高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册第3章 圆锥曲线与方程3.4 曲线与方程巩固练习

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册第3章 圆锥曲线与方程3.4 曲线与方程巩固练习，共7页。

1．“点M在曲线y＝|x|上”是“点M到两坐标轴距离相等”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OQ,\s\up6(→))＝2，则点P的轨迹方程为( )
A．x2＋y2＝2B．x2－y2＝2
C．x＋y2＝2D．x－y2＝2
3．[2022·天津耀华中学高二期中]在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对称，点P是动点，且直线AP与BP的斜率之积为－eq \f(1,3)，则点P的轨迹方程为( )
A．3x2＋y2＝4(x≠±1)
B．3x2＋y2＝1(x≠±1)
C．x2＋3y2＝4(x≠±1)
D．x2＋3y2＝1(x≠±1)
4．到定点F(2，0)的距离比到y轴的距离大2的动点的轨迹方程是( )
A．y2＝16x
B．y2＝8x(x≥0)或y＝0(x＜0)
C．y2＝2x
D．y2＝4x
5．已知|eq \(AB,\s\up6(→))|＝3，A、B分别在x轴和y轴上运动，O为原点，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))，则动点P的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝1B．eq \f(x2,9)＋y2＝1
C．x2＋eq \f(y2,4)＝1D．eq \f(x2,4)＋y2＝1
6．(多选)已知定点A(－1，0)、B(1，0)，P是动点且直线PA、PB的斜率之积为λ(λ≠0)，则动点P的轨迹可能是( )
A．圆的一部分
B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分
D．抛物线的一部分
7．[2022·湖南雅礼中学高二月考]一动点P到点A(6，0)的距离是它到直线x＝eq \f(3,2)的距离的2倍，动点P的轨迹方程为________．
8．动点P在曲线y＝2x2＋1上移动，则点P和定点A(0，－1)连线的中点的轨迹方程是________．
9．点B是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1上的动点，A(2a，0)为定点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
[提能力]
10．已知点M(－3，0)，N(3，0)，B(1，0)，动圆C与直线MN相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为( )
A．x2－eq \f(y2,8)＝1(x＞1)
B．x2－eq \f(y2,8)＝1(x＜－1)
C．x2＋eq \f(y2,8)＝1(x＞0)
D．x2－eq \f(y2,10)＝1(x＞1)
11．(多选)已知A(－1，0)，B(1，0)，动点M不在x轴上，设直线AM的斜率为m，直线BM的斜率为n，那么( )
A．若mn为非零实数，则M点在双曲线上运动(除去与x轴的交点)
B．若eq \f(m,n)＝2，则M点在直线上运动(除去与x轴的交点)
C．若m－n＝2，则M点在抛物线上运动(除去与x轴的交点)
D．若m＋n＝2，则M点的纵坐标的取值集合为(－∞，0)∪(0，＋∞)
12．如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M是线段PD上一点，且|MD|＝eq \f(4,5)|PD|.当点P在圆上运动时，动点M的轨迹方程是________．
13．[2022·湖南长郡中学高二期末]一动圆截直线3x－y＝0和3x＋y＝0所得弦长分别为8，4，则该动圆圆心的轨迹方程为________．
14．在平面直角坐标系xOy中，已知动圆C过点F(4，0)，且在y轴上截得的弦长为8.
(1)求动圆的圆心C的轨迹M的方程；
(2)过点F的直线l与曲线M交于A、B两点，若△OAB的面积为32，求直线l的方程．
[培优生]
15．罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线C：xeq \s\up6(\f(2,3))＋yeq \s\up6(\f(2,3))＝1的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计．曲线C围成的图形的面积S________2(选填“>”、“<”或“＝”)，曲线C上的动点到原点的距离的取值范围是________．
课时作业(三十一) 曲线与方程
1．解析：由“点M在曲线y＝|x|上”一定能推出“点M到两坐标轴距离相等”，故充分性成立；当“点M到两坐标轴距离相等”时，点M不一定在曲线y＝|x|上，此时，点M也可能在曲线y＝－|x|上，故必要性不成立．
答案：A
2．解析：设P(x，y)，则Q(x，－y)，
因为eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OQ,\s\up6(→))＝2，
所以x2－y2＝2.
