高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册第1章 数列1.3 等比数列同步训练题

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册第1章 数列1.3 等比数列同步训练题，共6页。
1．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a满足( )
A．a≠1B．a≠0或a≠1
C．a≠0D．a≠0且a≠1
2．等比数列{an}中，a3＝6，a4＝18，则a1＋a2＝( )
A．eq \f(4,3)B．eq \f(1,3)
C．eq \f(3,8)D．eq \f(8,3)
3．在等比数列{an}中，a1＝eq \f(1,8)，q＝2，则a4与a8的等比中项是( )
A．±4B．4
C．－2D．－4
4．[2022·湖南株洲长鸿实验学校月考]《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“衰分”得100，60，36，21.6个单位，衰分比为40%，今共有粮m(m>0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，衰分比为20%，已知乙衰分得100石，则丁衰分得( )
A．90石B．80石
C．51.2石D．64石
5．[2022·江苏张家港高二期中]若数列1，a，b，c，9是等比数列，则实数b的值为( )
A．5B．－3
C．3D．3或－3
6．(多选)下列各组数成等比数列的是( )
A．1，－2，4，－8
B．－eq \r(2)，2，－2eq \r(2)，4
C．x，x2，x3，x4
D．a－1，a－2，a－3，a－4
7．已知三个数a，2a＋2，3a＋3成等比数列，则a＝________．
8．已知等比数列{an}满足a1＝2，a4＝－16，则公比q＝________．
9．在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若an＝eq \f(1,2)，求n.
[提能力]
10．[2022·重庆巴蜀中学高二期中](多选)若{an}为等比数列，则下列数列中是等比数列的是( )
A．{a eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(n)) }B．{k·an}，k∈R
C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))D．{lnan}
11．[2022·湖北襄阳四中月考]已知数列{an}为等比数列，且a2，a3，eq \f(3,4)a4成等差数列，则eq \f(a2＋a4,a5＋a7)＝( )
A．eq \f(1,8)或eq \f(27,8)B．eq \f(1,4)
C．eq \f(1,4)或eq \f(9,4)D．eq \f(1,8)
12．在等比数列{an}中，a6－a2＝15，a5－a3＝6，则公比q＝________．
13．在等差数列{an}中，a3＝0.如果ak是a6与ak＋6的等比中项，那么k＝________．
14．[2022·山东泰安高二期末]“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共19大报告，为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠(其余为绿洲)，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为an万平方公里．
(1)求第n年绿洲面积an与上一年绿洲面积an－1(n≥2)的关系；
(2)判断eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an－\f(4,5)))是否是等比数列，并说明理由；
(3)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？(lg2≈0.3010)
[培优生]
15．[2022·湖南临澧一中月考](多选)我国明代音乐理论家和数学家朱载堉在所著的《律学新说》一书中提出了“十二平均率”的音乐理论，该理论后被意大利传教士利玛窦带到西方，对西方的音乐产生了深远的影响．以钢琴为首的众多键盘乐器就是基于“十二平均率”的理论指导设计的．图中钢琴上的每12个琴键(7个白键5个黑键)构成一个“八度”，每个“八度”各音阶的音高都是前一个“八度”对应音阶的两倍，如图中所示的琴键的音高C5＝2·C4(C4称为“中央C”).将每个“八度”(如C4与C5之间的音高变化)按等比数列十二等份，得到钢琴上88个琴键的音阶．当钢琴的A4键调为标准音440Hz时，下列选项中的哪些频率(单位：Hz)的音可以是此时的钢琴发出的音( )
(参考数据：≈1.414，≈1.260，≈1.189，≈1.148，≈1.122，≈1.059)
A．110B．233
C．505D．1244
课时作业(七) 等比数列及其通项公式
1．解析：根据等比数列的定义，各项和公比均不能为0，所以a≠0且1－a≠0，则a≠0且a≠1.
答案：D
2．解析：由题意知q＝eq \f(a4,a3)＝3，∴a2＝eq \f(a3,3)＝2，a1＝eq \f(a2,3)＝eq \f(2,3)，∴a1＋a2＝2＋eq \f(2,3)＝eq \f(8,3).
答案：D
3．解析：由题意得a4＝a1q3＝eq \f(1,8)×23＝1，a8＝a1q7＝eq \f(1,8)×27＝16.
∴a4与a8的等比中项为a6＝4.
答案：B
4．解析：丁衰分为100×(1－20%)2＝64(石).
答案：D
5．解析：设该等比数列公比为q，
∵数列1，a，b，c，9是等比数列，
∴a1＝1，a5＝9，∴a5＝a1×q4，
故9＝1×q4，解得q＝±eq \r(3)，
∴b＝a3＝a1×q2＝3.
答案：C
6．解析：对于A：1，－2，4，－8中，由eq \f(－2,1)＝eq \f(4,－2)＝eq \f(－8,4)＝－2，得数列是以－2为公比的等比数列；对于B：－eq \r(2)，2，－2eq \r(2)，4中，由eq \f(2,－\r(2))＝eq \f(－2\r(2),2)＝eq \f(4,－2\r(2))＝－eq \r(2)，得数列是以－eq \r(2)为公比的等比数列；对于C：当x＝0时，不是等比数列．对于D：a－1，a－2，a－3，a－4中，由eq \f(a－2,a－1)＝eq \f(a－3,a－2)＝eq \f(a－4,a－3)＝a－1，得数列是以a－1为公比的等比数列．
答案：ABD
7．解析：三数a，2a＋2，3a＋3成等比数列，
则(2a＋2)2＝a(3a＋3)，
解得a＝－1或a＝－4，
当a＝－1时，即三个数为－1，0，0，不为等比数列，故舍去，
当a＝－4时，即三个数为－4，－6，－9，为等比数列，
所以a＝－4.
