2024届宁夏银川市唐徕中学高三上学期期中考试数学（理）试题含答案

这是一份2024届宁夏银川市唐徕中学高三上学期期中考试数学（理）试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据交集的定义计算可得.
【详解】因为，，
所以.
故选：B
2．若复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】因为，
所以，
则复数在复平面内对应的点为，位于第四象限.
故选：D
3．设是两个单位向量，向量，且，则的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量数量积的定义和运算律求解即可.
【详解】由可得，
又因为是两个单位向量，所以，
所以，即，
解得，因为，所以的夹角为，
故选：A
4．已知等比数列满足，公比，则（ ）
A．32B．64C．128D．256
【答案】B
【分析】根据等比数列通项公式计算可得.
【详解】因为且，
所以.
故选：B
5．已知，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用不等式的性质判断A、B、D，利用特殊值判断C.
【详解】对于A：因为，所以，故A错误；
对于B：因为，所以，故B错误；
对于C：当，时满足，但是无意义，故C错误；
对于D：因为，所以，，
所以，故D正确.
故选：D
6．设，，，是4个正整数，从中任取个数求和所得的集合为，则这个数中最小的数为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】依题意从个正整数中任取个数求和后可得个和，则个和值之和必为的倍数，从而得到这个和为、、、，即可得到，即可求出这四个数.
【详解】从个正整数中任取个数求和后可得个和，则个和值之和为，必为的倍数，
又，，，
所以这个和为、、、，
则，
所以，，，
即这个数分别为、、、，
故这个数中最小的数为.
故选：C
7．“，恒成立”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据全称量词命题为真求出参数的取值范围，即可判断.
【详解】若，恒成立，
当时恒成立，
当时，解得，
综上可得，
所以“，恒成立”是“”的充要条件.
故选：C
8．Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区某种流行病累计确诊病例数（的单位：天）的Lgistic模型：，其中为最大的确诊病例数，当时，约为（）（ ）
A．69B．67C．65D．63
【答案】B
【分析】根据题意得到，再两边取对数求解即可.
【详解】依题得到，即，
两边取对数的，
即，即，
则.
故选：B
9．已知（且）在区间上为减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】依题意可得，即可得到在区间上为增函数，结合二次函数及对数函数的性质计算可得.
【详解】函数，
因为（且）在区间上为减函数，
则在区间上为增函数，
所以在区间上单调递减，且大于(等于)恒成立，
为减函数，
所以，解得，
即实数的取值范围是.
故选：B
10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．
C．在上单调递减
D．的图象的对称中心为，
【答案】A
【分析】根据五点作图法求出函数解析式，再根据余弦函数的性质计算可得.
【详解】由图可得，则，又，所以，
又，根据五点法作图，可得，解得，
所以，故B正确；
因为，所以的图象关于点对称，故A错误；
当，则，因为在上单调递减，
所以在上单调递减，故C正确；
令，，解得，，
所以的图象的对称中心为，，故D正确；
故选：A
11．在中，D为上一点，若（，），当取得最小值时，三角形与三角形的面积比值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由三点共线的，结合基本不等式可得时，取得最小值，结合图形即可求与三角形的面积比.
【详解】由D为上一点，则，则
，
当且仅当且，即，时等号成立，取得最小值.
则，则根据平面向量基本定理知，为靠近的三等分点，
则，则.
故选：B
12．已知定义域为的奇函数，满足，记，下列对函数的描述错误的是（ ）
A．图象关于直线对称B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据奇函数的性质得到且，即可求出，可判断B，结合已知条件推出，从而得到，即可判断C、D，再计算，即可判断A.
【详解】定义域为的奇函数，则且，
又，即，所以，
即，所以，
又，所以，故B正确，
又，
所以，则是以为周期的周期函数，
则，故C错误，D正确；
又，
所以的图象关于直线对称，故A正确；
故选：C
二、填空题
13．若实数满足约束条件，则的最大值为 .
【答案】8
【分析】先作出线性不等式组表示的平面区域，结合目标函数求出其纵截距最小值即得.
【详解】
如图,在平面直角坐标系中，作出约束条件表示的平面区域为边界及其覆盖部分.
由目标函数可得：，求的最大值即求直线的纵截距的最小值，
由图可知，当且仅当直线经过点时，纵截距最小，即
故答案为：8.
14．已知，则 .
【答案】
【分析】利用换元法与三角恒等变换即可得解.
【详解】因为，
令，则，，
所以
.
故答案为：.
15．若不等式对恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】依题意可得不等式对恒成立，令，，则的图象恒在直线的上方（或相切），又直线恒过定点，求出恰好相切时的值，再数形结合即可得解.
【详解】因为不等式对恒成立，则不等式对恒成立，
令，，则的图象恒在直线的上方（或相切），
考查直线恰与相切的情形，又直线恒过定点，
设切点为，又，则，所以，解得，
即切点为，此时切线的斜率为，
由图可得，
故答案为：
16．设等差数列的前项和为，则有以下四个结论：
①若，则
②若，且，则且
③若，且在前16项中，偶数项的和与奇数项的和之比为3:1，则公差为2
④若，且，则和均是的最大值
其中正确命题的序号为 .
【答案】①②④
【分析】利用等差数列的通项公式、下标和性质与前项和公式，依次分析各结论即可得解.
【详解】对于①，因为是等差数列，，
所以，故①正确；
对于②，因为，所以，即是递增数列，
因为，即，所以，
即，则，
所以且，故②正确；
对于③，因为，所以，则，则，
又，
，
所以，即，故，得，，
所以的公差为，故③错误；
对于④，因为，即，
即，整理得，
因为，所以，
由于，所以，故，即，
因为，所以是递减数列，则，，
所以，，
故和均是的最大值，故④正确.
故答案为：①②④.
三、解答题
17． 如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.
（1）求cs∠CAD的值；
（2）若cs∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．
【答案】(1) (2)
【详解】试题分析：
(1)利用题意结合余弦定理可得；
(2)利用题意结合正弦定理可得：.
试题解析：
（I）在中，由余弦定理得
(II)设

