初中数学浙教版七年级上册第3章 实数3.2 实数同步测试题

这是一份初中数学浙教版七年级上册第3章 实数3.2 实数同步测试题，共41页。

一、单选题
1．（2022·浙江丽水·七年级期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．－22=4
2．（2021·浙江·七年级期中）4的平方根是（ ）
A．2B．C．D．
3．（2022·浙江台州·七年级阶段练习）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．B．3.14C．D．
4．（2022·浙江丽水·七年级期末）在实数：0，，，， 0.020020002…（每两个2之间零的个数依次增加1）中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（2022·浙江台州·七年级期中）估算的值是在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间
C．6和7之间D．7和8之间
6．（2022·浙江金华·七年级期末）3的相反数为（ ）
A．﹣3B．﹣C．D．3
7．（2022·浙江台州·七年级期末）实数在下列两个整数之间的是（ ）
A．1和2 B．2和3C．3和4D．4和5
二、填空题
8．（2022·浙江台州·七年级期中）4的平方根是 ．
9．（2022·浙江金华·七年级期末）在数轴上到原点的距离小于4的点所表示的数中，负整数可以是______（写出一个即可）．
10．（2022·浙江台州·七年级期末）与最接近的整数是______．
11．（2022·浙江宁波·七年级期末），，这三个数中， 最小的数是_______．
12．（2022·浙江台州·七年级期末）（填“”“”“”）．
13．（2022·浙江杭州·七年级期末）已知某数的一个平方根为，则该数是________，它的另一个平方根是________．
14．（2022·浙江绍兴·七年级期末）计算：______．
15．（2022·浙江绍兴·七年级期末）若一个数的平方等于6，则这个数等于______．
16．（2022·浙江宁波·七年级期末）计算：______ ，______，______．
17．（2022·浙江宁波·七年级期中）计算：+（﹣1）2＝___．
18．（2022·浙江金华·七年级期末）9的算术平方根是 ．
三、解答题
19．（2022·浙江台州·七年级期末）计算：.
20．（2022·浙江台州·七年级阶段练习）计算：
(1) (2) ．
21．（2022·浙江丽水·七年级期中）计算
(1) (2)
(3) (4)
22．（2022·浙江金华·七年级期中）你会求（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋‥‥a2＋a＋1）的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：
（a－1）（a＋1）＝a2－1
（a－1）（a2＋a＋1）＝a3－1；
（a－1）（a3＋a2＋a＋1）＝a4－1；
(1)由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋……a2＋a＋1）＝________．
(2)利用上面的结论，求22013＋22012＋22011＋……22＋2＋1的值是__________．
(3)求52013＋52012＋52011＋……52＋5＋1的值．
23．（2022·浙江金华·七年级期末）如图，一个瓶子的底面是半径为4cm的圆，瓶内装着一些溶液当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为25cm，倒放时，空余部分的高度为5cm．现把瓶子装满溶液，再把全部溶液倒在一个正方体容器里，容器内的溶液高度为10cm．求：
(1)瓶子的容积；
(2)正方体的底面边长（取3）．
【常考】
一．选择题（共10小题）
1．（2022春•黄石期末）9的平方根是（ ）
A．3B．±3C．±D．±81
2．（2021秋•萧山区期中）＝（ ）
A．±3B．3C．D．
3．（2021秋•新昌县期末）16的算术平方根是（ ）
A．4B．﹣4C．±4D．8
4．（2021秋•柯桥区期末）下列各式中，正确的是（ ）
A．＝±4B．＝﹣3C．±＝4D．＝﹣4
5．（2021秋•义乌市期末）实数3的相反数是（ ）
A．3B．﹣3C．D．﹣
6．（2021秋•柯桥区月考）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a＞﹣2B．|a|＞bC．a+b＞0D．b﹣a＜0
7．（2021秋•余杭区期中）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若|a|＞|b|，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．b+c＞0B．a+c＜﹣2C．D．abc≥0
8．（2021秋•诸暨市期中）已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．（2020秋•丽水期中）估计的值在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
10．（2021秋•诸暨市期中）若9﹣的整数部分为a，小数部分为b，则2a+b等于（ ）
A．12﹣B．13﹣C．14﹣D．15﹣
二．填空题（共5小题）
11．（2021秋•北仑区期末）的平方根是 ．
12．（2021秋•越城区校级月考）的平方根是 ．
13．（2022•恩施州）9的算术平方根是 ．
14．（2021秋•余杭区期中）若（x﹣1）3＝8，则x＝ ．
15．（2021秋•永嘉县校级月考）如图，以原点O为圆心，OB为半径的弧交数轴于点A，则点A所表示的数是 ．
三．解答题（共6小题）
16．（2021秋•平阳县校级月考）将下列各数填在相应的集合里．﹣3.8，﹣10，4.3，，42，0，，π，3.3030030003…．
有理数集合 ；
正数集合 ；
负数集合 ；
无理数集合 ．
17．（2021秋•鄞州区校级期中）在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“＜”连接：π，4，﹣1.5，0，
18．（2021秋•永嘉县校级月考）已知：3a+1的立方根是﹣2，2b﹣1的算术平方根是3，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求2a﹣b+的平方根．
19．（2020秋•奉化区校级期末）在数轴上点A表示a，点B表示b．且a，b满足+|b﹣|＝0．
（1）x表示a+b的整数部分，y表示a+b的小数部分，则x＝ ，y＝ ；
（2）若点A与点C之间的距离表示AC，点B与点C之间的距离表示BC，请在数轴上找一点C，使得AC＝2BC，求点C在数轴上表示的数．
20．（2020秋•永嘉县校级期末）计算：|﹣5|+﹣32．
21．（2020秋•永嘉县校级期末）计算：
（1）3+（﹣1）﹣（﹣5） （2）+（﹣3）2×（﹣）．
【易错】
一．选择题（共13小题）
1．（2021秋•镇海区期末）在实数，，π，﹣4，，3.1415，0.010010001…（每两个1之间多一个0）中，无理数的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（2021秋•萧山区期中）＝（ ）
A．±3B．3C．D．
3．（2021秋•衢江区期末）下列四个数中，最小的是（ ）
A．2B．0C．πD．﹣4
4．（2021秋•滨江区期末）下列计算正确的是（ ）
A．＝±9B．＝9C．＝±3D．＝3
5．（2021秋•龙泉市期末）在﹣1，，，0这四个实数中，属于无理数的是（ ）
A．﹣1B．C．D．0
6．（2021秋•吴兴区期末）下列各数中，无理数是（ ）
A．πB．2.3C．﹣1D．3.14
7．（2021秋•余姚市期末）在，﹣，π，0，，0.5，0.1212212221…（相邻两个1之间依次多一个2）这些数中，无理数的个数有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
8．（2020秋•鄞州区期末）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．2
9．（2021秋•江北区期末）在﹣2，﹣，0，1这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣2B．C．0D．1
10．（2020秋•海曙区期末）将尺寸如图的4块完全相同的长方形薄木块（厚度忽略不计）进行拼摆，恰好可以不重叠地摆放在如图的甲、乙两个方框内．已知小木块的宽为2，图甲中阴影部分面积为19，则图乙中AD的长为（ ）
