2024届天津市滨海新区实验中学滨海学校高三上学期期中质量调查数学试题含答案

这是一份2024届天津市滨海新区实验中学滨海学校高三上学期期中质量调查数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知全集，集合，，则为
A．{1,2,4}B．{2,3,4}C．{0,2,4}D．{0,2,3,4}
【答案】C
【分析】先根据全集U求出集合A的补集，再求与集合B的并集．
【详解】由题得，故选C.
【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式，可得或，则“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当时，，选项B错误.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
4．设,若直线与直线平行,则的值为
A．B．C．或D．或
【答案】B
【分析】由a（a+1）﹣2=0，解得a．经过验证即可得出．
【详解】由a（a+1）﹣2=0，解得a=﹣2或1．
经过验证：a=﹣2时两条直线重合，舍去．
∴a=1．
故选B．
【点睛】本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．已知，则
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】运用中间量比较，运用中间量比较
【详解】则．故选B．
【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．
6．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上､下底面圆的圆心，且，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆锥与圆柱的体积公式，可得答案.
【详解】已知底面圆的半径，由，则，
故该陀螺的体积.
故选：D.
7．设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】A
【分析】根据斜率的公式，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】如图所示：

依题意，，
要想直线l过点且与线段AB相交，
则或，
故选：A
8．已知函数的图象向左平移个单位长度后得到函数
的图象，则φ的可能值为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】A
【分析】根据辅助角公式，结合正弦型函数的图象变换性质进行判断即可.
【详解】，
函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象解析式为：
，
所以有，
显然只有选项A符合，
故选：A
9．已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，．若双曲线右支上存在点，使得与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用渐近线方程和直线解出Q点坐标，再由得P点坐标，代入双曲线方程得到a、b、c的齐次式可解.
【详解】如图，因为与渐近线垂直
所以的斜率为，方程为
解的Q的坐标为
设P点坐标为
则，
因为，
所以，得点P坐标为，
代入得：
所以，即
所以渐近线方程为
故选：B.
10．对，当时，，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先将不等式等价变形，再构造函数，，再结合函数的单调性、最值即可求解．
【详解】由，当时，
则等价于，即等价于，
即等价于，即等价于，
令，，
即等价于对，当时，，
即函数在上单调递减，
即对，，即，
由，则，所以，
所以实数的取值范围是．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：将题目中的不等式条件等价转化为，再构造函数是解答本题的关键．
二、填空题
11．已知(i为虚数单位)，则 .
【答案】
【分析】根据复数的除法运算化简复数，再由复数的模的运算得答案.
【详解】因为，所以，
所以，
故答案为：.
12．已知向量，，若，则实数k的值为 ．
【答案】4
【分析】根据平面向量垂直的坐标表示运算求解.
【详解】因为，所以，解得．
故答案为：4.
13．已知，，则的值为 .
【答案】
【分析】利用正切函数的和差公式即可得解.
【详解】因为，，
所以.
故答案为：.
14．圆心在直线上且与直线相切于点的圆的方程是 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出过切点的圆半径所在直线方程，进而求出圆心坐标即可作答.
【详解】依题意，过切点的圆的半径所在直线方程为，即，
由解得，因此所求圆的圆心为，半径，
所以所求圆的方程为.
故答案为：
15．以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 ．
【答案】
【详解】双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)．
答案：
三、双空题
16．已知、分别为（）椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若，，则 ，椭圆的离心率为 .
【答案】
【分析】由给定条件结合向量的线性运算计算得即可，在、中借助勾股定理建立a，c的关系即可作答.
【详解】依题意，，于是得，即，所以；
令，因，则，由椭圆定义知，，，而
在中，，即，解得，
显然，中，椭圆半焦距为c，有，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：；.
17．如图，在中，，D,E分别边AB,AC上的点,且，则 ，若P是线段DE上的一个动点，则的最小值为 .
【答案】 1
【解析】由利用数量积公式可求的值为1，设的长为，则，，利用平面向量的几何运算法则结合数量积的运算法则，可得，再利用配方法可得结果
【详解】，；
又因为且，为正三角形，
，，，
设的长为（），则，，
时取等号，
的最小值为.
故答案为：1，.
【点睛】向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．
18．已知函数，函数有四个不同零点，从小到大依次为，则实数的取值范围为 ；的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据函数性质画出的图象，将问题化为与有四个交点，数形结合法求a范围，再由是的两个根、是的两个根，结合根与系数关系求的范围.
【详解】由题设，当时，，且单调递减；
当时，，且单调递增；
当，，且单调递减；
当，，且单调递增；
综上，的函数图象如下：
所以有四个不同零点，即与有四个交点，由图知：，
则在上，在上，
令，则，即是的两个根，故，
而是，即的两个根，故，
所以.
故答案为：，
【点睛】关键点点睛：将问题转化为与有四个交点，数形结合求参数范围，进而把看作对应方程的根，应用根系关系及对数性质求范围.
四、解答题
19．在中，角，，所对的边分别是，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)设，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，再运用正弦的和角公式求得，根据角B的范围可求得答案；
（2）运用余弦定理求得b，再运用正弦定理求得，利用同角三角函数间的关系，正弦的二倍角公式，以及正弦的和角公式可求得答案.
【详解】（1）解：由正弦定理得，即.
∴，
又，∴，则，
又，故.
（2）解：由，，可得，即，
因为，所以，
又，则，，
所以，，
∴.
20．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点.

