2024届四川省成都市第七中学高三上学期期中考试数学（文）试题含答案

这是一份2024届四川省成都市第七中学高三上学期期中考试数学（文）试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】化简集合，结合集合的运算即可.
【详解】由，，
，，
则A,C,D错误，B正确.
故选：B
2．设复数满足，则的共轭复数（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据复数得乘除法运算求得复数z，然后根据共轭复数得概念即可得出答案.
【详解】解：因为，所以，
所以.
故选：A.
3．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义求出的值，再由，在所得分式的分子和分母中同时除以，再代入的值计算即可得解.
【详解】由已知条件可知，点在直线上，则，，
所以，.
故选：B.
4．已知数列是等差数列，，则的值为（ ）
A．15B．C．10D．
【答案】D
【分析】根据等差数列的性质即可求解，进而可得公差，即可求.
【详解】，故可得：，所以公差，
因此
故选：D
5．已知空间两不同直线、，两不同平面，，下列命题正确的是（ ）
A．若且，则
B．若且，则
C．若且，则
D．若不垂直于，且，则不垂直于
【答案】C
【分析】A选项，与可能平行、相交或异面， B选项，有或， C选项，由面面垂直的判定定理可知正确.D选项，与有可能垂直.
【详解】对于A选项，若且，则与可能平行、相交或异面，故A错误.
对于B选项，若且，则或，故B错误.
对于C选项，因为，所以由线面平行的性质可得内至少存在一条直线，使得，又，所以，由面面垂直的判定定理可知，故C正确.
对于D选项，若不垂直于，且，与有可能垂直，故D错误.
故选:C.
6．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则关于函数以下说法正确的是（ ）
A．最大值为1，图象关于直线对称
B．周期为，图象关于点对称
C．在上单调递增，为偶函数
D．在上单调递减，为奇函数
【答案】A
【分析】先通过平移求出，然后利用余弦函数的性质逐一判断即可.
【详解】将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，
则函数，
对于A：，图象关于直线对称，正确；
对于B：函数的最小正周期为，，
图象不关于点对称，错误；
对于C：，为偶函数，
当时，，
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，在单调递增，错误；
结合选项C，当时，，因为在上单调递减，
所以在单调递增，D错误.
故选：A.
7．如图，在中，，是边一点，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】以，为基底，将分别用基底表示，再结合数量积的运算律可得答案.
【详解】
故选：A．
8．设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分别化简计算，分别与比较大小，即可得的大小关系.
【详解】因为，，，所以.
故选：D.
9．如图，平面四边形中，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，四面体的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意取的中点，的中点，连接，可得为外接球的球心，再由球的体积公式，即可得到结果.
【详解】
取的中点，的中点，连接，由题意可知，，所以，由于平面平面，
所以平面，所以,，所以，
在中，，
所以四面体的外接球的球心为，半径为，
所以该球的体积.
故选：B
10．已知函数，在有且只有一个极值点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出导函数，问题转化为在上只有一个变号零点，再求导数确定单调性，利用零点存在定理求解．
【详解】，由题意在上只有一个变号零点，
设，，
时，在上没有极值点，
，
时，恒成立，递减，时，，因此，，所以，
时，恒成立，递增，时，，因此，，所以，
时，时，，递增，时，，递减，
，时，，，
因此若，则在上至多只有一个不变号零点，所以且，由得，此时满足题意．
综上，的范围是．
故选：C．
11．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为
A．3B．2C．D．2
【答案】A
【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.
设,
易得圆的半径，即圆C的方程是，
，若满足，
则，，所以，
设，即，点在圆上，
所以圆心到直线的距离，即，解得，
所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.
【点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
12．已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：如图取与重合，则由直线同理由,故选A.
【解析】1、椭圆及其性质；2、直线与椭圆.
【方法点晴】本题考查椭圆及其性质、直线与椭圆，涉及特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.
二、填空题
13．曲线在点处的切线的倾斜角为 ．
【答案】
【分析】求得的导数，将代入，可得切线的斜率，再由直线的斜率公式，计算可得所求倾斜角．
【详解】函数的导数为，
可得曲线在点处的切线的斜率为，
则切线的倾斜角满足，，解得.
故答案为：．
【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查运算能力，属于基础题．
14．点到双曲线的一条渐近线的距离为 .
