高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册第2章 平面解析几何初步2.4 点到直线的距离复习练习题

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册第2章 平面解析几何初步2.4 点到直线的距离复习练习题，共5页。

1．已知三角形的三个顶点A(2，4)，B(3，－6)，C(5，2)，则过A点的中线长为( )
A．eq \r(10)B．2eq \r(10)
C．11eq \r(2)D．3eq \r(10)
2．点(3，4)关于直线x＋y＋1＝0对称的点坐标为( )
A．(－5，－4) B．(1，－6)
C．(－4，5) D．(－6，1)
3．已知两直线l1：x－y＋6＝0与l2：－3x＋3y－2＝0，则l1与l2间的距离为( )
A．eq \r(2)B．eq \f(8\r(2),3)
C．eq \r(3)D．eq \f(8\r(3),3)
4．已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为3x＋2y＋1＝0和3x＋2y＋4＝0，另一组对边所在的直线方程分别为4x－6y＋c1＝0和4x－6y＋c2＝0，则|c1－c2|＝( )
A．eq \f(3,2)B．eq \f(3\r(13),13)
C．eq \f(6\r(13),13)D．6
5．若直线l经过点(－2，1)，且原点到直线l的距离为2，则直线l的方程为( )
A．3x－4y＋10＝0
B．x＝－2
C．3x－4y＋10＝0或y＝－2
D．3x－4y＋10＝0或x＝－2
6．[2022·湖南嘉禾一中高二月考](多选)已知直线y＝2x与x＋y＋a＝0交于点P(1，b)，则( )
A．a＝－3
B．b＝2
C．点P到直线ax＋by＋3＝0的距离为eq \f(2\r(13),13)
D．点P到直线ax＋by＋3＝0的距离为eq \f(4\r(13),13)
7．已知点A(－2，－2)，B(a，2)且|AB|＝5，则a的值为________．
8．已知两条平行直线3x＋4y－6＝0和3x＋4y＋a＝0之间的距离等于2，则实数a的值为________.
9．[2022·湖南长郡中学高二期中]已知△ABC三个顶点是A(－1，4)，B(－2，－1)，C(2，3).
(1)求BC边上的垂直平分线的直线方程；
(2)求点A到BC边所在直线的距离．
[提能力]
10．[2022·湖南雅礼中学高二月考](多选)与直线l：3x－4y－1＝0平行且到直线l的距离为2的直线方程是( )
A．3x－4y－11＝0B．3x－4y＋9＝0
C．3x－4y＋11＝0D．3x－4y－9＝0
11．若直线y＝2x，x－y＝1，mx＋ny＋3＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为( )
A．eq \f(2\r(3),3)B．eq \r(5)
C．eq \f(\r(5),3)D．eq \f(3\r(5),5)
12．点(－1，0)到直线y＝kx＋1距离的最大值为________．
13．设直线l1：(m＋1)x－(m－3)y－8＝0(m∈R)，则直线l1恒过定点________；若过原点作直线l2∥l1，则当直线l1与l2的距离最大时，直线l2的方程为________．
14．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3，2)，B(4，3)，C(－1，－2).
(1)在△ABC中，求BC边上的高线所在的直线方程；
(2)求△ABC的面积．
[培优生]
15．[2022·湖南雅礼中学模拟]唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2＋y2≤1，若将军从点A(2，0)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( )
A．eq \r(10)－1B．2eq \r(2)－1
C．2eq \r(2)D．eq \r(10)
课时作业(十九) 点到直线的距离
1．解析：设过A点中线长即为线段AD.
D为BC中点：D(eq \f(3＋5,2)，eq \f(－6＋2,2))，即D(4，－2)，
∴|AD|＝eq \r(（4－2）2＋（－2－4）2)＝eq \r(4＋36)＝2eq \r(10).
答案：B
2．解析：设点(3，4)关于直线x＋y＋1＝0对称的点坐标为(x，y)，
由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y－4,x－3)×（－1）＝－1,\f(3＋x,2)＋\f(4＋y,2)＋1＝0))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－5,y＝－4))，
所以点(3，4)关于直线x＋y＋1＝0对称的点坐标为(－5，－4).
答案：A
3．解析：直线l2的方程化为x－y＋eq \f(2,3)＝0，显然，l1∥l2，所以l1与l2间的距离为d＝eq \f(|6－\f(2,3)|,\r(12＋（－1）2))＝eq \f(8\r(2),3).
答案：B
4．解析：3x＋2y＋1＝0与3x＋2y＋4＝0间距离d1＝eq \f(|1－4|,\r(32＋22))＝eq \f(3\r(13),13)，4x－6y＋c1＝0与4x－6y＋c2＝0间距离d2＝eq \f(|c1－c2|,\r(42＋62))＝eq \f(\r(13),26)|c1－c2|，又由正方形可知d1＝d2，即eq \f(3\r(13),13)＝eq \f(\r(13),26)|c1－c2|，解得|c1－c2|＝6.