答案：B
3．解析：∵点B与点A(－1，1)关于原点O对称，∴B(1，－1)
设P(x，y)，∵kAP＝eq \f(y－1,x＋1)，kBP＝eq \f(y＋1,x－1)(x≠±1)，且kAP·kBP＝－eq \f(1,3)，
∴kAP·kBP＝eq \f(y－1,x＋1)×eq \f(y＋1,x－1)＝eq \f(y2－1,x2－1)＝－eq \f(1,3)(x≠±1)，∴x2＋3y2＝4(x≠±1)
∴P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1).
答案：C
4．解析：设动点坐标为(x，y)，依题意eq \r(（x－2）2＋y2)＝|x|＋2，
两边平方并化简得y2＝4x＋4|x|，
当x≥0时，y2＝8x，
当x＜0时，y＝0.
答案：B
5．解析：由题意，设P(x，y)，A(a，0)，B(0，b)则eq \(AB,\s\up6(→))＝(－a，b)，因为|eq \(AB,\s\up6(→))|＝3，所以a2＋b2＝9， ①
又因为eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))，所以(x，y)＝eq \f(1,3)(a，0)＋eq \f(2,3)(0，b)＝(eq \f(1,3)a，eq \f(2,3)b)⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝3x,b＝\f(3,2)y)) ②
将②代入③得，9x2＋eq \f(9,4)y2＝9⇒x2＋eq \f(y2,4)＝1，即点P的轨迹方程是x2＋eq \f(y2,4)＝1.
答案：C
6．解析：设点P(x，y)，则kPAkPB＝eq \f(y,x－1)·eq \f(y,x＋1)＝eq \f(y2,x2－1)＝λ，则x2－eq \f(y2,λ)＝1，其中x≠±1.
当λ＝－1时，则方程为x2＋y2＝1(x≠±1)，此时点P的轨迹是圆的一部分；
当λ＜0且λ≠－1时，动点P的轨迹是椭圆的一部分；
当λ＞0时，动点P的轨迹是双曲线的一部分．
答案：ABC
7．解析：设P(x，y)，根据题意eq \r(（x－6）2＋y2)＝2|x－eq \f(3,2)|，化简得：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,27)＝1.
答案：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,27)＝1
8．解析：设P(x0，y0)，且点P和定点A(0，－1)连线的中点为(x，y)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x0,2)＝x,\f(y0－1,2)＝y))，且y0＝2x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋1，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝2x,y0＝2y＋1))，
因此2y＋1＝2×(2x)2＋1，即y＝4x2，
所以点P和定点A(0，－1)连线的中点的轨迹方程是y＝4x2.
答案：y＝4x2
9．解析：设动点M的坐标为(x，y)，设B点坐标为(x0，y0)，
则由M为线段AB中点，可得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x0＋2a,2)＝x,\f(y0＋0,2)＝y))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝2x－2a,y0＝2y))，即点B坐标可表示为(2x－2a，2y)，
因为点B(x0，y0)在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1上，
∴eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,a2)＋eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,b2)＝1，
从而有eq \f(（2x－2a）2,a2)＋eq \f(（2y）2,b2)＝1，
整理得动点M的轨迹方程为eq \f(4（x－a）2,a2)＋eq \f(4y2,b2)＝1.
10．解析：设直线PM，PN与圆C相切的切点分别为点Q，T，如图，
由切线长定理知，|MB|＝|MQ|，|PQ|＝|PT|，|NB|＝|NT|，于是有|PM|－|PN|＝|MQ|－|NT|＝|MB|－|NB|＝2<6＝|MN|，
则点P的轨迹是以M，N为左、右焦点，实轴长2a＝2的双曲线右支，虚半轴长b有b2＝32－a2＝8，
所以点P的轨迹方程为x2－eq \f(y2,8)＝1(x＞1).
