高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列本章综合与测试教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列本章综合与测试教案，共9页。教案主要包含了教学内容及其解析，学情分析，教学目标及其解析，教学问题诊断分析，教学支持条件分析，教学过程，目标检测设计，作业设计等内容，欢迎下载使用。

1.内容：本节课是一节数列复习课，主要内容包括数列的概念与等差等比数列，选自选择性必修课程主题一-函数，人教A版选择性必修第二册第四章。
2.内容解析：
数列是一类特殊的函数，是数学重要的研究对象，在日常生活中也有着广泛的应用.类比研究函数的经验，按照“一般数列→特殊数列”的顺序展开，在介绍“一般数列”时，通过对具体例子的分析，抽象出了数列的概念，通过数学运算、逻辑推理等研究了两类特殊数列：等差数列和等比数列，对它们的研究不仅可以加深对数列的理解，掌握这两种具体数列的概念、取值规律，应用它们解决实际问题，而且也为研究其他类型的数列打下基础。此外，数学归纳法是本章的选学内容，这是一种证明与正整数有关的数学命题的特殊方法.
蕴含的数学思想和方法：因为数列是特殊的函数，所以注重函数思想和方法的应用.通过具体事例归纳出等差和等比数列的概念，类比函数的研究路径学习数列，类比等差数列的研究路径学习等比数列，体现函数与方程、特殊与一般、类比学习的数学思想。
知识上下位关系：学生已经学习高中必修阶段函数的全部内容，为特殊的函数-数列做了全面铺垫。特殊数列的学习也为研究未知的一般数列提供研究思路和方法。以下是本章简单知识结构图
育人价值：以函数的观点看数列,体会数学的整体性.等差数列与一次函数、等比数列与指数函数之间存在着密切联系,把数列纳入函数的体系中,从函数的观点看数列,发现和理解数列的性质,认识数列的应用价值。数列的学习要以“运算”作为基础,通过运算发现和提出问题,通过运算得出数列的取值规律,通过运算发现解决问题的方法.
通过本章的学习，学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理和数学建模素养将得到进一步提升。
教学重点：梳理本章的研究路径，主要知识与思想方法。用函数观点看数列，通过代数运算建立模型解决数列问题。
二、学情分析
高二年级学生能够理解等差等比数列的概念、通项公式以及前项和，基本具备了研究数列的方法体系。但局限于等差等比公式的运算，用函数观点看数列的意识不强，通过代数运算建立模型解决一般数列的问题的能力仍需提升。因此本节课需进一步强化数列中的函数思想，培养通过运算解决一般数列问题的意识和能力。
三、教学目标及其解析
四、教学问题诊断分析
五、教学支持条件分析
动画演示
六、教学过程
（一）数列概念
问题1：如何研究数列？研究数列的路径是什么？
数列是一类特殊的函数.与函数的研究内容、过程和方法类似,高中阶段对数列的研究也是“背景———概念(定义、表示、分类)———性质———特例”为基本架构,其中“特例”是指等差数列、等比数列。
背景
概念
性质
特例
问题2：为什么数列是一种特殊的函数？
根据数列的定义，满足函数的对应关系，得出数列是一种特殊的函数的结论。
由于数列中的每一项与它的序号有下面的对应关系：
总结发现：任意的，都有唯一的与之对应
所以数列是从正整数集(或它的有限子集)到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为．
比如：等差数列通项公式可以看成一次函数的形式。
追问：数列是特殊的函数，特殊在哪？
以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的。比如：的图象是直线，而的图象是直线上孤立的点。
问题3：类比函数的表示，数列的表示有哪些？
类比函数的表示：表格、图象、通项公式，数列的表示除表格、图象、通项公式之外，递推公式是数列特有的。
追问：在什么情况下用通项公式表示数列，在什么情况下用递推公式表示数列？
如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.通项公式表示序号和项之间的对应关系.
如果一个数列相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.递推公式是表示项与项之间规律的关系.
问题4：数列可以通过哪些角度分类？
与函数的单调性分类类似，数列按项与项间的大小关系分类：递增、递减、常数列、摆动数列；按项数分类：有穷数列、无穷数列；按其他标准分类：有界数列和无界数列
应用举例
1．已知{an}是递增数列，且对于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________．
解析：（法一）因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，
都有an＋1>an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，整理，
得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1)．(*)
因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.
（法二）观察数列{an}通项公式an＝n2＋λn，联想到二次函数，所以可以通过二次函数的性质，研究数列{an}的性质。
二次函数的对称轴，要使{an}是递增数列，只需，或者定义在正整数集的为增函数，即，所以λ>－3.
2.满足：，，，为数列的前项和，则=
解析：，，，
可得，，，，
，，，可得数列为周期6的数列，
且，则 设计意图：利用函数性质解决数列问题，进一步感受数列是特殊的函数，体会转化与化归、函数与方程的数学思想。
（二）数列性质
问题5：区别函数的性质，数列特有性质有哪些？
数列的前n项和是数列特有的，分析数列的前n项和公式与它的通项公式的关系：数列{an}的前n项和Sn，则an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1( S1 n＝1，,Sn－Sn－1 n≥2.))