A．B．C．D．
11．（2021秋•滨江区期末）若a，b是﹣1与1（包括﹣1和1）之间的有理数，满足a≠b且b≠0，则a÷b（ ）
A．一定是正数B．一定是整数
C．一定是有理数D．可以是无理数
12．（2020秋•长兴县期末）如图，若数轴上的点A，B，C，D分别表示数﹣1，1，2，3，则表示数4﹣的点应在（ ）
A．点A与点O之间B．点O与点B之间
C．点B与点C之间D．点C与点D之间
13．（2020秋•拱墅区期末）一个物体自由下落时，它所经过的距离h（米）和时间t（秒）之间的关系我们可以用t＝来估计．假设物体从超过10米的高度自由下落，小明要计算这个物体每经过1米所需要的时间，则经过第5个1米时所需要的时间最接近（ ）
A．1秒B．0.4秒C．0.2秒D．0.1秒
二．填空题（共10小题）
14．（2021秋•平阳县期中）的算术平方根是 ．
15．（2021秋•诸暨市期中）计算：的平方根＝ ．
16．（2021秋•西湖区校级期中）根据图中的程序，当输入x为64时，输出的值是 ．
17．（2021秋•永嘉县校级月考）的算术平方根是 ；的平方根是 ．
18．（2021秋•鄞州区校级期中）规定：用符号[x]表示一个不大于实数x的最大整数，例如：[3.69]＝3，[+1]＝2，[﹣2.56]＝﹣3，[﹣]＝﹣2．按这个规定，[﹣﹣1]＝ ．
19．（2021秋•新昌县期中）若某个正数的平方根是a﹣3与a﹣5，则这个正数是 ．
20．（2020秋•宁波期末）如果，那么ab＝ ．
21．（2021秋•平阳县期中）若，则x﹣y＝ ．
22．（2021秋•下城区校级期中）计算：
（1）＝ ．
（2）4+＝ ．
（3）的立方根为 ．
（4）如果的平方根是±3，则＝ ．
23．（2021秋•新昌县期中）对于任意实数对（a，b）和（c，d），规定运算“*”为（a，b）*（c，d）＝（ac，bd）；运算“⨁”为（a，b）⨁（c，d）＝（a+c，b+d）．若（1，2）*（p，q）＝（2，﹣4），则（1，2）⨁（p，q）＝ ．
三．解答题（共1小题）
24．（2021秋•长兴县期中）如图数轴上有三个点A、B、C，分别表示的数是﹣4，﹣2，3．请回答以下问题：
（1）将点B向左移动三个单位长度后，请写出三个点所表示的数中谁最小？最小数是多少？
（2）只移动A点，要使得其中一点到另两点之间的距离相等，请写出所有的移动方法．
（3）若A、B、C三个点移动后得到三个互不相等的实数，既可以表示为2，a+b，a的形式，又可以表示为0，，b的形式（每个代数式均有意义），直接写出ab+的值．
【压轴】
一、单选题
1．（2020·浙江杭州·七年级期末）我们知道，不存在一个实数的平方等于-1．若我们规定一个新数“i”，使其满足．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，从而对于任意正整数n，我们可以得到．同理可得，，．那么的值为（ ）
A．0B．1C．-1D．1
二、填空题
2．（2020·浙江杭州·七年级期末）求的值，可令，则，因此．仿照以上推理，计算出______．
3．（2020·浙江杭州·七年级期末）等边在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和-1，若绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2015次后，点B所对应的数是________．
4．（2020·浙江杭州·七年级期末）若我们规定表示不小于x的最小整数，例如，，则以下结论：①；②；③的最小值是0；④存在实数x使成立．其中正确的是______．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题
5．（2020·浙江杭州·七年级期末）请阅读以下材料完成下列问题：规定求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把把，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“-3的圈4次方”．一般地，把（n个a且），读作“a的圈n次方”．
（1）直接写出计算结果：________；________；________．
（2）计算：
6．（2020·浙江杭州·七年级期末）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“白马有理数对”，记为，如：数对都是“白马有理数对”．
（1）数对中是“白马有理数对”的是_________；
（2）若是“白马有理数对”，求的值；
（3）若是“白马有理数对”，则是“白马有理数对”吗？请说明理由．
（4）请再写出一对符合条件的“白马有理数对”_________（注意：不能与题目中已有的“白马有理数对”重复）
7．（2020·浙江杭州·七年级期末）已知、在数轴上对应的数分别用、表示，且，点是数轴上的一个动点．
（1）求出、之间的距离；
（2）若到点和点的距离相等，求出此时点所对应的数；
（3）数轴上一点距点个单位长度，其对应的数满足．当点满足时，求点对应的数．
第3章 实数（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练
【基础】
一、单选题
1．（2022·浙江丽水·七年级期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．－22=4
【答案】B
【分析】根据立方根的定义，有理数的乘方，算术平方根的定义对各选项分析判断后即可得答案．
【详解】解：A、，故本选项错误；
B、，故本选项正确；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了立方根的定义，有理数的乘方，算术平方根的定义，要注意：-22与（-2）2的区别，这也是同学们经常出错的地方．
2．（2021·浙江·七年级期中）4的平方根是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平方根的定义解答即可．
【详解】解：∵（±2）2=4，
∴4的平方根是±2，
故选：B．
【点睛】此题考查了平方根的定义：若一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根．
3．（2022·浙江台州·七年级阶段练习）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．B．3.14C．D．
【答案】D
【分析】根据无理数的定义：无理数就是无限不循环小数进行解答，选出正确选项即可．
【详解】解：A.是整数，是有理数，故A选项不符合题意；
B. 3.14是小数，是有理数，故B选项不符合题意；
C.是分数，是有理数，故C选项不符合题意；
D.是无理数，故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
4．（2022·浙江丽水·七年级期末）在实数：0，，，， 0.020020002…（每两个2之间零的个数依次增加1）中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据无理数的定义和实数的分类解答即可．
【详解】解：在实数：0，，，， 0.020020002…（每两个2之间零的个数依次增加1）中，无理数有：，， 0.020020002…（每两个2之间零的个数依次增加1），共3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的定义和实数的分类，属于基础题目，熟练掌握基本知识是关键．
5．（2022·浙江台州·七年级期中）估算的值是在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间
C．6和7之间D．7和8之间
【答案】A
【分析】求出，推出，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴在4和5之间，
故选A．
【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，得出是解答此题的关键．
6．（2022·浙江金华·七年级期末）3的相反数为（ ）
A．﹣3B．﹣C．D．3
【答案】A
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数计算即可．
【详解】解：3的相反数是﹣3．
故选：A．
【点睛】此题考查求一个数的相反数，解题关键在于掌握相反数的概念．
7．（2022·浙江台州·七年级期末）实数在下列两个整数之间的是（ ）
A．1和2 B．2和3C．3和4D．4和5
【答案】A
【详解】∴1<3<4，
∴1<<2，即在1和2之间．
故选A.
