是﹣5，
∴a+3＝5，
∴a，
∵（）×（）＝1，
∴a的倒数是．
故答案为：．
【变式2-2】（2022秋•贵港期末）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2．
（1）直接写出a+b，cd，m的值；
（2）求m+cd的值．
【分析】（1）根据互为相反数的和为0，互为倒数的积为1，绝对值的意义，即可解答；
（2）分两种情况讨论，即可解答．
【解答】解：（1）∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，
∴a+b＝0，cd＝1，m＝±2．
（2）当m＝2时，m+cd2+1+0＝3；
当m＝﹣2时，m+cd2+1+0＝﹣1．
【变式2-3】（2022•大邑县期末）已知a与2互为相反数，x与3互为倒数，则代数式a+2+|﹣6x|的值为（ ）
A．0B．﹣2C．2D．无法确定
【分析】依据相反数和倒数的定义可求得a、x的值，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：由a与2互为相反数，x与3互为倒数，可得a＝﹣2，x，
∴a+2+|﹣6x|
＝﹣2+2+|﹣6|
＝|﹣2|
＝2．
故选：C．
【题型3 有理数乘除法的简单混合运算】
【例3】（2022•鄂托克旗期末）下列计算正确的是（ ）
A．﹣3020×（）
B．（）÷（）＝﹣2
C．（）÷（）×（）
D．（）×（）＝0
【分析】根据有理数的乘法与除法运算对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、﹣3020×（）＝（﹣30+20），故本选项错误；
B、（）÷（）＝（）÷（）＝﹣2，故本选项正确；
C、（）÷（）×（）12，故本选项错误；
D、（）×（）＝﹣1×（），故本选项错误．
故选：B．
【变式3-1】（2022•东昌府区校级月考）（1）（）×（﹣3）÷（﹣1）÷3
（2）[（）﹣（）﹣（）]÷（）
【分析】（1）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（2）原式先计算括号中的运算，再计算除法运算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式＝（）×（﹣105）＝﹣15﹣35+21＝﹣29．
【变式3-2】（2022•安图县期末）计算：
（1）（﹣1）．
（2）﹣125×0.42÷（﹣7）
【分析】各式利用除法法则把除法转化成乘法运算，通过计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式．
（2）原式＝﹣125×0.42×（）
＝﹣125×（﹣0.06）
＝7.5．
【变式3-3】（2022•沙市区校级期中）计算：
（1）（）×（﹣3）÷（﹣1）÷3；
（2）（﹣8）（﹣1）÷（﹣9）．
【分析】各式利用除法法则把除法转化成乘法运算，通过约分即可得到结果．
【解答】解：（1）（）×（﹣3）÷（﹣1）÷3；
（2）（﹣8）（﹣1）÷（﹣9）＝﹣82．
【题型4 有理数乘除法运算律的运用】
【例4】（2022•诸城市期中）写出下列运算中每一步所依据的运算律或法则：
（﹣0.4）×（﹣0.8）×（﹣1.25）×2.5
＝﹣（0.4×0.8×1.25×2.5）（第一步）
＝﹣（0.4×2.5×0.8×1.25）（第二步）
＝﹣[（0.4×2.5）×（0.8×1.25）]（第三步）
＝﹣（1×1）＝﹣1．
第一步： ；第二步： ；第三步： ．
【分析】根据有理数的乘法，即可解答．
【解答】解：写出下列运算中每一步所依据的运算律或法则：
（﹣0.4）×（﹣0.8）×（﹣1.25）×2.5
＝﹣（0.4×0.8×1.25×2.5）（第一步）
＝﹣（0.4×2.5×0.8×1.25）（第二步）
＝﹣[（0.4×2.5）×（0.8×1.25）]（第三步）
＝﹣（1×1）＝﹣1．
第一步：确定积的符号，并把绝对值相乘；
第二步：乘法的交换律；
第三步：乘法的结合律．
故答案为：确定积的符号，并把绝对值相乘；乘法的交换律；乘法的结合律．
【变式4-1】（2022•平谷区期末）计算：（）×（﹣24）．
【分析】原式利用乘法分配律计算即可得到结果．