答案：D
5．解析：当直线l斜率不存在时，方程为x＝－2，满足题意；
当直线l斜率存在时，设直线方程为y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0.
∴原点到直线l距离d＝eq \f(|2k＋1|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq \f(3,4).
∴直线l为eq \f(3,4)x－y＋eq \f(5,2)＝0，即3x－4y＋10＝0.
综上所述，直线l的方程为3x－4y＋10＝0或x＝－2.
答案：D
6．解析：由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝2,1＋b＋a＝0))，解得a＝－3，b＝2，故A、B正确，∴(1，2)到直线－3x＋2y＋3＝0的距离d＝eq \f(|－3＋4＋3|,\r(（－3）2＋22))＝eq \f(4\r(13),13)，故C错误，D正确．
答案：ABD
7．解析：∵点A(－2，－2)，B(a，2)，且|AB|＝5，
∴eq \r(（－2－a）2＋（－2－2）2)＝5，∴a＝1或a＝－5.
答案：1或－5
8．解析：∵3x＋4y－6＝0和3x＋4y＋a＝0之间的距离等于2，∴d＝eq \f(|a＋6|,\r(32＋42))＝2，解得a＝4或－16.
答案：4或－16
9．解析：(1)∵B(－2，－1)，C(2，3)，∴kBC＝eq \f(3＋1,2＋2)＝1，
则所求直线的斜率为k＝－1，
又BC的中点D的坐标为(0，1)，
所以BC边上的中垂线所在的直线方程为x＋y－1＝0.
(2)直线BC的方程为y＋1＝x＋2，即x－y＋1＝0，
则点A(－1，4)到直线BC：x－y＋1＝0的距离为d＝eq \f(|－1－4＋1|,\r(2))＝2eq \r(2).
10．解析：设所求直线方程为3x－4y＋m＝0，由题意得eq \f(|m－（－1）|,\r(32＋（－4）2))＝2，解得m＝9或－11.
答案：AB
11．解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x,x－y＝1))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1,y＝－2))，
所以直线的交点为(－1，－2)，
因为交点(－1，－2)在直线mx＋ny＋3＝0上，
所以m＋2n－3＝0，
所以点(m，n)到原点的距离的最小值为d＝eq \f(|－3|,\r(12＋22))＝eq \f(3\r(5),5).
答案：D
12．解析：直线y＝kx＋1恒过点(0，1)，
则点(－1，0)到直线y＝kx＋1距离的最大值为点(－1，0)到点(0，1)的距离，
∴点(－1，0)到直线y＝kx＋1距离的最大值为：
d＝eq \r(（－1－0）2＋（0－1）2)＝eq \r(2).
答案：eq \r(2)
13．解析：直线l1：(m＋1)x－(m－3)y－8＝0(m∈R)，化为m(x－y)＋(x＋3y－8)＝0，
可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝0,x＋3y－8＝0))，解得x＝y＝2，则直线l1恒过定点(2，2)；
过原点作直线l2∥l1，可设l2方程为(m＋1)x－(m－3)y＝0，
则经过两点(0，0)与(2，2)的直线方程为y＝x.
则当直线l1与l2的距离最大时，l2与直线y＝x垂直．
直线l2的方程为x＋y＝0.
答案：(2，2) x＋y＝0
14．解析：(1)因为B(4，3)，C(－1，－2)，
所以直线BC的斜率kBC＝eq \f(－2－3,－1－4)＝1，
所以BC边上的高线的斜率为－1，
因为BC边上的高线过点A(－3，2)，
所以BC边上的高线所在的直线方程为y－2＝－1×(x＋3)即x＋y＋1＝0.
(2)因为B(4，3)，C(－1，－2)，
所以|BC|＝eq \r(（－1－4）2＋（－2－3）2)＝5eq \r(2)，
直线BC的方程为y－3＝x－4即x－y－1＝0，
点A(－3，2)到直线BC：x－y－1＝0距离d＝eq \f(|－3－2－1|,\r(12＋12))＝3eq \r(2)，
所以△ABC的面积为eq \f(1,2)|BC|·d＝eq \f(1,2)×5eq \r(2)×3eq \r(2)＝15.
15．解析：设点A关于直线x＋y＝3的对称点A′(a，b)，
AA′的中点为(eq \f(a＋2,2)，eq \f(b,2))，kAA′＝eq \f(b,a－2)，
故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(b,a－2)·（－1）＝－1,\f(a＋2,2)＋\f(b,2)＝3))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝3,b＝1))，
要使从点A到军营总路程最短，
即为点A′到军营最短的距离，
“将军饮马”的最短总路程为eq \r(32＋12)－1＝eq \r(10)－1.
答案：A