二、填空题
8．（2022·浙江台州·七年级期中）4的平方根是 ．
【答案】±2
【详解】解：∵，
∴4的平方根是±2．
故答案为±2．
9．（2022·浙江金华·七年级期末）在数轴上到原点的距离小于4的点所表示的数中，负整数可以是______（写出一个即可）．
【答案】（还可填或）
【分析】根据实数与数轴的对应关系，得出所求数的绝对值小于4，且为负整数，即可求解．
【详解】设所求数为a，由于在数轴上到原点的距离小于4，则，且为负整数，
则，所以a可以是或或．
故答案为：（还可填或）．
【点睛】本题考查了实数与数轴，掌握数轴上的点到原点距离的意义是解题的关键．
10．（2022·浙江台州·七年级期末）与最接近的整数是______．
【答案】2
【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案．
【详解】解：∵4＜5＜6.25，
∴2＜＜2.5，
∴与最接近的整数是2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
11．（2022·浙江宁波·七年级期末），，这三个数中， 最小的数是_______．
【答案】
【分析】先求出负数的绝对值，再根据两个负数相比较，绝对值大的反而小，得到，根据，得到，进一步可知，解答即可．
【详解】解：由题意可知：，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，中最小的数为：，
故答案为：
【点睛】本题考查实数的大小比较，对于负数的大小比较，先求其绝对值，再根据：两个负数，绝对值大的反而小，还可以采用平方法比较实数大小．
12．（2022·浙江台州·七年级期末）（填“”“”“”）．
【答案】＞
【分析】负数比较大小，绝对值大的反而小，进而得出结论．
【详解】解：∵3<
∴-3＞-
故答案为：>．
【点睛】本题考查实数的大小比较，熟练掌握实数的性质是解决问题的关键．
13．（2022·浙江杭州·七年级期末）已知某数的一个平方根为，则该数是________，它的另一个平方根是________．
【答案】 6 −
【分析】根据平方根的平方等于被开方数，可得答案，根据一个正数的平方根互为相反数，可得答案．
【详解】解：某数的一个平方根是，那么这个数是6，它的另一个平方根是−，
故答案为：6，−．
【点睛】本题考查了平方根．解题的关键是掌握平方根的定义，注意一个正数的两个平方根互为相反数．
14．（2022·浙江绍兴·七年级期末）计算：______．
【答案】
【分析】根据立方根和算数平方根的性质计算，即可得到答案．
【详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查了立方根和算术平方根的知识；解题的关键是熟练掌握立方根、算术平方根的性质，从而完成求解．
15．（2022·浙江绍兴·七年级期末）若一个数的平方等于6，则这个数等于______．
【答案】
【详解】解：∵一个数的平方等于6，
∴这个数等于．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握若一个数的平方等于非负数 ，则这个数是非负数的平方根是解题的关键．
16．（2022·浙江宁波·七年级期末）计算：______ ，______，______．
【答案】 9 4 2
【分析】负3的平方等于9，16的算术平方根等于4，8的立方根等于2．
【详解】解：，，，
故答案为：9；4；2．
【点睛】本题考查乘方运算，开方运算，注意区分正数平方的相反数与负数的平方之间的区别．
17．（2022·浙江宁波·七年级期中）计算：+（﹣1）2＝___．
【答案】3
【分析】根据算术平方根和乘方的运算法则计算即可求解．
【详解】解：+（﹣1）2
=2+1
=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了算术平方根和乘方，掌握相关的运算法则是解题的关键．
18．（2022·浙江金华·七年级期末）9的算术平方根是 ．
【答案】3
【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出．
【详解】∵，
∴9算术平方根为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．
三、解答题
19．（2022·浙江台州·七年级期末）计算：.
