高中数学1.1 导数概念及其意义综合训练题

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这是一份高中数学1.1 导数概念及其意义综合训练题，共5页。

A．f′(1)>f′(2)>0>f′(3)
B．f′(1)C．0D．f′(1)>f′(2)>f′(3)>0
2．已知函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x＋5，则f(2)＋f′(2)＝( )
A.14B．11
C．10D．9
3．如图所示，直线l是曲线y＝f(x)在点(5，6)处的切线，则f′(5)＝________．
4．求曲线f(x)＝2x2－x在点P(1，1)处的切线l的方程．
5.已知函数y＝f(x)在x＝2处的切线与直线x＋2y－3＝0垂直，则f′(2)＝( )
A．2B．1
C．0D．－1
6．曲线f(x)＝eq \f(9,x)在点(3，3)处的切线的倾斜角为( )
A．eq \f(π,4)B．eq \f(π,3)
C．eq \f(3π,4)D．eq \f(2π,3)
7．曲线y＝x2＋8在点P(1，9)处的切线与y轴交点坐标为________．
8．若曲线y＝ax2在x＝a处的切线与直线2x－y－1＝0平行，求实数a.
9．已知曲线f(x)＝eq \f(1,x).
(1)求曲线在点P(1，1)处的切线方程；
(2)求曲线过点Q(1，0)的切线方程．
10.(多选)过x轴上一点作函数y＝x3－x的图象的切线，则切线的条数可能为( )
A．0B．1
C．2D．3
11．设点P是曲线f(x)＝－x3＋eq \r(2)x＋2上的任意一点，k是该曲线在点P处的切线的斜率．
(1)求k的取值范围；
(2)求当k取最大值时，该曲线在点P处的切线方程．
课时作业(三) 导数的几何意义
1．解析：如图，作出函数图象上在x＝1，2，3处的切线l1，l2，l3，可见三条切线的斜率依次递减，但是都大于零，由导数的几何意义可知，导数即为切线的斜率，所以f′(1)>f′(2)>f′(3)>0.
答案：D
2．解析：∵f(2)＝2×2＋5＝9，f′(2)＝2，
∴f(2)＋f′(2)＝11.
答案：B
3．解析：由图象可知直线l过(5，6)，(0，2)，
所以直线l的斜率为eq \f(6－2,5－0)＝eq \f(4,5)，
所以f′(5)＝eq \f(4,5).
答案：eq \f(4,5)
4．解析：因为eq \f(f（1＋d）－f（1）,d)＝eq \f(2（1＋d）2－（1＋d）－2＋1,d)＝3＋2d，
所以当d→0时，3＋2d→3，
即f′(1)＝3，
所以切线l的方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
5．解析：直线x＋2y－3＝0的斜率为－eq \f(1,2)，
则由函数y＝f(x)在x＝2处的切线与直线x＋2y－3＝0垂直可得：
函数y＝f(x)在x＝2处的切线斜率为2，即f′(2)＝2.
答案：A
6．解析：因为eq \f(f（3＋d）－f（3）,d)＝eq \f(\f(9,3＋d)－\f(9,3),d)＝－eq \f(9,9＋3d)，
所以当d→0时，－eq \f(9,9＋3d)→－1.
∴f′(3)＝－1.又切线的倾斜角的范围为[0，π)，
∴所求倾斜角为eq \f(3π,4).
答案：C
7．解析：因为当d→0时，eq \f(（1＋d）2＋8－12－8,d)＝2＋d→2，
所以曲线在P(1，9)处的切线斜率k＝2，
∴切线方程为y－9＝2(x－1)，即2x－y＋7＝0，
令x＝0，解得y＝7，
∴切线与y轴交点坐标为(0，7).
答案：(0，7)
8．解析：因为当d→0时，eq \f(a（a＋d）2－a·a2,d)＝2a2＋ad→2a2.
所以切线的斜率k＝2a2，
∵切线与直线2x－y－1＝0平行，
∴2a2＝2，∴a＝±1，
a＝1时，y＝x2，切点是(1，1)，
切线的斜率k＝2，
故切线方程是y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0和直线2x－y－1＝0重合，
故a＝－1.经检验，符合题意．
9．解析：(1)因为eq \f(f（1＋d）－f（1）,d)＝eq \f(\f(1,1＋d)－1,d)＝－eq \f(1,1＋d)，
所以当d→0时－eq \f(1,1＋d)→－1，
所以f′(1)＝－1，即曲线在点P(1，1)处的切线的斜率为k＝－1，
所以所求切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
(2)设切点坐标为A(x0，y0)，
因为eq \f(f（x0＋d）－f（x0）,d)＝eq \f(\f(1,x0＋d)－\f(1,x0),d)＝－eq \f(1,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋dx0)，
所以当d→0时，－eq \f(1,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋dx0)→－eq \f(1,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) )，
则切线的斜率为k＝－eq \f(1,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) )，
所以切线的方程为y－eq \f(1,x0)＝－eq \f(1,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) )(x－x0)，
因为点Q(1，0)在切线上，可得－eq \f(1,x0)＝－eq \f(1,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) )(1－x0)，解得x0＝eq \f(1,2)，
所以所求切线的方程为y－2＝－4(x－eq \f(1,2))，即4x＋y－4＝0.
10．解析：设切点为(x0，x eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(0)) －x0)，
因为当d→0时，eq \f(（x0＋d）3－（x0＋d）－x eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(0)) ＋x0,d)＝3x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋3dx0＋d2－1→3x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －1，
所以切线方程为y－(x eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(0)) －x0)＝(3x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －1)(x－x0)，
设x轴上一点A(t，0)，代入切线方程，
得0－(x eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(0)) －x0)＝(3x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －1)(t－x0)，即2x eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(0)) －3tx eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋t＝0，
该方程有可能有一个，两个或三个零点，所以可作切线的条数为1，2或3条．
答案：BCD
11．解析：(1)设P(x0，－x eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(0)) ＋eq \r(2)x0＋2)，
因为当d→0时，eq \f(f（x0＋d）－f（x0）,d)
＝eq \f(－（x0＋d）3＋\r(2)（x0＋d）＋2＋x eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(0)) －\r(2)x0－2,d)
＝－3x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －3x0d－d2＋eq \r(2)→－3x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋eq \r(2)，
所以k＝f′(x0)＝－3x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋eq \r(2)≤eq \r(2)，
所以k的取值范围为(－∞，eq \r(2)].
(2)由(1)知kmax＝eq \r(2)，此时x0＝0，即P(0，2)，所以此时曲线在点P处的切线方程为y＝eq \r(2)x＋2.
练基础
提能力
培优生

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