2023-2024学年山东省日照市东港区新营中学八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省日照市东港区新营中学八年级（上）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.根据下列条件能画出唯一△ABC的是( )
A. AB=2，BC=6，AC=9B. AB=7，BC=5，∠A=30°
C. ∠A=50°，∠B=60°，∠C=70°D. AC=3.5，BC=4.8，∠C=70°
2.剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美.如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若点E的坐标为(2m,−n)，其关于y轴对称的点F的坐标为(3−n,−m+1)，则(m−n)2的值为( )
A. 9
B. −1
C. 1
D. 0
3.如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是( )
A. AF=BF
B. AE=12AC
C. ∠DBF+∠DFB=90°
D. ∠BAF=∠EBC
4.计算2101−2100的结果为( )
A. 2B. 2100C. 12D. 2200
5.根据下列条件能判定△ABC是直角三角形的有( )
①∠A+∠B=∠C，②∠A=12∠B=13∠C，③∠A：∠B：∠C=5：2：3，④∠A=2∠B=3∠C．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
6.如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是( )
A. 转化思想
B. 三角形的两边之和大于第三边
C. 两点之间，线段最短
D. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
7.如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=( )
A. 70°
B. 80°
C. 90°
D. 100°
8.如图所示，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D，若AC=6cm，则AD=( )
A. 2B. 3C. 4D. 2.8
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有( )
A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个
10.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD于点D.∠ABD=∠A，若BD=1，BC=3，则AC的长为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
11.如图，在△ABC中，AB=AC=24cm，∠B=∠C，BC=16cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.若在某一时刻能使△BPD与△CQP全等.则点Q的运动速度为( )
A. 4cm/s
B. 3cm/s
C. 4cm/s或3cm/s
D. 4cm/s或6cm/s
12.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF/​/BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BOC=90°+12∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=12mn，正确的结论有个．( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”.若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为______ ．
14.多边形的每一个内角都等于108°，从该多边形的一个顶点出发引对角线，可以将该多边形分成______个三角形．
15.如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC=20°，∠PCB=30°，则∠APB的度数为______ ．
16.如图，已知P(3,3)，点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠APB=90°，则OA+OB=______．
17.如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，则BF= cm．
18.如图，已知∠MON，在边ON上顺次取点P1，P3，P5…，在边OM上顺次取点P2，P4，P6…，使得OP1=P1P2=P2P3=P3P4=P4P5…，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5…，若得到的最后一个等腰三角形就是△P3P4P5，则∠MON的度数α的取值范围是______ ．
三、解答题：本题共6小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
计算：
(1)−(x2)4+3×(x2)4⋅x4；
(2)(2−y)3×(y−2)2×(y−2)5；
(3)已知ax=5，ax−y=30，求ax+ay的值．
20.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，A(−1,5)，B(−1,0)，C(−4,3)．
(1)画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
(2)在坐标系中，找出一点C2，使△ABC2与△ABC关于直线AB对称，直接写出点C2的坐标．
21.(本小题10分)
如图，AE与AD分别是△ABC的角平分线和高．
(1)已知∠B=60°，∠C=42°，求∠DAE度数；
(2)探究：小明认为如果只知道∠B−∠C=18°，也能得出∠DAE的度数，你认为可能吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
22.(本小题12分)
如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC=∠AEB=90°，BE，CD相交于点O，OB=OC．
求证：∠1=∠2．
小虎同学的证明过程如下：
(1)小虎同学的证明过程中，第______ 步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程．
23.(本小题10分)
如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，过点D作AC的垂线，垂足为F，与AB相交于点E，连接CE．
(1)说明：AE=CE=BE；
(2)若DA⊥AB，BC=6，P是直线DE上的一点，则当P在何处时，PB+PC最小，并求出此时PB+PC的值．
24.(本小题12分)
在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B、C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图①，若△ABC是等边三角形，且AB=AC=2，点D在线段BC上．
①求证：∠BCE+∠BAC=180°；
②当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．
(2)若∠BAC≠60°，当点D在射线BC上移动，如图②，则∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？并说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、2+6=8<9，不满足三边关系，本选项不符合题意；
B、边边角三角形不能唯一确定．本选项不符合题意，
C、没有边的条件，三角形不能唯一确定，本选项不符合题意；