【答案】1
【分析】先算算术平方根和立方根，再算减法．
【详解】解：
=
=1
【点睛】本题考查实数运算，解题的关键是掌握算术平方根和立方根概念．
20．（2022·浙江台州·七年级阶段练习）计算：
(1)
(2) ．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据算术平方根的定义计算即可；
（2）先计算算术平方根和立方根，再求和即可．
（1）
解：原式
（2）
解：原式
【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握算数平方根和立方根的定义是解题关键．
21．（2022·浙江丽水·七年级期中）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)6
(2)-11
(3)-19
(4)
【分析】（1）先化简符号，再算加减法；
（2）先算乘方和开方，再算乘法，最后算加法；
（3）利用乘法分配律展开计算；
（4）先变形，再利用乘法分配律合并计算．
（1）
解：
=5-7+8
=6；
（2）
=
=
=-11；
（3）
=
=
=
=-19；
（4）
=
=
=
=
【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序，注意运算律的灵活运用．
22．（2022·浙江金华·七年级期中）你会求（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋‥‥a2＋a＋1）的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：
（a－1）（a＋1）＝a2－1
（a－1）（a2＋a＋1）＝a3－1；
（a－1）（a3＋a2＋a＋1）＝a4－1；
(1)由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋……a2＋a＋1）＝________．
(2)利用上面的结论，求22013＋22012＋22011＋……22＋2＋1的值是__________．
(3)求52013＋52012＋52011＋……52＋5＋1的值．
【答案】(1)a2013－1
(2)22014－1
(3)
【分析】（1）根据题意，由已知算式发现其规律：（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋……a2＋a＋1）＝a2013－1即可得出答案；
（2）由发现的规律，将a换为2，计算即可得到答案；
（3）将a换为5，计算即可得到答案．
（1）
解：由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋……a2＋a＋1）＝a2013－1，
故答案为：a2013－1；
（2）
解：∵（2－1）（22013＋22012＋22011＋……22＋2＋1）＝22014－1
∴22013＋22012＋22011＋……22＋2＋1的值是22014－1；
故答案为：22014－1；
（3）
解：∵（5－1）（52013＋52012＋52011＋……52＋5＋1）
＝，
∴52013＋52012＋52011＋……52＋5＋1的值为
【点睛】此题考查了整式的混合运算，解题关键是根据题中给出的算式发现其中的规律．
23．（2022·浙江金华·七年级期末）如图，一个瓶子的底面是半径为4cm的圆，瓶内装着一些溶液当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为25cm，倒放时，空余部分的高度为5cm．现把瓶子装满溶液，再把全部溶液倒在一个正方体容器里，容器内的溶液高度为10cm．求：
(1)瓶子的容积；
(2)正方体的底面边长（取3）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）瓶子的容积与同底、高为的圆柱体积相等，由此可解；
（2）利用瓶子的容积除以溶液高度可得正方形容器的底面积，底面积的算术平方根即为正方形的边长．
（1）解：∵瓶子的底面是半径为4cm的圆，∴瓶子的底面积为：，由题意可得，瓶子的容积与同底、高为的圆柱体积相等，∴瓶子的容积为：，即瓶子的容积为．
（2）解：由题意，正方形容器的底面积为：，，即正方体的底面边长为．
【点睛】本题考查有理数的混合运算、求一个数的算术平方根，还涉及求常见几何体的体积，读懂题意，得出“瓶子的容积与同底、高为的圆柱体积相等”是解题的关键．
【常考】
一．选择题（共10小题）
1．（2022春•黄石期末）9的平方根是（ ）
A．3B．±3C．±D．±81
【分析】直接利用平方根的定义计算即可．
【解答】解：∵±3的平方是9，
∴9的平方根是±3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平方根的定义，要注意：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根．
2．（2021秋•萧山区期中）＝（ ）
A．±3B．3C．D．
【分析】依据表示9的算术平方根，即可得出结论．
【解答】解：∵表示9的算术平方根，
∴＝3，
故选：B．
【点评】本题主要考查了算术平方根，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
3．（2021秋•新昌县期末）16的算术平方根是（ ）
A．4B．﹣4C．±4D．8
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，直接利用此定义即可解决问题．
【解答】解：∵4的平方是16，
∴16的算术平方根是4．
故选：A．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，此题要注意平方根、算术平方根的联系和区别．
4．（2021秋•柯桥区期末）下列各式中，正确的是（ ）
A．＝±4B．＝﹣3C．±＝4D．＝﹣4
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义求出每个式子的值，再进行判断即可．
【解答】解：A、＝4，故本选项错误；
B、＝﹣3，故本选项正确；
C、±＝±4，故本选项错误；
D、＝4，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了对平方根、算术平方根、立方根的定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
5．（2021秋•义乌市期末）实数3的相反数是（ ）
A．3B．﹣3C．D．﹣
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：实数3的相反数是：﹣3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相反数的定义是解题关键．
6．（2021秋•柯桥区月考）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a＞﹣2B．|a|＞bC．a+b＞0D．b﹣a＜0
【分析】根据图逐项判断对错．
【解答】解：A．由图可得数a表示的点在﹣2左侧，
∴a＜﹣2，A选项错误，不符合题意．
B．∵a到0的距离大于b到0的距离，
∴|a|＞b，B选项正确，符合题意．
C．∵|a|＞b，a＜0，
∴﹣a＞b，
∴a+b＜0，C选项错误，不符合题意．
D．∵b＞a，
∴b﹣a＞0，D选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查数轴与绝对值，解题关键是掌握数轴上点的意义及绝对值的含义．
7．（2021秋•余杭区期中）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若|a|＞|b|，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．b+c＞0B．a+c＜﹣2C．D．abc≥0
【分析】利用特殊值法即可判断；
【解答】解：不妨设a＜c＜b＜0，则A，D错误，a+c＜0，无法判断a+c与﹣2的大小，＜1，
故选：C．
【点评】本题考查实数与数轴、绝对值等知识，解题的关键是学会利用特殊值法解决问题，属于中考常考题型．
8．（2021秋•诸暨市期中）已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】首先判断出b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，再根据有理数的大小比较法则，绝对值的性质等知识一一判断即可．