答案：－4
8．解析：∵数列{an}为等比数列，公比为q，a1＝2，a4＝－16，
∴2q3＝－16，
∴q＝－2.
答案：－2
9．解析：(1)因为a5＝a3q2，所以q2＝eq \f(a5,a3)＝eq \f(1,4).所以q＝±eq \f(1,2).当q＝eq \f(1,2)时，an＝a3qn－3＝32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n－3)＝28－n；当q＝－eq \f(1,2)时，an＝a3qn－3＝32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(n－3).所以an＝28－n或an＝32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(n－3).
(2)当an＝eq \f(1,2)时，28－n＝eq \f(1,2)或32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(n－3)＝eq \f(1,2)，解得n＝9.
10．解析：因数列{an}是等比数列，则an＝a1qn－1，q为非0常数，
对于A，eq \f(a eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(n＋1)) ,a eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(n)) )＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(an＋1,an)))eq \s\up12(3)＝q3，显然q3是非0常数，即{a eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(n)) }是首项为a eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(1)) ，公比为q3的等比数列，A正确；
对于B，因k∈R，则当k＝0时，k·an＝0，{k·an}不是等比数列，B不正确；
对于C，eq \f(1,an)＝eq \f(1,a1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,q)))eq \s\up12(n－1)，eq \f(\f(1,an＋1),\f(1,an))＝eq \f(1,q)，即数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是首项为eq \f(1,a1)，公比为eq \f(1,q)的等比数列，C正确；
对于D，若数列{an}中有负数项，则lnan无意义，若∀n∈N＋，an>0，则lnan＝lna1＋(n－1)lnq，{lnan}不是等比数列，D不正确．
答案：AC
11．解析：设等比数列{an}的公比为q，因为a2，a3，eq \f(3,4)a4成等差数列，所以a2＋eq \f(3,4)a4＝2a3，
即a1q＋eq \f(3,4)a1q3＝2a1q2，整理得3q2－8q＋4＝0，(q－2)·(3q－2)＝0，解得：q＝2或q＝eq \f(2,3)，
当q＝2时，eq \f(a2＋a4,a5＋a7)＝eq \f(a1q（1＋q2）,a1q4（1＋q2）)＝eq \f(1,q3)＝eq \f(1,8)；当q＝eq \f(2,3)时，eq \f(a2＋a4,a5＋a7)＝eq \f(1,q3)＝eq \f(27,8).
答案：A
12．解析：因为{an}是等比数列，所以a1≠0，q≠0，由题意知q≠1，
a6－a2＝a1q5－a1q＝a1(q5－q)＝15，
a5－a3＝a1(q4－q2)＝6，
两式相除可得：eq \f(q5－q,q4－q2)＝eq \f(15,6)，即eq \f(q4－1,q3－q)＝eq \f(5,2)，
所以eq \f(（q2－1）（q2＋1）,q（q2－1）)＝eq \f(5,2)，可得：2q2－5q＋2＝0，
解得：q＝2或q＝eq \f(1,2).
答案：2或eq \f(1,2)
13．解析：设等差数列{an}的公差为d，由题意得a3＝a1＋2d＝0，∴a1＝－2d.又∵ak是a6与ak＋6的等比中项，∴a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(k)) ＝a6ak＋6，即[a1＋(k－1)d]2＝(a1＋5d)·[a1＋(k＋5)d]，[(k－3)d]2＝3d·(k＋3)d，解得k＝9或k＝0(舍去).
答案：9
14．解析：(1)由题意得an＝(1－4%)an－1＋(1－an－1)×16%＝0.96an－1＋0.16－0.16an－1＝0.8an－1＋0.16＝eq \f(4,5)an－1＋eq \f(4,25)，所以an＝eq \f(4,5)an－1＋eq \f(4,25)；
(2)由(1)得an＝eq \f(4,5)an－1＋eq \f(4,25)，∴an－eq \f(4,5)＝eq \f(4,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an－1－\f(4,5)))，
所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an－\f(4,5)))是等比数列．
(3)由(2)有an－eq \f(4,5)＝eq \f(4,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an－1－\f(4,5)))，又a1＝eq \f(3,10)，所以a1－eq \f(4,5)＝－eq \f(1,2)，
∴an－eq \f(4,5)＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(n－1)，即an＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(n－1)＋eq \f(4,5)；
an＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(n－1)＋eq \f(4,5)>eq \f(3,5)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(n－1)5.1.
∴至少经过6年，绿洲面积可超过60%.
15．解析：∵A4＝440，eq \f(440,110)＝4＝22，故110Hz是A4往左两个“八度”A2键的音，A正确．
设相邻音阶的公比为q，则eq \f(C5,C4)＝2＝q12，∴q＝.
而A3＝220，A4＝440，A5＝880，eq \f(233,220)＝1.059＝＝q，B正确；
eq \f(505,440)＝1.148＝≠qn(n∈N＋)，C不正确；
eq \f(1244,880)＝1.414＝＝q6，D正确．
答案：ABD