(1)求证：；
(2)求直线AB与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，然后由向量的数量积为，即可证明向量垂直；
（2）根据题意，由空间向量的坐标运算，再结合线面角的计算公式，即可得到结果.
【详解】（1）
证明：根据题意，以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，
，，，，，
，，
则，
所以，即；
（2）由（1）可得，，设平面的法向量为
则，解得，取，则
所以平面的一个法向量为，
又因为，
设AB与平面所成角为，
所以，
所以直线AB与平面所成角的正弦值为.
21．在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成角的大小；
(3)已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】先证明直线PD⊥平面ABCD.以点D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系.
（1）利用向量法证明平面；
（2）利用向量法求平面与平面所成角；
（3）设，因为异面直线与所成角的余弦值为，求出t的值，代点到面的距离公式求点到平面的距离.
【详解】（1）证明：（1）∵平面平面，平面平面，
平面，，所以直线平面.
以为原点，，，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
由题可知为平面的一个法向量，所以.
又因为平面，平面.
（2）解：，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面与平面所成角的大小为，
则，，
∴平面与平面所成角的大小为.
（3）点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，
设则，，，，
，
解得，∴线段的长为.
设平面的法向量，
则，取，得，
又，所以.
22．已知函数，(a，b∈R)
（1）当a=﹣1，b=0时，求曲线y=f(x)﹣g(x)在x=1处的切线方程；
（2）当b=0时，若对任意的x∈[1，2]，f(x)+g(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a=0，b>0时，若方程f(x)=g(x)有两个不同的实数解x1，x2(x12.
【答案】（1）（2）（3）证明见解析
【分析】（1）求出的导函数，求出函数在时的导数得到切线的斜率，然后用一般式写出切线的方程；
（2）对，，都成立，则对，，，恒成立，构造函数，求出的最大值可得的范围；
（3）由，得，构造函数，将问题转化为证明，然后构造函数证明即可．
【详解】（1）当时，时，，
当时，，
，
当时，，
曲线在处的切线方程为；
（2）当时，对，，都成立，
则对，，恒成立，
令，则．
令，则，
当，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减，
，，
的取值范围为；
（3）当，时，由，得，
方程有两个不同的实数解，，
令，则，，
令，则，
当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，
，
，
又，（1），
，
，
只要证明，就能得到，即只要证明，
令，
则，
在上单调递减，则，
，
，
，
，
即，证毕．
【点睛】本题主要考查求曲线的切线方程，不等式恒成立问题和利用导数研究函数的单调性，考查函数思想和分类讨论思想，属难题．