【解答】解：由题意b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，则
①ab+ac＞0，故原结论正确；
②﹣a﹣b+c＞0，故原结论错误；
③++＝1﹣1+1＝1，故原结论错误；
④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝a﹣b+c+b﹣（﹣a+c）＝2a，故原结论错误；
⑤当b≤x≤a时，|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b，故原结论正确．
故正确结论有2个．
故选：B．
【点评】本题考查了数轴和实数的大小比较，利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
9．（2020秋•丽水期中）估计的值在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
【分析】先估算出的大小，进而估算+1的范围．
【解答】解：∵9＜10＜16，
∴3＜＜4，
∴4＜+1＜5，
∴+1的值在4和5之间．
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．
10．（2021秋•诸暨市期中）若9﹣的整数部分为a，小数部分为b，则2a+b等于（ ）
A．12﹣B．13﹣C．14﹣D．15﹣
【分析】先估算的大小，再估算9﹣的大小，进而确定a、b的值，最后代入计算即可．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴﹣4＜﹣＜﹣3，
∴5＜9﹣＜6，
又∵9﹣的整数部分为a，小数部分为b，
∴a＝5，b＝9﹣﹣5＝4﹣，
∴2a+b＝10+（4﹣）＝14﹣，
故选：C．
【点评】本题考查估算无理数，掌握无理数估算的方法是解决问题的前提，理解无理数的整数部分和小数部分的表示方法是得出正确答案的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2021秋•北仑区期末）的平方根是 ± ．
【分析】由＝3，再根据平方根定义求解即可．
【解答】解：∵＝3，
∴的平方根是±．
故答案为：±．
【点评】本题主要考查平方根与算术平方根，掌握平方根定义是关键．
12．（2021秋•越城区校级月考）的平方根是 ±2 ．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵＝4
∴的平方根是±2．
故答案为：±2
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
13．（2022•恩施州）9的算术平方根是 3 ．
【分析】9的平方根为±3，算术平方根为非负，从而得出结论．
【解答】解：∵（±3）2＝9，
∴9的算术平方根是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了数的算术平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负．
14．（2021秋•余杭区期中）若（x﹣1）3＝8，则x＝ 3 ．
【分析】直接利用立方根的定义得出x的值，进而得出答案．
【解答】解：∵（x﹣1）3＝8，
∴x﹣1＝2，
解得：x＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了立方根，正确开立方是解题关键．
15．（2021秋•永嘉县校级月考）如图，以原点O为圆心，OB为半径的弧交数轴于点A，则点A所表示的数是 ．
【分析】由勾股定理求得OB的长，然后根据OA＝OB可求得点A表示的数．
【解答】解：由勾股定理得：OB＝＝，
∵OA＝OB，
∴点A表示的数是﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用、数轴的认识，利用勾股定理求得OB的长是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
16．（2021秋•平阳县校级月考）将下列各数填在相应的集合里．﹣3.8，﹣10，4.3，，42，0，，π，3.3030030003…．
有理数集合 {﹣3.8，﹣10，4.3，﹣|﹣|，42，0，﹣（﹣），…} ；
正数集合 {4.3，42，﹣（﹣），π，3.3030030003…} ；
负数集合 {﹣3.8，﹣10，﹣|﹣|，…} ；
无理数集合 {π，3.3030030003…} ．
【分析】先对于第四、五、七个式子化简，利用各自的定义判断，即可得到正确结果．
【解答】解：根据题意得：﹣|﹣|＝﹣，42＝16，﹣（﹣）＝，
则有理数集合：{﹣3.8，﹣10，4.3，﹣|﹣|，42，0，﹣（﹣），…}；
正数集合：{4.3，42，﹣（﹣），π，3.3030030003…}；
负数集合：{﹣3.8，﹣10，﹣|﹣|，…}；
无理数集合：{π，3.3030030003…}．
故答案为：{﹣3.8，﹣10，4.3，﹣|﹣|，42，0，﹣（﹣），…}；{4.3，42，﹣（﹣），π，3.3030030003…}；{﹣3.8，﹣10，﹣|﹣|，…}；{π，3.3030030003…}
【点评】此题考查了实数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
17．（2021秋•鄞州区校级期中）在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“＜”连接：π，4，﹣1.5，0，
【分析】根据数轴的特点把各数表示在数轴上，然后根据数轴上的数，右边的总比左边的大进行排列即可．
【解答】解：
∴按从小到大顺序进行排列如下：
﹣1.5＜﹣＜0＜＜π＜4．
【点评】本题主要考查了数轴的知识以及数轴上的数，右边的总比左边的大的性质，需熟练掌握并灵活运用．
18．（2021秋•永嘉县校级月考）已知：3a+1的立方根是﹣2，2b﹣1的算术平方根是3，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求2a﹣b+的平方根．
【分析】（1）根据立方根、算术平方根、无理数的估算即可求出a、b、c的值；
（2）求出代数式2a﹣b+的值，再求这个数的平方根．
【解答】解：（1）∵3a+1的立方根是﹣2，
∴3a+1＝﹣8，
解得，a＝﹣3，
∵2b﹣1的算术平方根是3，
∴2b﹣1＝9，
解得，b＝5，
∵＜＜，
∴6＜＜7，
∴的整数部分为6，
即，c＝6，
因此，a＝﹣3，b＝5，c＝6，
（2）当a＝﹣3，b＝5，c＝6时，
2a﹣b+＝﹣6﹣5+×6＝16，
2a﹣b+的平方根为±＝±4．
【点评】本题考查算术平方根、立方根、无理数的估算，掌握算术平方根、立方根和无理数的估算是正确解答的前提．
19．（2020秋•奉化区校级期末）在数轴上点A表示a，点B表示b．且a，b满足+|b﹣|＝0．
（1）x表示a+b的整数部分，y表示a+b的小数部分，则x＝ 11 ，y＝ ﹣1 ；
（2）若点A与点C之间的距离表示AC，点B与点C之间的距离表示BC，请在数轴上找一点C，使得AC＝2BC，求点C在数轴上表示的数．
【分析】（1）求出a、b的值，再估算a+b的整数部分和小数部分即可；
（2）分三种情况进行解答，即，点C在AB 的延长线上，点C在AB之间，点C在BA的延长线上，分别列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵+|b﹣|＝0，
∴a＝10，b＝，
∴a+b＝10+，
∵1＜＜2，
∴1+10＜+10＜2+10，
即，11＜10+＜12，
∴a+b的整数部分为11，即，x＝11，
a+b的小数部分为10+﹣11＝﹣1，即，y＝﹣1，
故答案为：11，﹣1；
（2）设点C在数轴所表示的额数为c，
①当点C在AB 的延长线上时，BC＝﹣c，AC＝10﹣c，
∵AC＝2BC，
∴10﹣c＝2（﹣c），
∴c＝2﹣10，
②当点C在AB之间时，BC＝c﹣，AC＝10﹣c，
∵AC＝2BC，
∴10﹣c＝2（c﹣），
∴c＝，
③当点C在BA的延长线上时，BC＝c﹣，AC＝c﹣10，
此时，AC不可能等于2BC，因此这种情况不存在，
综上所述，点C所表示的数为2﹣10或．
【点评】本题考查非负数、算术平方根、绝对值和无理数的估算等知识，掌握非负数的性质、算术平方根的意义以及无理数的估算是解决问题的关键．
20．（2020秋•永嘉县校级期末）计算：|﹣5|+﹣32．