【答案】/1.8
【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，
结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.
故答案为：
15．数列满足：，数列的前项和记为，则 ．
【答案】2191
【分析】，对分类讨论，利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出.
【详解】数列是以公差的等差数列;
.
,数列是以公比的等比数列;
.
.
故答案为：2191.
16．已知，，则在下列关系①②③④中，能作为“”的必要不充分条件的是 （填正确的序号）.
【答案】②③
【分析】利用基本不等式可判断①；数形结合，作出的图象，结合不等式相应的几何意义判断②；利用放缩法说明，再用构造函数，利用导数知识说明，从而判断③；构造函数，求导判断单调性，数形结合，说明两命题之间的推理关系，判断④.
【详解】对于①，取，满足，但不满足，
即成立推不出，
由于，故，
而，故，当且仅当时取等号，
即成立可推出成立，
故不是“”的必要不充分条件；
对于②，作出函数的图象，如图曲线，即将的图像向右平移1个单位得到；
则（）表示几何意义为曲线在第一象限内和坐标轴围成的区域部分（不含坐标轴），
则中相应的点所在区域即上述区域；
而表示的几何意义为直角三角形区域部分（不含坐标轴），
显然直角三角形区域部分（不含坐标轴）对应集合为曲线在第一象限内和坐标轴围成的区域部分（不含坐标轴）相应集合的真子集，
即是的必要不充分条件，
对于③，由得，故，（），
设，则，
则在上单调递减，且，
则存在，使得，即时，，在上单调递增，
时，，在上单调递减，
而，则在上恒成立，
即，故；
而当成立时，不妨取，成立，
但不成立，故是的必要不充分条件；
对于④，当时，设，
则，显然在单调递增，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
又，
作出的大致图象如图：
由图象可知存在，使得，
故当时，只有唯一解，
若，则与条件不符；
即此时得不出，
即不是的必要条件，
故能作为“”的必要不充分条件的是②③，
故答案为：②③
【点睛】关键点点睛：本题考查了必要条件的判断，实质还是考查导数的应用，难度较大，难点是选项③④的判断，解答时要注意利用放缩法结合构造函数判断③，利用构造函数，判断函数单调性，数形结合判断④.
三、解答题
17．在中，内角所对的边分别为，其外接圆半径为1，，．
(1)求；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由正弦定理可得，再由平方关系计算可得；
（2）由正弦定理得到，再由（1）可得，利用余弦定理求出，最后由面积公式计算可得.
【详解】（1）因为且外接圆半径为1，根据正弦定理得，
即，代入，
即，
由于，则，所以，
则，解得．
（2）因为，
根据正弦定理得，即，由（1）知．
由余弦定理得，解得．
又因为，所以，所以．
18．某家庭记录了未使用节水龙头天的日用水量数据（单位：）和使用了节水龙头天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头天的日用水量频数分布表
（1）作出使用了节水龙头天的日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
【答案】（1）直方图见解析；（2）；（3）.
【分析】（1）根据题中所给的使用了节水龙头天的日用水量频数分布表，算出落在相应区间上的频率，借助于直方图中长方形的面积表示的就是落在相应区间上的频率，从而确定出对应矩形的高，从而得到直方图；
（2）结合直方图，算出日用水量小于的矩形的面积总和，即为所求的频率；
（3）根据组中值乘以相应的频率作和求得天日用水量的平均值，作差乘以天得到一年能节约用水多少，从而求得结果.
【详解】（1）频率分布直方图如下图所示：
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后天日用水量小于的频率为
；
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于的概率的估计值为；
（3）该家庭未使用节水龙头天日用水量的平均数为
．
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为．
估计使用节水龙头后，一年可节省水．
【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的绘制、利用频率分布直方图计算变量落在相应区间上的概率、利用频率分布直方图求平均数，在解题的过程中，需要认真审题，细心运算，仔细求解，就可以得出正确结果.
19．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的菱形，，，，，点M、N分别是AB、CD的中点.
(1)求证：平面PAB；
(2)求四面体PMND的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）根据题意，由勾股定理分别证明，，再由线面垂直的判定定理即可证明；
（2）根据题意，由三棱锥的体积公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）证明：连接PM，在中，，，所以.
因为点M是AB的中点，所以.