3.已知数列的前项和为，且，，，则的通项公式
A．B．C．D．
解析：
①， ②
①②得：，整理得：
又，符合上式
设计意图：通过已知求和，得递推公式，再由递推公式得通项公式的应用，复习数列中区别于函数的特有性质，体会转化数学思想。
（三）特殊数列
问题6：如何研究等差数列、等比数列？
这两类有明确的现实背景、可以给出精确的规律表达、在解决实际问题和数学问题中有重要应用价值,对 它 们 的 研 究 按 照 “背 景——概 念——表示——性质——求和公式——应用”的路径展开.
在现实背景中，通过运算发现实例中蕴涵的取值规律，抽象出等差数列、等比数列的定义，抽象概念的过程以“归纳-概括-数学符号化”的路径展开。同时也介绍等差、等比中项的概念.
问题7：等差数列和等比数列的通项公式分别是什么？你是如何推导出它们的？等差数列和等比数列的图象分别是什么？
从定义出发，推导出它们的通项公式.从通项公式出发，探究等差数列与一次函数、等比数列与指数函数之间的关系，再结合一次函数、指数函数的知识，画出等差数列、等比数列的图象。感受它们与函数的相同点、不同点。
问题8：推导等差数列、等比数列的前n项和公式时，各用了哪些巧妙的方法？你还知道哪些求和的方法？
利用倒序相加法推导出等差数列前n项和公式，利用错位相减法推导等比数列前n项和公式。
梳理求数列的前n项和的方法：
(1)公式法
①等差数列的前n项和公式 ②等比数列的前n项和公式
Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝na1＋eq \f(nn－1,2)d. (Ⅰ)当q＝1时，Sn＝na1；
(Ⅱ)当q≠1时，Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
(2)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
(3)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
(4)倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
(5)错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．
(6)并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
应用举例：
4.在等差数列中，，．记，则数列（ ）．
A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项
解析：由题意可知，等差数列的公差，
所以，
故数列中的正项只有有限项：，.
所以数列中存在最大项，且最大项为.
注意到，且从第6项开始所有项为正且单调增，即，所以，无最小项。故选B
5.已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
①由题意可知，∀n∈N∗，an>0，
当n=1时，a12=9，可得a1=3；
当n=2时，，得，①对.
②假设数列为等比数列，设其公比为，则，则，显然，②错.
③只需认识到，∀n∈N∗，an>0，一定单调递增，而，所以为递减数列，③对.
④假设中不存在小于的项，则对任意的n∈N∗，an≥1100，则S90000≥90000×1100=900，
所以当时，，此时，所以假设不成立.④对.
设计意图：经历代数运算建立模型解决数列问题的过程，体会特殊到一般的数学思想，发展数学运算、逻辑推理数学素养。
课堂小结：如果给你一个一般数列，你如何去研究？
策略1：通过代数运算发现一般数列的取值规律；
策略2：把这个数列看成函数，借助函数的性质，如单调性、最值、周期性研究数列的性质；
策略3：根据数列特有的性质,比如前n项和与通项公式的关系、数列单调问题可以做差做商研究等展开研究。
七、目标检测设计
1.设数列满足，，则（ ）
A．2B．C．D．-3
2.数列{an}是递增的整数数列，且a1≥3，a1+a2+⋅⋅⋅+an=100，则n的最大值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
3.设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4.设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（ ）
A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0
B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则a2＞a1a3
D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0
八、作业设计
1.请同学们完善数列知识结构导图
2在数列中，，，，则的值为（ ）
A．30B．31C．32D．33
3.（多选）设等差数列的公差为d，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列B．
C．D．数列中最大项为第6项
4.已知数列满足是数列的前项和，则（ ）
A．B．C．D．
5.设an是公差不为0的无穷等差数列，则“an为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6.已知数列an满足an+1=14an−63+6(n=1,2,3,⋯)，则（ ）
A．当a1=3时，an为递减数列，且存在常数M≤0，使得an>M恒成立
B．当a1=5时，an为递增数列，且存在常数M≤6，使得anC．当a1=7时，an为递减数列，且存在常数M>6，使得an>M恒成立
D．当a1=9时，an为递增数列，且存在常数M>0，使得an目标
达成目标的标志
1.经历类比函数研究路径学习数列，了解数列是特殊的函数，体会转化与化归、类比学习的数学思想
能够正确解答问题1和2，解决应用举例第1题，目标检测中的第2题
2.通过运算发现数列规律，领会代数运算解决数列问题的重要性.提升数学运算核心素养。
能在课堂小结中回答出通过代数运算发现一般数列的取值规律，如单调性、有界、周期性等。能独立解决目标检测第1题，小组合作完成第5题。
3.经历问题串的复习，领会研究数列的思想方法，发展逻辑推理核心素养。
正确解决应用举例和目标检测第3题，完善知识结构导图
认知基础
与将要达到水平的差异
难点
解决难点的策略
学生已经学习完数列这一章的内容，能够认识数列是特殊的函数。针对具体知识学生比较好掌握，但经常缺少对知识网的梳理，也欠缺这样的能力。
通过本节课的学习，梳理数列这章的学习路径，引领学生感受本章知识的整体性和贯穿本章的思想方法主线，进一步强化通过运算解决数列问题的思路。
本章知识的整体性，用已有基本活动经验解决一般数列问题。
通过教师带领学生进行本章知识的再梳理、问
题串引领以及6个应用举例突破难点