【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：|﹣5|+﹣32
＝5+4﹣9
＝0
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
21．（2020秋•永嘉县校级期末）计算：
（1）3+（﹣1）﹣（﹣5）
（2）+（﹣3）2×（﹣）．
【分析】（1）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果；
（2）原式先计算乘方及算术平方根运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝3﹣1+5＝8﹣1＝7；
（2）原式＝2+9×（﹣）＝2+（﹣3）＝﹣1．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【易错】
一．选择题（共13小题）
1．（2021秋•镇海区期末）在实数，，π，﹣4，，3.1415，0.010010001…（每两个1之间多一个0）中，无理数的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：，﹣4是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
3.1415是有限小数，属于有理数；
无理数有π，，0.010010001…（每两个1之间多一个0），共3个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（2021秋•萧山区期中）＝（ ）
A．±3B．3C．D．
【分析】依据表示9的算术平方根，即可得出结论．
【解答】解：∵表示9的算术平方根，
∴＝3，
故选：B．
【点评】本题主要考查了算术平方根，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
3．（2021秋•衢江区期末）下列四个数中，最小的是（ ）
A．2B．0C．πD．﹣4
【分析】根据实数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，判断出四个数中，最小的数是哪个即可．
【解答】解：∵﹣4＜0＜2＜π，
∴四个数中，最小的数是﹣4．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
4．（2021秋•滨江区期末）下列计算正确的是（ ）
A．＝±9B．＝9C．＝±3D．＝3
【分析】直接利用算术平方根和立方根的定义即可得出答案．
【解答】解：A、＝9，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、＝9，原计算正确，故此选项符合题意；
C、＝﹣3，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、＝﹣3，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了算术平方根、立方根，正确掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键．
5．（2021秋•龙泉市期末）在﹣1，，，0这四个实数中，属于无理数的是（ ）
A．﹣1B．C．D．0
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：﹣1、0是整数，属于有理数；是无理数；是分数，属于有理数．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
6．（2021秋•吴兴区期末）下列各数中，无理数是（ ）
A．πB．2.3C．﹣1D．3.14
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、π是无理数，故此选项符合题意；
B、2.3是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、﹣1是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、3.14是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
7．（2021秋•余姚市期末）在，﹣，π，0，，0.5，0.1212212221…（相邻两个1之间依次多一个2）这些数中，无理数的个数有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】根据无理数的概念：无限不循环小数判断即可．
【解答】解：＝﹣3，
无理数有，π，0.1212212221…（相邻两个1之间依次多一个2），共有3个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
8．（2020秋•鄞州区期末）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．2
【分析】根据点b在数轴上的位置可求．
【解答】解：将﹣a，b在数轴上表示出来如下：
∵﹣a＜b＜a．
∴b在﹣a和a之间．
选项中只有﹣1符合条件．
故选：C．
【点评】本题考查实数与数轴上的点的对应关系．找到﹣a的位置是求解本题的关键．
9．（2021秋•江北区期末）在﹣2，﹣，0，1这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣2B．C．0D．1
【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小，判断即可．
【解答】解：∵正数大于0，0大于负数，
∴排除C，D，
∵|﹣2|＝2，|﹣|＝，
∴2＞，
∴﹣2＜﹣，
∴在﹣2，﹣，0，1这四个数中，最小的数是：﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键．
10．（2020秋•海曙区期末）将尺寸如图的4块完全相同的长方形薄木块（厚度忽略不计）进行拼摆，恰好可以不重叠地摆放在如图的甲、乙两个方框内．已知小木块的宽为2，图甲中阴影部分面积为19，则图乙中AD的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】设木块的长为x，结合图形知阴影部分的边长为x﹣2，根据其面积为19得出（x﹣2）2＝19，利用平方根的定义求出符合题意的x的值，由BC＝2x可得答案．
【解答】解：设木块的长为x，
根据题意，知：（x﹣2）2＝19，
则x﹣2＝±，
∴x＝2+或x＝2﹣＜2（舍去），
则BC＝2x＝2+4，
故选：C．
【点评】本题主要考查算术平方根，解题的关键是结合图形得出木块长、宽与阴影部分面积间的关系．
11．（2021秋•滨江区期末）若a，b是﹣1与1（包括﹣1和1）之间的有理数，满足a≠b且b≠0，则a÷b（ ）
A．一定是正数B．一定是整数
C．一定是有理数D．可以是无理数
【分析】根据有理数和无理数的概念判断即可．
【解答】解：∵a，b是﹣1与1（包括﹣1和1）之间的有理数，且满足a≠b且b≠0，
∴a÷b一定是有理数，
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握有理数和无理数的概念是解题的关键．
12．（2020秋•长兴县期末）如图，若数轴上的点A，B，C，D分别表示数﹣1，1，2，3，则表示数4﹣的点应在（ ）
A．点A与点O之间B．点O与点B之间
C．点B与点C之间D．点C与点D之间
【分析】先估计范围，再判断位置．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴0＜4﹣＜1．
∴4﹣对应的点在点O与B之间．
故选：B．
【点评】本题考查无理数的估计，正确求出的范围是求解本题的关键．
13．（2020秋•拱墅区期末）一个物体自由下落时，它所经过的距离h（米）和时间t（秒）之间的关系我们可以用t＝来估计．假设物体从超过10米的高度自由下落，小明要计算这个物体每经过1米所需要的时间，则经过第5个1米时所需要的时间最接近（ ）
A．1秒B．0.4秒C．0.2秒D．0.1秒
【分析】用经过5米所用的时间减去经过4米所用的时间计算即可．
【解答】解：当h＝5时，t＝＝1，
当h＝4时，t＝＝≈0.9，
∴1﹣0.9＝0.1（秒），
∴经过第5个1米时所需要的时间最接近0.1秒，
故选：D．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算的基本方法是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