【解答】解：原式（﹣24）（﹣24）（﹣24）＝﹣12+18﹣3＝﹣15+18＝3．
【变式4-2】（2022•红谷滩区校级期中）用简便方法计算
（1）99（﹣9）
（2）（﹣5）×（﹣3）+（﹣7）×（﹣3）+12×（﹣3）
【分析】（1）将99变形为（100），然后依据乘法的分配律进行计算即可；
（2）逆用乘法的分配律计算即可．
【解答】解：（1）原式＝（100）×（﹣9）
＝﹣900
＝﹣899．
（2）原式＝（﹣5﹣7+12）×（﹣3）
＝0×（﹣3）
＝0．
【变式4-3】（2022•红河州校级期中）用简便方法计算：
（1）﹣130.34（﹣13）0.34
（2）（）×（﹣60）
【分析】（1）首先应用乘法交换律，把﹣130.34（﹣13）0.34化成﹣13130.34﹣0.34，然后应用乘法分配律，求出算式的值是多少即可．
（2）应用乘法分配律，求出算式（）×（﹣60）的值是多少即可．
【解答】解：（1）﹣130.34（﹣13）0.34
＝﹣13130.34﹣0.34
＝﹣13×（）﹣（）×0.34
＝﹣13×1﹣1×0.34
＝﹣13﹣0.34
＝﹣13.34
（2）（）×（﹣60）
＝（）×（﹣60）（﹣60）（﹣60）（﹣60）
＝20+15﹣12+28
＝51
【题型5 有理数乘除法的运算步骤问题】
【例5】（2022•利辛县月考）下面是小明同学的运算过程．
计算：﹣5÷2．
解：﹣5÷25÷（2）…第1步
＝﹣5÷1…第2步
＝﹣5…第3步
请问：（1）小明从第 1 步开始出现错误；
（2）请写出正确的解答过程．
【分析】（1）根据有理数除法的运算方法，以及有理数乘法的运算方法，可得：小明从第1步开始出现错误；
（2）首先计算除法，然后计算乘法，求出算式﹣5÷2的值是多少即可．
【解答】解：（1）小明从第1步开始出现错误；
（2）﹣5÷2
故答案为：1．
【变式5-1】（2022•海陵区期中）计算：（）×（）．
解：（）×（）
①
．②
（1）找错：第 ① 步出现错误；
（2）纠错：
【分析】（1）两数相乘，同号为正，（）与（）都是负数，它们的乘积是正数，所以第①步错误；
（2）根据有理数的乘法法则进行计算．
【解答】解：（1）因为第一步中两负数相乘的积是正数，而第①步多了一个负号，所以解法从第①步开始出现错误；
故答案为：①；
（2）正确的解法是：（）×（）．
【变式5-2】（2022•德州校级月考）阅读下面解题过程：
计算：5÷（22）÷6
解：5÷（22）×6
＝5÷（）×6…①
＝5÷（﹣25）…②
③
回答：
（1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第 ① 步，错因是 除以一个数相当于乘以这个数的倒数 ，第二处是 ② ，错因是 同级运算应从左到右的顺序依次进行计算 ．
（2）正确结果应是 ．
【分析】（1）根据除以一个数相当于乘以这个数的倒数和同级运算应从左到右的顺序依次进行计算，即可得出答案；
（2）根据有理数的乘除法则进行计算即可．
【解答】解：（1）第一处是第①步，错因是除以一个数相当于乘以这个数的倒数，第二处是②，错因是同级运算应从左到右的顺序依次进行计算；
故答案为：①，除以一个数相当于乘以这个数的倒数；②，同级运算应从左到右的顺序依次进行计算；
（2）5÷（22）÷6
＝5÷（）
＝5×（）
．
故答案为：．
【变式5-3】（2022秋•无为县月考）阅读下列材料：
计算：（）．
解法一：原式3412．
解法二：原式（）6．
解法三：原式的倒数＝（）（）×24242424＝4．
所以，原式．
（1）上述得到的结果不同，你认为解法 一 是错误的；
（2）请你选择合适的解法计算：（）÷（）．
【分析】（1）我认为解法一是错误的；
（2）选择解法三求出值即可．
【解答】解：（1）上述得到的结果不同，我认为解法一是错误的；
故答案为：一；
（2）原式的倒数为：（）÷（）＝（）×（﹣42）＝﹣7+9﹣28+12＝﹣35+21＝﹣14，
则原式．
【题型6 有理数乘除法与绝对值的综合】
【例6】（2022•余姚市校级期中）（1）三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值．
（2）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求的值；