在中，，，，由余弦定理，有，
所以，所以.
在中，，，满足，所以.
又，AB、平面PAB，所以平面PAB.
（2）
四面体PMND的体积即三棱锥的体积.
因为平面PAB.且平面ABCD，所以平面平面ABCD.
作交AB于H，且平面平面.又平面PAB﹐
所以平面ABCD.
在中，，即三棱锥的高为.
因为，所以，所以在中，.
所以，
即四面体PMND的体积为2.
20．已知抛物线的焦点为，过抛物线上除原点外任一点作抛物线准线的垂线，垂足为，直线是的角平分线．
(1)求直线与抛物线交点的个数；
(2)直线与抛物线的准线相交于点，过作抛物线的切线，切点为（不与点重合），求面积的最小值．
【答案】(1)只有一个交点
(2)4
【分析】（1）由的中点坐标，判断出的角平分线即为中垂线，设出方程与抛物线方程联立，判别式为0即可；
（2）根据抛物线上的点的切线方程，由两切线方程得两切点连线的直线方程，再与抛物线联立，结合弦长公式，点到直线的距离公式即可求.
【详解】（1）设，则坐标为中点坐标为
又为等腰三角形，的角平分线即为中垂线，
的方程为，
联立，得，
与抛物线只有一个交点.
（2）设点，由题意可知，为抛物线的两条切线．
先证：过抛物线上一点且与抛物线相切的方程为，
证明：设过的切线的斜率为，
则由点斜式得切线方程为，
则，得，
相切，即
则，因为点在抛物线上，
则，故， ，
代入得，整理得：，
因为，代入上式得，，
化简得：．
因此，设，
则根据上述结论可知：，
因为都过点，带入上式得：，所以可知点都在直线上，因此直线的方程为．
联立，得
，点到直线距离分
当时，面积有最小值4．
21．已知函数，.
(1)若，求函数的极值；
(2)若不等式对恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)，无极大值
(2)
【分析】（1）化简函数，利用函数的导数，通过a与以及的大小，判断导函数的单调性求解函数的极值，
（2）设，求导函数，利用换元的思想得到，二次求导，判断导函数的正负，利用函数的单调性转化求解.
【详解】（1），，
∵的定义域为.
∵，则，∴，有（舍去），，
则当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，无极大值.
（2）设，，
设，则，，
，
∴在上递增，∴的值域为，
①当时，，为上的增函数，
∴，适合条件.
②当时，∵﹐∴不适合条件.
③当时，对于，，
令，，
存在，使得时，，
∴在上单调递减，
∴，即在时，，
∴不适合条件.
综上，a的取值范围为.
【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的应用，考查分类讨论的思想的应用.
22．已知曲线为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求曲线的普通方程和的直角坐标方程；
(2)若曲线与交于两点，点是曲线上异于点的任意一点，求的面积的最大值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由曲线的参数方程，消去参数，得到曲线的直角坐标方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得曲线的直角坐标方程；
（2）求得圆心到直线的距离为，再由圆的弦长公式，求得弦长，结合圆上动点到弦的距离的最大值为，结合面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：由曲线为参数），消去参数，
可得曲线的直角坐标方程为，即，
又由，代入，曲线的直角坐标方程为．
（2）解：由（1）知，圆的圆心坐标为，
则圆心到直线的距离为，
可得圆上动点到弦的距离的最大值为，
又由圆的弦长公式，可得，
所以的面积的最大值为．
23．已知函数
（1）解不等式；
（2）若，且，求证：.
【答案】（1），（2）证明见解析
【解析】（1）将已知条件代入函数可得分段函数，然后分类讨论求解不等式即可；
（2）将不等式化简展开得，再平方作差即，再进行因式分解得，即得证该不等式成立
【详解】解：（1）由题意得，
当时，由，解得，
当时，不成立，
当时，由，解得，
所以不等式的解析为，
（2）由题意可得，要证
即证，
即证
因为
所以
所以，所以，
所以
【点睛】方法点睛：此题考查了解绝对值不等式、证明不等式，常见的方法有：
（1）利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合的思想；
（2）利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
（3）通过构造函数，利用函数图像求解；
（4）证明不等式的方法有：比较法、分析法、综合法等
日用水量
频数
日用水量
频数