2024届上海市闵行区六校高三上学期期中联考数学试题含答案

这是一份2024届上海市闵行区六校高三上学期期中联考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，未知，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知集合，，且 .
【答案】
【分析】根据集合交集运算即可得出答案.
【详解】因为，集合，所以集合A，B交集即.
故答案为：
2．不等式的解集是 .
【答案】
【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解即可.
【详解】不等式，即，解得.
故答案为：
3．某党支部理论学习小组抽取了10位党员在该学习平台的学习成绩如下：83，85，88，90，91，91，92，93，96，97，则这10名党员学习成绩的分位数为 ．
【答案】93
【分析】由百分位数定义可得答案．
【详解】根据题意，10个数据从小到大依次为83，85，88，90，91，91，92，93，96，97，
而，
则这10名党员学习成绩的分位数为第8项数据93．
故答案为：93．
4．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，且终边经过点，则 .
【答案】/
【分析】根据终边上的点及三角函数的定义求即可.
【详解】由题设及正切函数的定义知：.
故答案为：
5．函数的定义域为
【答案】
【详解】试题分析：由题意可得：，解得．
【解析】本题函数的定义域，学生的基本运算能力．
6．设常数，若的二项展开式中项的系数为-10，则 ．
【答案】-2
【详解】试题分析：∵的展开式的通项为，令，得，
∴的系数是，∵项的系数为-10，∴，得.
【解析】二项式定理.
7．某校举办校运动会，需从某班级3名男同学4名女同学中选出3名志愿者，选出的3人中男女同学都有的概率为 .
【答案】
【分析】根据题意先求出7人中选3人共有种方法，选出的3人中男女同学都有，则分1男2女，2男1女，求出符合要求的方法数，进而求出答案.
【详解】根据题意,7人中选3人共有种方法，若选出的3人中男女同学都有，则选出为1男2女或2男1女，
若选出 1男2女，方法数为；
若选出 2男1女，方法数为；
所以选出的3人中男女同学都有的方法数共有种
所以选出的3人中男女同学都有的概率为.
故答案为：.
8．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 .
【答案】
【分析】根据余弦定理解三角形，结合同角三角函数的关系即可得到答案.
【详解】因为在中，，，，
所以由余弦定理得，，
又因为，所以.
故答案为：
9．设，求方程的解集 .
【答案】
【解析】分四种情况去绝对值求解即可.
【详解】当时，原方程化为：，
即，
故此时；
当时，原方程化为：，
即，
故此时，与矛盾，舍掉；
当时，原方程化为：，
即，
解得，与矛盾，舍掉；
当时，原方程化为：，
即，
故此时；
综上所述：方程的解集为：.
故答案为：.
10．已知函数，若实数m，n满足，且，则 .
【答案】
【分析】由题设可得，结合得，即可求.
【详解】由题设，则，故，
又，则，
所以.
故答案为：
11．已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】将题中的已知条件转化为两个函数值域的关系求解即可.
【详解】函数在的值域为，
函数在的值域为，
因为对任意的，总存在使得成立，
所以，所以，解得.
故答案为：
12．设曲线与函数的图像关于直线对称，设曲线仍然是某函数的图像，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】设是在点处的切线，进而根据题意得直线关于对称后的直线方程必为，曲线才能是某函数的图像，进而得的方程为，再联立方程即可得，进而得答案.
【详解】设是在点处的切线，
因为曲线与函数的图像关于直线 对称，
所以直线关于对称后的直线方程必为，曲线才能是某函数的图像，
如图所示直线与的角为，所以的倾斜角为，

所以的方程为
故联立方程得，即，
则，即
所以，解得
所以的取值范围为.
故答案为：
二、单选题
13．设，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】C
【分析】根据函数单调性进行判断即可.
【详解】显然，在上单调递增，
若，则；
若，则.
故“”是“”的充要条件.
故选：C
14．记是等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A．16B．8C．4D．2
【答案】C
【分析】利用等差数列定义可求得是以为首项，2为公差的等差数列，代入前n项和公式可求得.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
根据题意可知，解得；
所以可得.
故选：C
15．函数的大致图像为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数奇偶性和特殊点的函数值进行判断即可.
【详解】函数定义域为，
又因为，
所以函数是奇函数，函数图像关于原点对称，故A和B错误；
当时，则，故C错误.
故选：D.
16．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则实数的值是（ ）
A．B．C．0D．
【答案】D
【分析】将原方程根的问题转化为函数图像交点问题，结合函数性质求解答案即可.
【详解】由于函数是定义在上的奇函数，所以讨论情况如下：
作图像如下图所示，
关于的方程，
解得或，
由于与图像有一个公共点，
则图像与图像有三个公共点，如图所示，，
同理，时，，所以实数的值是.
故选：D
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.