（3）若a，b，c为三个不为0的有理数，且1，求的值．
【分析】（1）分两种情况解答：①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时即可得到答案；
（2）分两种情况解答：①当a，b，c都是负数；②当a，b，c中有一个为负数，另两个为正数时即可得到答案；
（3）根据已知可得a、b、c为两个负数，一个正数，由此可得答案．
【解答】解：（1）∵abc＞0，
∴a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则1+1+1＝3；
②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，
则1﹣1﹣1＝﹣1．
综上所述，的值为3或﹣1．
（2）∵abc＜0，
∴a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数．
①当a，b，c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时，则1﹣1﹣1＝﹣3；
②当a，b，c中有一个为负数，另两个为正数时，不妨设a＜0，b＞0，c＞0，
则1+1+1＝1．
综上所述，的值为﹣3或1，
故答案为：﹣3或1；
（3）∵1，
∴a、b、c为两个负数，一个正数，
不妨设a＜0，b＜0，c＞0，
∴1．
【变式6-1】（2022•雁峰区校级期末）已知非零有理数a，b，c满足ab＞0，bc＞0．
（1）求的值；
（2）若a+b+c＜0，求的值．
【分析】（1）根据ab＞0，bc＞0可得a＞0，b＞0，c＞0或a＜0，b＜0，c＜0，所以ac＞0，化简即可；
（2）若a+b+c＜0，则a＜0，b＜0，c＜0，abc＜0，根据绝对值的性质化简即可．
【解答】解：（1）∵ab＞0，bc＞0，
∴a＞0，b＞0，c＞0或a＜0，b＜0，c＜0，
∴ac＞0，
∴1+1+1＝3；
（2）∵a+b+c＜0，
∴a＜0，b＜0，c＜0，abc＜0，
∴1﹣1﹣1﹣1＝﹣4．
【变式6-2】（2022•河西区期中）已知|x|＝3，|y|＝7
（1）若x＜y，求x﹣y的值；
（2）若xy＞0，求x+y的值；
（3）求x2y﹣xy2+21的值．
【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义求出x与y的值，即可求出所求．
【解答】解：∵|x|＝3，|y|＝7，
∴x＝±3，y＝±7，
（1）当x＜y时，x＝3，y＝7或x＝﹣3，y＝7，
此时x﹣y＝﹣4或﹣10；
（2）∵xy＞0，∴x与y同号，即x＝3，y＝7或x＝﹣3，y＝﹣7，
此时x+y＝10或﹣10；
（3）由x＝±3，y＝±7，
当x＝3，y＝7时，原式＝﹣84+21＝﹣63；
当x＝3，y＝﹣7时，原式＝84+21＝105；
当x＝﹣3，y＝7时，原式＝210+21＝231；
当x＝﹣3，y＝﹣7时，原式＝105．
【变式6-3】（2022•雨花区月考）若a+b+c＜0，abc＞0，则2•3•4•的最大值为（ ）
A．6B．8C．10D．7
【分析】根据a+b+c＜0，abc＞0，得出a，b，c三个数中有两个负数一个正数，分情况求值即可．
【解答】解：∵a+b+c＜0，abc＞0，
∴分以下几种情况：
①a＞0，b＞0，c＜0时，
2•3•4•1﹣2+3+4＝6，
②a＞0，c＞0，b＜0时，
2•3•4•1﹣2﹣3+4＝﹣2，
③a＜0，b＞0，c＞0时，
2•3•4•1+2+3+4＝8，
∴最大值为8，
故选：B．
【题型7 有理数乘除法中的规律计算】
【例7】（2022•上蔡县期中）考察下列每一道算式，回答问题：
算式：63×67＝4221 72×78＝5616
561×569＝3192009 1814×1816＝3294224
（1）两个因数个位上的数字之和是多少？其余各位上的数字有何特征？
（2）根据四个式子的计算，请你猜想符合上述特征的两个数相乘的运算规律．
（3）再举两道符合上述特征的计算题，并用你猜想的规律进行计算．
【分析】（1）根据算式分析规律解答即可；
（2）列出方程解答即可；
（3）举例解答即可．
【解答】解：（1）两个因数个位上的数字之和＝10，其余各位上的数字相同，