14．（2021秋•平阳县期中）的算术平方根是 3 ．
【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后即可求出其算术平方根．
【解答】解：∵＝9，
又∵（±3）2＝9，
∴9的平方根是±3，
∴9的算术平方根是3．
即的算术平方根是3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，解题的关键是知道，实际上这个题是求9的算术平方根是3．注意这里的双重概念．
15．（2021秋•诸暨市期中）计算：的平方根＝ ±2 ．
【分析】先求出的值，再根据平方根的定义解答．
【解答】解：∵＝8，
∴的平方根为，±
即±2．
故答案为：±2．
【点评】本题考查了平方根与算术平方根的定义，是基础概念题，熟记概念是解题的关键，要注意先求出的值，再进行解答．
16．（2021秋•西湖区校级期中）根据图中的程序，当输入x为64时，输出的值是 2 ．
【分析】根据立方根、算术平方根的含义和求法，以及有理数、无理数的含义和求法，求出当输入的x＝64时，输出的值是多少即可．
【解答】解：当输入x为64时，
y＝＝8，8是有理数，
＝2，2是无理数，
∴当输入的x＝64时，输出的值是2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了立方根、算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
17．（2021秋•永嘉县校级月考）的算术平方根是 2 ；的平方根是 ±2 ．
【分析】先求得＝4，＝4，再根据算术平方根以及平方根的定义进行求解即可．
【解答】解：∵＝4，＝4，
∴的算术平方根是2；
的平方根是±2．
故答案为：2，±2．
【点评】本题主要考查了算术平方根以及平方根的定义，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．如果一个正数的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
18．（2021秋•鄞州区校级期中）规定：用符号[x]表示一个不大于实数x的最大整数，例如：[3.69]＝3，[+1]＝2，[﹣2.56]＝﹣3，[﹣]＝﹣2．按这个规定，[﹣﹣1]＝ ﹣5 ．
【分析】先求出的范围，求出﹣1的范围，即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴[﹣﹣1]＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求的范围．
19．（2021秋•新昌县期中）若某个正数的平方根是a﹣3与a﹣5，则这个正数是 1 ．
【分析】根据平方根的性质列方程求解．
【解答】解：∵若某个正数的平方根是a﹣3与a﹣5．
∴a﹣3+a﹣5＝0．
∴a＝4．
∴a﹣3＝1，a﹣5＝﹣1．
这个正数是：（±1）²＝1．
故答案为：1
【点评】本题考查平方根与立方根，正确掌握正数的两个平方根互为相反数是求解本题的关键．
20．（2020秋•宁波期末）如果，那么ab＝ ﹣8 ．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，a+2＝0，b﹣3＝0，
解得a＝﹣2，b＝3，
所以，ab＝（﹣2）3＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【点评】本题主要考查了非负数的性质．根据非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，求出a、b的值是解题的关键．
21．（2021秋•平阳县期中）若，则x﹣y＝ 3 ．
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x﹣2＝0，y+1＝0，
解得x＝2，y＝﹣1，
所以，x﹣y＝2﹣（﹣1）＝2+1＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了算术平方根非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
22．（2021秋•下城区校级期中）计算：
（1）＝ 4 ．
（2）4+＝ 8 ．
（3）的立方根为 2 ．
（4）如果的平方根是±3，则＝ 4 ．
【分析】根据立方根、算术平方根和平方根的概念解答即可．
【解答】解：（1）＝4；
（2）4+＝4+＝4+4＝8；
（3）＝8，的立方根为2；
（4）因为的平方根是±3，
所以＝9，
所以a＝81，
所以＝＝＝4．
故答案为：4，8，2，4．
【点评】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．
23．（2021秋•新昌县期中）对于任意实数对（a，b）和（c，d），规定运算“*”为（a，b）*（c，d）＝（ac，bd）；运算“⨁”为（a，b）⨁（c，d）＝（a+c，b+d）．若（1，2）*（p，q）＝（2，﹣4），则（1，2）⨁（p，q）＝ （3，0） ．
【分析】先根据新定义求出p，q，再求值．
【解答】解：由“*”的定义得：（1，2）*（p，q）＝（p，2q）．
∴（p，2q）＝（2，﹣4）．
∴p＝2，2q＝﹣4．
∵q＝﹣2．
∴（1，2）⊕（p，q）＝（1，2）⊕（2，﹣2）＝（1+2，2﹣2）＝（3，0）．
故答案为：（3，0）．
【点评】本题考查用新定义计算，理解新定义，将新定义运算转化成实数的混合运算是求解本题的关键．
三．解答题（共1小题）
24．（2021秋•长兴县期中）如图数轴上有三个点A、B、C，分别表示的数是﹣4，﹣2，3．请回答以下问题：
（1）将点B向左移动三个单位长度后，请写出三个点所表示的数中谁最小？最小数是多少？
（2）只移动A点，要使得其中一点到另两点之间的距离相等，请写出所有的移动方法．
（3）若A、B、C三个点移动后得到三个互不相等的实数，既可以表示为2，a+b，a的形式，又可以表示为0，，b的形式（每个代数式均有意义），直接写出ab+的值．
【分析】（1）若将B点向左移动3个单位后，则变为﹣5，三个点中点B最小，所表示的最小的数是﹣5；
（2）分点A，点B，点C是中点三种情况讨论即可得出．
（3）根据分母不等于0判断出a≠0，从而得到a+b＝0，再求出＝﹣2，从而得到a＝﹣2，b＝2，再根据绝对值的性质求出x的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：（1）将B点向左移动3个单位后，则变为﹣5，
则点B最小，最小数是﹣5；
（2）有3种移动方法：
①点B是中点，则点A向左移动3个单位长度；
②移动后点A是中点，此时点A向右移动4.5；
③点C是中点，此时点A向右移动12个单位长度；
综上，点A向左移动3个单位或向右移动4.5个单位或12个单位；
（3）∵三个互不相等的有理数，既可以表示为2、a+b、a的形式，也可以表示为0，，b的形式，
∴a≠0，
∴a+b＝0，
∴＝﹣2，
∴a＝﹣2，b＝2，
∴ab+＝4+2，
故答案为：6．
【点评】本题考查了数轴的知识，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．第（3）题考查了实数的运算，属于探索性题目，关键是根据已知条件求出未知数的值再计算．
【压轴】
一、单选题
1．（2020·浙江杭州·七年级期末）我们知道，不存在一个实数的平方等于-1．若我们规定一个新数“i”，使其满足．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，从而对于任意正整数n，我们可以得到．同理可得，，．那么的值为（ ）
A．0B．1C．-1D．1
【答案】C
【分析】根据题目所给的规律可以得出，利用此规律即可得出结果．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∵2019÷4=504……3，
∴原式
故选：C
【点睛】本题主要考查新定义，正确的理解题目意思，找出规律是解题的关键．
二、填空题
2．（2020·浙江杭州·七年级期末）求的值，可令，则，因此．仿照以上推理，计算出______．
【答案】
【分析】由题意可令，则，再把两个式子相减即可求得结果．
【详解】解：∵设
∴
∴
∴
∴．
故答案是：
【点睛】本题考查了在式子变化中找规律，解答此类问题的关键是根据所给式子的特征得到规律，再把这个规律应用于解题.