在中，由正弦定理，

故
点睛：在解决三角形问题中，面积公式S＝ absin C＝ bcsin A＝ acsin B最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.
18．已知在等差数列中，，等比数列的公比，且，.
(1)求，的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式列式求得，从而得解；
（2）用错位相减法求数列的前n项和．
【详解】（1）依题意，设数列的公差为，而数列的公比为，，，
所以，则，，，
因为，所以，解得，
所以，
则，故.
（2）由（1）知，
则，
，
两式相减，得
.
所以.
19．如图1，在四边形中，， ，，将三角形旋转，旋转到如图2所示的位置，使得.
(1)求证：；
(2)如图3，若为棱的中点且，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，，从而得到平面，即可得证；
（2）取的中点，连接，即可证明平面平面，从而得到平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）取的中点，连接、，因为、，
所以，，
又，平面，
所以平面，又平面，所以.
（2）取的中点，连接，则，由（1）可得，又，
，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，
又平面平面，平面，所以平面，
如图在平面中作，则，建立如图所示空间直角坐标系，
因为，所以，则，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，取，
所以点到平面的距离.
20．2023年“十一”长假期间，某商场的一些店铺纷纷加大了促销力度. 现随机抽取7家店铺，得到其广告促销支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）数据如下：
(1)建立关于的一元线性回归方程（系数精确到0.01），并预测当促销支出为30万元时，销售额为多少万元；
(2)若将店铺的销售额与促销支出的比值称为该店铺的促销效率值，当时，称该店铺的促销手段为“金牌方案”，从这7家店铺中随机抽取4家，记这4家店铺中“金牌方案”的店铺数为X，求X的分布列与期望.
注：参考数据，，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
【答案】(1)；万元；
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）首先计算，再根据参考公式和数据，分别计算，即可得出答案；
（2）根据超几何分布求概率，再根据分布列求期望.
【详解】（1）解：由数据可得；
，
又，
，
.
.
则当时，万元.
即当促销支出为30万元时，销售额为万元.
（2）由题知，7家超市中有3家超市的广告是“好广告”，X的可能取值是0，1，2，3
.
.
所以的分布列为
所以.
21．已知函数，.
证明：（1）存在唯一，使；
（2）存在唯一，使，且对（1）中的.
【答案】（1）详见解析；（2） 详见解析.
【详解】（1）当时，，函数在上为减函数，又，所以存在唯一，使.
（2）考虑函数，
令，则时，，
记，则，
有（1）得，当时，，当时，.
在上是增函数，又，从而当时，，所以在上无零点.
在上是减函数，又，存在唯一的，使.
所以存在唯一的使.
因此存在唯一的，使.
因为当时，，故与有相同的零点，所以存在唯一的，使.
因，所以
【解析】1.零点唯一性的判断；2.函数的单调性的应用.
22．在平面直角坐标系中，给出曲线：（为参数），直线：，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，给出曲线：.
(1)判断曲线与的位置关系；
(2)直线与曲线交于A，B两点，与曲线交于C，D两点，若，求的值.
【答案】(1)外切
(2)
【分析】（1）利用消参法与极坐标转化法求得曲线与的普通方程，再利用两圆位置的判断方法即可得解；
（2）利用圆的弦长公式列出关于的方程，从而得解.
【详解】（1）因为曲线：（为参数），
所以曲线的普通方程为，其圆心，半径为；
因为曲线：，又，
所以曲线的普通方程为，即，其圆心，半径为；
所以，故曲线与外切.
（2）因为直线：，即，
所以曲线到直线的距离为，即直线过圆心，故，
因为，所以，
曲线到直线的距离为，
又，则（负值舍去），
所以，解得.
23．已知函数.
(1)在所给出的坐标系中画出的图象；
(2)解不等式.
【答案】(1)图象见解析
(2)
【分析】（1）将函数解析式化为分段函数，即可画出函数图象；
（2）利用零点分段法分类讨论，分别计算可得.
【详解】（1）因为，
所以的图象如下所示：
（2）不等式，
即或或，
解得或或，
综上可得不等式的解集为.
店铺
A
B
C
D
E
F
G
广告支出/万元
1
2
4
6
10
13
20
销售额/万元
19
32
44
40
52
53
54
0
1
2
3