（2）设其余各位相同的数是x，积＝x（x+1）×100+×个位上的数的积；
（3）73×77＝5621，53×57＝3021．
【变式7-1】已知3，10，15，…观察以上规律计算 56 ，45，则a＝ 2或8 ．
【分析】根据题目中的例子可以求得所求式子的值，本题得以解决．
【解答】解：56，
45，
解得，a＝2或a＝8，
故答案为：56，2或8．
【变式7-2】（2022•夏邑县期中）有一列数a1，a2，a3，…an，若a1，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的差的倒数．
（1）试计算a2，a3，a4；
（2）根据以上计算结果，试猜测a2016、a2017的值．
【分析】（1）根据题意代入数据进行计算即可；
（2）观察它是否具有周期性，进而可得答案．
【解答】解：（1）∵a1，
∴a22，
∴a31，
∴a4；
（2）由（1）得：
∵2016÷3＝672，
∴a2016＝﹣1，
a2017．
【变式7-3】（2022•厦门期末）已知一些两位数相乘的算式：
62×11，78×69，34×11，63×67，18×22，15×55，12×34，54×11
利用这些算式探究两位数乘法中可以简化运算的特殊情形：
（1）观察已知算式，选出具有共同特征的3个算式，并用文字描述它们的共同特征；
（2）分别计算你选出的算式．观察计算的结果，你能发现不经过乘法运算就可以快速、直接地写出积的规律吗？请用文字描述这个规律；
（3）证明你发现的规律；
（4）在已知算式中，找出所有可以应用（或经过转化可以应用）上述规律的算式，并将它们写在横线上： 18×22，15×55 ．
【分析】（1）确定因数为11的算式；
（2）计算并发现规律；
（3）根据两位数的乘法进行计算，并变形；
（4）根据发现的规律找算式即可．
【解答】解：（1）62×11，34×11，54×11．
这3个算式共同特征是：一个两位数与11相乘；
（2）62×11＝682，34×11＝374，54×11＝594，
规律：两位数乘法中，如果有一个因数为11，得数的百位上的数是两个因数最高位上的积，十位上的数是第一个因数各个位数的和（满10进1），个位上的数是两个因数个位上数的积；
如54×11＝594，
（3）证明：设一个两位数为，另一个数为11，
则它们的积为：11＝11（10a+b）＝110a+11b＝100a+10a+10b+b＝100a+10（a+b）+b；
（4）18×22＝36×11＝396，15×55＝75×11＝7×100+（7+5）×10+5＝825，
所以这些算式也可以利用此规律：18×22，15×55．
故答案为：18×22，15×55．
【题型8 有理数乘除法的实际应用】
【例8】（2022•江宁区校级月考）天龙顶国家山地公园，位于岑溪市南渡镇吉太附近，距岑溪市35公里，天龙顶是桂东最高峰，史上早已成名，被誉为“土主龙楼”天龙顶形成于远古冰川，由整块红色砂岩劈凿而成，拔地而起，是极限攀岩、野外露营及登山爱好者的天堂．某年寒假，小昌与小勇一起去游天龙顶，他们想知道山的高度．小昌说可以利用温度计测量山峰的高度，小昌在山顶测得温度约是﹣1℃，小勇此时在山脚测得温度约是8.6℃，已知该地区每年增加100米，气温大约下降0.8℃，小昌很快算出了答案，你知道天龙顶的高度约是多少米吗？
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：[8.6﹣（﹣1）]÷0.8×100＝1200（米），
则天龙顶的高度约是1200米．
【变式8-1】（2021秋•北京期中）
妈妈身高多少厘米？
【分析】根据一家三人的对话列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：180160（厘米），
则妈妈的身高为160厘米．
【变式8-2】（2022•常州期中）某原料仓库一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）：
（1）这天仓库的原料比原来增加或减少了多少吨？
（2）根据实际情况，现有两种方案：
方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元；
方案二：不管运进还是运出费用都是每吨原料6元；