三、未知
17．如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，.
(1)求证：直线平面；
(2)求直线与平面所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意可得，，利用线面垂直的判定定理，即可证明结论；
（2）由题意可建立以为原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，利用向量法，即可得出答案．
【详解】（1）证明：底面，平面，
，
在正方形中，，
又，平面，平面，
平面；
（2）由题意可建立以为原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，如图所示：
不妨设，则,0,，,1,，,0,，,1,，,0,，
,1,，,0,，,1,，
设平面的一个法向量为,,，
则，取，则，，
平面的一个法向量为,1,，
设直线与平面所成的角为，
则,，
所以
故直线与平面所成的角的的大小为．
四、解答题
18．已知向量，，函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若，求函数的值域.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由向量数量积的坐标表示及倍角正余弦公式、辅助角公式得，根据正弦型函数的性质求递增区间；
（2）由正弦型函数的性质求值域即可.
【详解】（1）由题设，
令，则，
所以函数的单调递增区间为.
（2）由，则，故，可得，
所以的值域为.
19．为了提高员工的工作积极性，某公司想修订新的“员工激励计划”.新的计划有以下两点需求：
①奖金随着销售业绩的提高而提高；
②销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升；
公司规定销售业绩在10万元或以内时奖金为0，超过10万元则开始计算奖金，销售业绩为20万元时奖金为2千元.设业绩为万元时奖金为千元，现给出三个函数模型：①；②；③.其中，.
(1)请选择合适的函数模型符合该公司新的“员工激励计划”，并给出合理的解释；
(2)试根据（1）选择的函数模型计算销售业绩为200万元时的奖金为多少千元？
【答案】(1)选择模型③；理由见解析
(2)266
【分析】（1）根据题意对各个模型分别求导，然后再比较每个模型的增长幅度快慢，从而选择适合的模型。
（2）根据（1）中选择的模型求出解析式，计算求解。
【详解】（1）选择模型③，理由如下：
当时，
由题意得①，②，③
①②③函数均随增加而增加，满足第一点需求，
但①②函数模型随增加，的值不变或减小，
即增加的幅度不变或减小，不满足第二点需求；
而③函数模型随着增加，增加，即增加的幅度增大，
满足第二点需求， 故选择模型③；
（2）由题意得，，
，解得：，故，
所以.
故销售业绩为200万元时的奖金为266千元.
20．已知函数.
(1)若，，求函数在点处的切线方程；
(2)若，，点是函数上的动点，设点处切线的倾斜角为，求倾斜角的取值范围；
(3)若，对任意的，，都有，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据，，得，则，求出，所以过P切线斜率为，写出切线方程即可.
（2）若，,，，所以点处切线斜率范围为，根据直线斜率与倾斜角的关系进而求出倾斜角的取值范围.
（3）若，则，对任意的，，不妨设，由得即，构造，则在上单调递增，则在上恒成立，进而求出实数的取值范围.
【详解】（1）若，，则，得，P点坐标为，过P切线斜率为，所以切线方程为.
（2）若，,则，，设函数上的动点，
则处切线斜率范围为，当且仅当即时取等号；
所以切线倾斜角的正切值，所以角的范围为.
（3）若，则，对任意的，，不妨设，由得即，
令，则在上单调递增，则在上恒成立，
即，由当时取最大值1，
所以.
五、未知
21．对于函数，若函数是严格增函数，则称函数具有性质.
(1)若，求的解析式，并判断是否具有性质；
(2)判断命题“严格减函数不具有性质”是否为真命题，并说明理由；
(3)若函数具有性质，求实数的取值范围，并讨论此时函数在区间上零点的个数.
【答案】(1)，具有性质
(2)该命题为假命题，理由见解析
(3)实数的取值范围为；讨论零点个数见解析
【分析】（1）根据题中定义进行求解和判断即可；
（2）举出反例即可说明原命题为假命题；
（3）根据题意得到，结合题中定义与二次函数相关知识得到实数的取值范围；再进行参变分离，将零点个数问题转化为图像交点问题求解即可.
【详解】（1）因为，
所以，
显然，在上是严格增函数，所以具有性质
（2）假命题，理由如下：
例如，函数是上的严格减函数，
而是上的严格增函数，
此时，严格减函数具有性质，故该命题为假命题
（3）由题意知，，
因为函数具有性质，
所以，解得.
由题意知，函数，
令，则，
即或，
即或或，
令，
如图，作和图像如左图，记交点横坐标为，
作和图像如右图，
显然，在单调递减，
当时，，无解，则在区间上零点的个数为；
当时，，解得，则在区间上零点的个数为；
当时，，有两个根，则在区间上零点的个数为.
综上所述，当时，在区间上零点的个数为；
当时，在区间上零点的个数为；
当时，在区间上零点的个数为.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.