2024届福建省泉州市德化第一中学高三上学期第一次月考数学word版含答案

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考试时间：120分钟；
第I卷（选择题）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.
【答案】B
2.
【答案】A
3.
【答案】B
4.
【答案】A
5.
【答案】B
6.
【答案】A
7.
【答案】A
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．）
9. 设
【答案】AB
10.
【答案】ABD
11.
【答案】AD
12.
【答案】ACD
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.
【答案】
14.
【答案】
15. 已知，则的最小值为______.
【答案】
16.
【答案】
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且.求
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意利用三角函数定义即可求得，再由诱导公式代入计算即可得出结果；
（2）利用（1）中的三角函数值以及角的范围可求出，即可得.
【小问1详解】
由，可得，
根据三角函数定义可知，
所以，
即；
【小问2详解】
由且可知，
又，可得；
所以，
可得.
18. 已知的内角的对边分别为，．
（1）求A；
（2）若，求的面积的最大值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求解作答；
（2）利用余弦定理结合均值不等式求出最大值，再由面积公式求解即得；或利用正弦定理及三角形面积公式结合三角形的性质即得.
【小问1详解】
由正弦定理及，得，
，
，即，
，又，
，又，
；
【小问2详解】
法一：在中，由余弦定理得，
，即，当且仅当时等号成立，
，即的面积的最大值为；
法二：在中，由正弦定理得，
，
，
又，
所以当，即时，的面积的取得最大值.
19. 已知函数，当时，函数取得极值.
（1）若在上为增函数，求实数m的取值范围；
（2）若时，方程有两个根，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数极值的定义，结合导数的性质进行求解即可；
（2）构造新函数，利用导数的性质，结合函数零点的性质进行求解即可.
【小问1详解】
由，则，
因为时，取到极值，所以，解得.
又当时，，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得极值，符合题意.
要使在上为增函数，则或，所以或.
即实数的取值范围为.
小问2详解】
令，由（1）得，且，
故，，则，
当时，令，解得，令，解得，
所以的递增区间为，递减区间为，
故，而，，故.
要使有两个根，则.
即实数的取值范围为.
20. 设是函数的两个零点，且的最小值是.
（1）求函数的解析式;
（2）已知实数满足，且对恒有，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数图象性质可知周期，可计算得，即可求出；
（2）易知对可得，即只需，可求得，再由基本不等式即可求得的最小值为.
【小问1详解】
因为函数的两个零点之间的距离最小值为，
所以周期，
可得，解得；
即函数；
所以函数的解析式为；
【小问2详解】
由可得，所以
又恒有，
只需，所以，解得，
即；
易知，
当且仅当时，等号成立；
即可得的最小值为.
21. 如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中直径长为和两点在半圆弧上，满足.设.
（1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段和组成，则当为何值时，观光道路的总长最长，并求的最大值；
（2）若要在景区内种植鲜花，其中在和内种满鲜花，在扇形内种一半面积的鲜花，则当为何值时，鲜花种植面积最大？
【答案】（1）时，观光道路的总长最长，的最大值为5
（2）当时，鲜花种植面积最大
【解析】
【分析】（1）作出辅助线，表达出，，从而求出，配方后得到当，即时，取得最大值，最大值为5；
（2）表达出，，扇形COD的面积，从而求出故，求导得到其单调性，在当时，取得极大值，也是最大值，得到答案.
【小问1详解】
取BC的中点M，AD的中点N，连接OM，ON，由垂径定理可得：OM⊥BC，ON⊥AD，
由题意得：，
，故，
则，
因为，所以，，
故当，即时，取得最大值，最大值为5；
【小问2详解】
，
，
扇形COD的面积，
故，
则，
因为，所以，
故当时，时，，当时，，
故时，单调递增，当时，单调递减，
当时，取得极大值，也是最大值，
故当时，鲜花种植面积最大.
22. 已知函数，为其导函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）若关于的方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围.
【答案】（1）的单调减区间为，增区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数单调性与导数的关系确定函数的单调区间即可；
（2）将方程有两个不相等的实根，转化为函数，在上有两个零点问题，求导数从而讨论函数单调性，结合零点存在定理判断是否符合题意，从而可得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：函数，，则，
令，则，设，则，得，
故时，，函数即单调递减，时，，函数即单调递增，
所以，又时，，又，
所以时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，
故的单调减区间为，增区间为；
【小问2详解】
解：关于的方程有两个不相等的实根，即函数，在上有两个零点，
又，
①当时，，得，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以，又时，，，则函数在上有两个零点；
②当时，，得，，
（i）当时，，此时恒成立，函数单调递增，在上不可能有两个零点，不符合题意；
（ii）当时，，则当时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以，，故函数在区间无零点，在不可能存在两个零点，故不符合题意；
（iii）当时，，则当时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
又，故函数在区间无零点，在不可能存在两个零点，故不符合题意；
③当时，方程只有一个实根1，不合题意；
综上，实数的取值范围.
【点睛】本题考查的是函数单调性、函数零点问题与导数的综合，难度较大.解决含参方程问题得关键是将含参方程转化为函数零点问题，从而利用函数单调性与导数的关系，对参数进行讨论先确定单调性，再结合零点存在定理及函数的极值判断各单调区间零点个数，从而求得参数范围，需要注意的是取值判断函数值符号的过程可结合函数的极限思想看开区间端点处的函数值趋势得正负.