从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案较合适？请说明理由．
【分析】（1）将进出数量×进出次数，再把它们相加即可求解；
（2）分别求出两种方案的钱数，再相加即可求解．
【解答】解：（1）﹣3×2+4×1﹣1×3+2×3﹣5×2
＝﹣6+4﹣3+6﹣10
＝﹣9．
答：仓库的原料比原来减少9吨．
（2）方案一：（4+6）×5+（6+3+10）×8
＝50+152
＝202（元）．
方案二：（6+4+3+6+10）×6
＝29×6
＝174（元）
因为174＜202，
所以选方案二运费少．
【变式8-3】（2022•台湾）碳足迹标签是一种碳排放量的标示方式，让大众了解某一产品或服务所产生的碳排放量多寡，如图所示．
碳足迹标签的数据标示有其规定，以碳排放量大于20公克且不超过40公克为例，此范围内的碳足迹数据标示只有20、22、24、…、38、40公克等11个偶数；碳足迹数据标示决定于碳排放量与这11个偶数之中的哪一个差距最小，两者对应标示的范例如下表所示．
请根据上述资讯，回答下列问题，并详细解释或完整写出你的解题过程．
（1）若有一个产品的碳足迹数据标示为38公克，则它可能的碳排放量之最小值与最大值分别为多少公克？
（2）承（1），当此产品的碳排放量减少为原本的90%时，请求出此产品碳足迹数据标示的所有可能情形．
【分析】（1）由碳排放量20.2公克，碳足迹数据标示20公克，碳排放量21.0公克，碳足迹数据标示，20公克或22公克皆可，可得碳足迹数据标示为38公克，碳排放量之最小值与最大值分别为37.0和39.0公克．
（2）由（1）的最大值和最小值乘以90%就求出此产品碳足迹数据标示的所有可能情形．
【解答】解：（1）碳排放量之最小值与最大值分别为37.0和39.0公克．
（2）∵此产品的碳排放量减少为原本的90%，
∴37.0×90%＝33.3（公克），39.0×90%＝35.1（公克），
∴此产品碳足迹数据标示为：34公克或36公克．
【题型9 有理数乘除法中的新定义问题】
【例9】（2022•大安市期末）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24．
（1）求3*（﹣4）的值；
（2）求（﹣2）*（6*3）的值．
【分析】分别根据运算“*”的运算方法列式，然后进行计算即可得解．
【解答】解：（1）3*（﹣4），
＝4×3×（﹣4），
＝﹣48；
（2）（﹣2）*（6*3），
＝（﹣2）*（4×6×3），
＝（﹣2）*（72），
＝4×（﹣2）×（72），
＝﹣576．
【变式9-1】（2022•九龙坡区校级模拟）定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的n倍（n为正整数），我们就说这个自然数是一个“n喜数”．例如：24就是一个“4喜数”，因为24＝4×（2+4）；25就不是一个“n喜数”，因为25≠n（2+5）．
（1）判断44和72是否是“n喜数”？请说明理由；
（2）请求出所有的“7喜数”之和．
【分析】（1）根据“n喜数”的意义，判断即可得出结论；
（2）先设出“7喜数”的个位数字a和十位数字b，进而得出b＝2a，即可得出数值，然后求和即可．
【解答】解：（1）44不是一个“n喜数”，因为44≠n（4+4），
72是一个“8喜数”，因为72＝8×（2+7），
（2）设存在“7喜数”，设其个位数字为a，十位数字为b，（a，b为1到9的自然数），
由定义可知：10b+a＝7（a+b），
化简得：b＝2a，
因为a，b为1到9的自然数，
∴a＝1，b＝2；a＝2，b＝4；a＝3，b＝6；a＝4，b＝8．四种情况，
∴“7喜数”有4个：21、42、63、84，
∴它们的和＝21+42+63+84＝210．
【变式9-2】（2022•丰台区期末）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．
例如：如图1，计算46×71，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果计入相应的方格中，最后沿斜线方向相加得3266．