答案：A
11．解析：不妨设点M(x，y)且x≠±1，y≠0，故m＝eq \f(y,x＋1)，n＝eq \f(y,x－1)，
对于选项A：因为mn＝eq \f(y2,x2－1)，所以x2－eq \f(y2,mn)＝1，y≠0，
若mn＞0时，则M点在双曲线上运动(除去与x轴的交点)；
若mn＜0时，则M点的轨迹不是双曲线的一部分，故A错误；
对于选项B：由eq \f(m,n)＝2＝eq \f(x－1,x＋1)，解得x＝－3，y≠0，
即点M(x，y)在直线x＝－3上运动(除去与x轴的交点)，故B正确；
对于选项C：由m－n＝eq \f(y,x＋1)－eq \f(y,x－1)＝2，化简可得y＝－x2＋1，y≠0，
即M点在抛物线上运动(除去与x轴的交点)，故C正确；
对于选项D：由m＋n＝eq \f(y,x＋1)＋eq \f(y,x－1)＝2，化简可得y＝x－eq \f(1,x)，y≠0，
因为y＝x－eq \f(1,x)为奇函数且为增函数，y≠0，
故y＝x－eq \f(1,x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确．
答案：BCD
12．解析：设M的坐标为M(x，y)，P的坐标为P(x1，y1)，
因为点D是P在x轴上的投影，M是线段PD上一点，且|MD|＝eq \f(4,5)|PD|，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝x,y1＝\f(5,4)y))，
因为P(x1，y1)在圆x2＋y2＝25上，
所以x2＋(eq \f(5,4)y)2＝25，化简得eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.
答案：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1
13．解析：如图所示：
设点M(x，y)，由条件可得，|AB|＝4，|EC|＝2，
由点到直线的距离公式可得，|MA|2＝eq \f(（3x－y）2,10)，|MC|2＝eq \f(（3x＋y）2,10)，
由垂径定理可得：|MA|2＋|AB|2＝|MC|2＋|EC|2，
∴eq \f(（3x－y）2,10)＋16＝eq \f(（3x＋y）2,10)＋4，化简可得，xy＝10，
∴点M的轨迹方程为xy＝10.
答案：xy＝10
14．解析：(1)设动圆圆心C(x，y)，
由题意知当x≠0时，eq \r(（x－4）2＋y2)＝eq \r(x2＋42).
化简得y2＝8x(x≠0)，
当x＝0时，此时C(0，0)也满足方程，
所以圆心的轨迹M的方程为y2＝8x.
(2)由题意知直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝my＋4,y2＝8x))，整理得y2－8my－32＝0，
且Δ＝64m2＋128＞0，则y1＋y2＝8m，y1y2＝－32，
所以S△OAB＝eq \f(1,2)×|OF|×|y1－y2|＝eq \f(1,2)×4×eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝2eq \r(64m2＋128)＝32，
解得m＝±eq \r(2)，
所以直线l的方程为x－eq \r(2)y－4＝0或x＋eq \r(2)y－4＝0.
15．解析：由题意知x，y∈[－1，1]且既关于x轴对称又关于y轴对称，
当x，y∈(0，1)时xeq \s\up6(\f(2,3))＞x，yeq \s\up6(\f(2,3))＞y⇒1＞x＋y，
同理可得曲线在y＝x＋1，y＝x－1，y＝－x＋1，y＝－x－1四条直线内部，
所以S＜eq \f(1,2)×2×2＝2，
设曲线C上的动点为(x，y)，到原点的距离为d，
则d2＝x2＋y2＝x2＋(1－xeq \s\up6(\f(2,3)))3＝3xeq \s\up6(\f(4,3))－3xeq \s\up6(\f(2,3))＋1，
令t＝xeq \s\up6(\f(2,3))，则t∈[0，1]，则d2＝3t2－3t＋1＝3(t－eq \f(1,2))2＋eq \f(1,4)，
可得d2∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))，所以d∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
答案：＜ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))