高中数学湘教版（2019）选择性必修 第二册2.2 空间向量及其运算巩固练习

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1．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离．
2.
如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，PA＝AB＝2，在棱PD上取点Q，使得PB∥平面ACQ.
(1)求证：Q为PD中点；
(2)求直线PB到平面ACQ的距离．
课时作业(二十一) 两平行线间的距离与两平行平面间的距离
1．解析：
如图，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，M(2，0，4)，A(4，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)，
∴eq \(EF,\s\up6(→))＝(2，2，0)，eq \(MN,\s\up6(→))＝(2，2，0)，
eq \(AM,\s\up6(→))＝(－2，0，4)，eq \(BF,\s\up6(→))＝(－2，0，4)，
∴eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(MN,\s\up6(→))，eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(BF,\s\up6(→))，
∴EF∥MN，AM∥BF，
∴平面AMN∥平面EFBD.
设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(MN,\s\up6(→))＝0，,n·\(AM,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋2y＝0，,－2x＋4z＝0，))
令z＝1，得x＝2，y＝－2，则n＝(2，－2，1).
∵eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，4，0)，
∴eq \(AB,\s\up6(→))在n上的投影长为eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(8,\r(4＋4＋1))＝eq \f(8,3)，
∴平面AMN与平面EFBD间的距离为eq \f(8,3).
2．解析：(1)证明：连接BD，交AC于点O，则平面PBD∩平面ACQ＝OQ，
又因为PB∥平面ACQ，PB⊂平面PBD，
则PB∥OQ，
由于底面ABCD为正方形，所以点O为BD的中点，
因此可得Q为PD中点．
(2)由(1)知Q是PD的中点．
由于PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AB，
故AB，AD，AP两两垂直，以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，A(0，0，0)，
C(2，2，0)，Q(0，1，1)，D(0，2，0)，∴AQ＝(0，1，1)，AC＝(2，2，0).
设平面ACQ的法向量为n＝(x，y，z)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(AQ,\s\up6(→))＝y＋z＝0,n·\(AC,\s\up6(→))＝2x＋2y＝0))，故可设n＝(－1，1，－1)，
由于PB∥平面ACQ，则PB到平面ACQ的距离，即B到平面ACQ的距离．eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＝(0，2，0)，
B到平面ACQ的距离为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(BC,\s\up6(→))·n,|n|)))＝eq \f(2,\r(3))＝eq \f(2\r(3),3).
即直线PB到平面ACQ的距离为eq \f(2\r(3),3).
练基础
提能力