（1）如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则x＝ 3 ，y＝ 2 ；
（2）如图3，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，则m＝ 1 ，n＝ 2 ；
（3）如图4，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则k＝ 6 ．
【分析】（1）由21＝7x，10+y＝3×4，即可求x、y的值；
（2）由题意可得，m+n+8＝11，ad＝10n+4，bc＝10m+2，再推理出m、n的值即可；
（3）根据运算法则，将表格补充，当千位是0时，10（6﹣k﹣k）+k﹣4＝7k；当千位是1时，10（16﹣k﹣k）+k﹣4＝7k；即可求k的值．
【解答】解：（1）∵63＝9×7，21＝7x，
∴x＝3，
∵10+y＝3×4，
∴y＝2，
故答案为：3，2；
（2）由题意可得，m+n+8＝11，
∴m+n＝3，
∵ad＝10n+4，
∴n＝0或n＝1或n＝2或n＝3，
∵bc＝10m+2，
∴m＝3或m＝1或m＝0，
∵ac＝18＝2×9＝3×6，
∴m＝1，
∴n＝2，
故答案为：1，2；
（3）如图4，
当千位是0时，10（6﹣k﹣k）+k﹣4＝7k，
解得：k；
当千位是1时，10（16﹣k﹣k）+k﹣4＝7k，
k＝6；
∵k是整数，
∴k＝6，
故答案为：6．
【变式9-3】（2022•靖江市期中）小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把5÷5÷5记作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4，﹣2）．
（1）直接写出计算结果，f（4，）＝ 4 ，f（5，3）＝ ；
（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ② ．（填序号）
①f（6，3）＝f（3，6）；
②f（2，a）＝1（a≠0）；
③对于任何正整数n，都有f（n，﹣1）＝1；
④对于任何正整数n，都有f（2n，a）＜0（a＜0）．
（3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a，n的式子表示）
（4）请利用（3）问的推导公式计算：f（5，3）×f（4，）×f（5，﹣2）×f（6，）．
【分析】（1）根据题意计算即可；
（2）①分别计算f（6，3）和f（3，6）的结果进行比较即可；
②根据题意计算即可判断；
③分为n为偶数和奇数两种情况分别计算即可判断；
④2n为偶数，偶数个a相除，结果应为正；
（3）推导f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），按照题目中的做法推到即可；
（4）按照上题的推导式可以将算式中的每一部分表示出来再计算．
【解答】解：（1）f（4，）4，
f（5，3）＝3÷3÷3÷3÷3；
故答案为：4； ．
（2）①f（6，3）＝3÷3÷3÷3÷3÷3，f（3，6）＝6÷6÷6，
∴f（6，3）≠f（3，6），故错误；
②f（2，a）＝a÷a＝1（a≠0），故正确；
③对于任何正整数n，当n为奇数时，f（n，﹣1）＝﹣1；当n为偶数时，f（n，﹣1）＝1．故错误；
④对于任何正整数n，2n为偶数，所以都有f（2n，a）＞0，而不是f（2n，a）＜0（a＜0），故错误；
故答案为：②．
（3）公式f（n，a）＝a÷a÷a÷a÷…÷a÷a＝1÷（an﹣2）＝（）n﹣2（n为正整数，a≠0，n≥2）．
（4）f（5，3）×f（4，）×f（5，﹣2）×f（6，）
9×（）×16
．进出数量（单位：吨）
﹣3
4
﹣1
2
﹣5
进出次数
2
1
3
3
2
碳排放量
碳足迹数据标示
20.2公克
20公克
20.8公克
20公克
21.0公克
20公克或22公克皆可
23.1公克
24公克
进出数量（单位：吨）
﹣3
4
﹣1
2
﹣5
进出次数
2
1
3
3
2
碳排放量
碳足迹数据标示
20.2公克
20公克
20.8公克
20公克
21.0公克
20公克或22公克皆可
23.1公克
24公克
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