3．（2020·浙江杭州·七年级期末）等边在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和-1，若绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2015次后，点B所对应的数是________．
【答案】2014
【分析】先求出翻转4次，点B所对应的数分别是多少，再归纳总结出一般规律，由此即可得出答案．
【详解】由题意，翻转1次后，点B所对应的数为1
翻转2次后，点B所对应的数为1
翻转3次后，点B位于数轴的上方
翻转4次后，点B所对应的数为4
归纳类推得：翻转以3次为一个循环，每一个循环对应数依次增加3，且第一次和第二次、第四次和第五次、第七次和第八次、对应数值相等
，，
因此，翻转2014次和2015次，点B所对应的数相等
则翻转2015次后，点B所对应的数是
故答案为：2014．
【点睛】本题考查了实数的规律型问题，依据题意，正确归纳出一般规律是解题关键．
4．（2020·浙江杭州·七年级期末）若我们规定表示不小于x的最小整数，例如，，则以下结论：①；②；③的最小值是0；④存在实数x使成立．其中正确的是______．（填写所有正确结论的序号）
【答案】③④
【分析】根据的定义逐个判断即可得．
【详解】①表示不小于的最小整数，则，结论错误
②，则，结论错误
③表示不小于x的最小整数，则，因此的最小值是0，结论正确
④若，则
此时，
因此，存在实数x使成立，结论正确
综上，正确的是③④
故答案为：③④．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，理解新定义是解题关键．
三、解答题
5．（2020·浙江杭州·七年级期末）请阅读以下材料完成下列问题：规定求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把把，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“-3的圈4次方”．一般地，把（n个a且），读作“a的圈n次方”．
（1）直接写出计算结果：________；________；________．
（2）计算：
【答案】（1）1；4；；（2）
【分析】（1）根据“除方”的定义和除法法则计算即可；
（2）根据“除方”的定义和实数的运算顺序和各个运算法则计算即可．
【详解】解：（1）=1；
；
=
故答案为：1；4；；
（2）
==
=
=
【点睛】此题考查的是定义新运算和实数的混合运算，掌握定义新运算公式、实数的运算顺序和各个运算法则是解决此题的关键．
6．（2020·浙江杭州·七年级期末）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“白马有理数对”，记为，如：数对都是“白马有理数对”．
（1）数对中是“白马有理数对”的是_________；
（2）若是“白马有理数对”，求的值；
（3）若是“白马有理数对”，则是“白马有理数对”吗？请说明理由．
（4）请再写出一对符合条件的“白马有理数对”_________（注意：不能与题目中已有的“白马有理数对”重复）
【答案】（1）；（2）2；（3）不是；（4）（6，）
【分析】（1）根据“白马有理数对”的定义，把数对分别代入计算即可判断；
（2）根据“白马有理数对”的定义，构建方程即可解决问题；
（3）根据“白马有理数对”的定义即可判断；
（4）根据“白马有理数对”的定义即可解决问题．
【详解】（1）∵-2+1=-1，而-2×1-1=-3，
∴-2+1-3，
∴（-2，1）不是“白马有理数对”，
∵5+=，5×-1=，
∴5+=5×-1，
∴是“白马有理数对”，
故答案为：；
（2）若是“白马有理数对”，则
a+3=3a-1，
解得：a=2，
故答案为：2；
（3）若是“白马有理数对”，则m+n=mn-1，
那么-n+（-m）=-（m+n）=-（mn-1）=-mn+1，
∵-mn+1 mn-1
∴（-n，-m）不是“白马有理数对”，
故答案为：不是；
（4）取m=6，则6+x=6x-1，
∴x=，
∴（6，）是“白马有理数对”，
故答案为：（6，）．
【点睛】本题考查了“白马有理数对”的定义，有理数的加减运算，一次方程的列式求解，理解“白马有理数对”的定义是解题的关键．
7．（2020·浙江杭州·七年级期末）已知、在数轴上对应的数分别用、表示，且，点是数轴上的一个动点．
（1）求出、之间的距离；
（2）若到点和点的距离相等，求出此时点所对应的数；
（3）数轴上一点距点个单位长度，其对应的数满足．当点满足时，求点对应的数．
【答案】（1）12；（2）-4；（3）或
【分析】（1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方与绝对值同时为0，可得a、b的值，根据两点间的距离，可得答案；
（2）根据A和B所对应的数，可得AB中点所表示的数，即为点P所表示的数；
（3）根据题意可以得到c的值，然后利用分类讨论的方法即可求得点P对应的数.
【详解】解：（1）∵，
∴，，
解得：a=2，b=-10，
∴A、B之间的距离为：2-（-10）=12；
（2）∵P到A和B的距离相等，
∴此时点P所对应的数为：；
（3）∵|ac|=-ac，a=2＞0，
∴c＜0，又|AC|=，
∴c=，BC=12-，
∵，
①P在BC之间时，点P表示，
②P在C点右边时，点P表示，
∴点P表示的数为：或.
【点睛】本题主要考查数轴上的点与绝对值的关系和平方与绝对值的非负性，另外此题有一个易错点，第（3）题中，要注意距离与数轴上的点的区别．