D、边角边，能确定唯一三角形．本选项符合题意．
故选：D．
根据全等三角形的判定，三角形的三边关系一一判断即可．
本题考查全等三角形的判定，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2.【答案】C
【解析】解：∵E(2m,−n)，F(3−n,−m+1)关于y轴对称，
∴−n=−m+12m=n−3，
解得m=−4n=−5，
∴(m−n)2=(−4+5)2=1，
故选：C．
利用轴对称的性质构建方程组，求出m，n，可得结论．
本题考查坐标与图形变化−对称，二元一次方程组等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
3.【答案】B
【解析】解：由图中尺规作图痕迹可知，
BE为∠ABC的平分线，DF为线段AB的垂直平分线．
由垂直平分线的性质可得AF=BF，
故A选项不符合题意；
∵DF为线段AB的垂直平分线，
∴∠BDF=90°，
∴∠DBF+∠DFB=90°，
故C选项不符合题意；
∵BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABF=∠EBC，
∵AF=BF，
∴∠ABF=∠BAF，
∴∠BAF=∠EBC，
故D选项不符合题意；
根据已知条件不能得出AE=12AC，
故B选项符合题意．
故选：B．
由图中尺规作图痕迹可知，BE为∠ABC的平分线，DF为线段AB的垂直平分线，结合角平分线的定义和垂直平分线的性质逐项分析即可．
本题考查尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质是解答本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：2101−2100
=2100×2−2100
=2100×(2−1)
=2100×1
=2100．
故选：B．
根据乘方运算的法则先确定符号后，据此求解即可得出答案．
本题主要考查的是积的乘方运算的法则，掌握乘方运算的法则，正确的确定符号是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，
故①符合题意；
∵∠A=12∠B=13∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，
故②符合题意；
∵∠A：∠B：∠C=5：2：3，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°×55+2+3=90°，∠B=180°×25+2+3=36°，∠C=180°×35+2+3=54°，
∴△ABC是直角三角形，
故③符合题意；
∵∠A=2∠B=3∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴116∠A=180°，
∴∠A=1080°11，
∴∠B=540°11，∠C=360°11，
∴△ABC不是直角三角形，
故④不符合题意；
综上，符合题意得有3个，
故选：C．
利用三角形内角和定理，进行计算求解即可．
此题考查了三角形内角和，熟记三角形内角和定理是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵点B和点B′关于直线l对称，且点C在l上，
∴CB=CB′，
又∵AB′交l于C，且两条直线相交只有一个交点，
∴CB′+CA最短，
即CA+CB的值最小，
将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理两点之间，线段最短，体现了转化思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边．
而D选项的“三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角”在解题思路中没有用到．
故选：D．
利用轴对称最短路线问题的解题方法对各选项进行分析并验证即可．
此题主要考查了轴对称最短路线问题，涉及到两点之间线段最短、三角形三边关系等知识点，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
7.【答案】C
【解析】【解答】
解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∵∠ABP=20°，∠ACP=50°，
∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°，
∴∠A=∠ACM−∠ABC=60°，
∠ACB=180°−∠ACM=80°，
∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°，
∵∠PBC=20°，
∴∠P=180°−∠PBC−∠BCP=30°，
∴∠A+∠P=90°，
故选：C．
【分析】
根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果．
本题考查了角平分线的定义，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180°，难度适中．
8.【答案】A
【解析】解：连接BD．
∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=12(180°−∠ABC)=30°，
∵AB的垂直平分线是DE，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°，
∴∠CBD=120°−30°=90°，
∴DC=2BD，
∴DC=2AD，
∵AC=6，
∴AD=13×6=2，
故选：A．
连接BD，根据三角形的内角和定理可得∠A=∠C=30°，利用线段垂直平分线的性质和等腰三角形性质求出AD=BD，∠CBD=90°，即可得DC=2AD，即可求出答案．
本题主要考查对等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，线段的垂直平分线，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出AD=BD和DC=2BD是解此题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：如图，
①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，(此时AB=AM)；
②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6(此时BM=BA)．
③AB的垂直平分线交AC一点M7(MA=MB)，交直线BC于点M8；
∴符合条件的点有6个．
故选：A．
根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形(简称：在同一三角形中，等边对等角)”分三种情况解答即可．
本题考查了等腰三角形的性质和判定，构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．
10.【答案】D
【解析】解：延长BD交AC于E，如图，
∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，
∴△BCE为等腰三角形，
∴DE=BD=1，CE=CB=3，
∵∠A=∠ABD，
∴EA=EB=2，
∴AC=AE+CE=2+3=5．
故选：D．
延长BD交AC于E，如图，利用CD平分∠ACB，BD⊥CD先判断△BCE为等腰三角形得到DE=BD=1，CE=CB=3，再证明EA=EB=2，然后计算AE+CE即可．
本题考查了等腰三角形的判定与性质熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：∵AB=AC=24cm，∠B=∠C，BC=16cm，点D为AB的中点，
∴BD=12×24=12，
设点P、Q的运动时间为t s，
∴BP=4t，
∴PC=(16−4t)，
若△BPD与△CQP全等．则有：
①当BD=CP时，16−4t=12，
解得：t=1，
则BP=CQ=4，
故点Q的运动速度为：4÷1=4；
②当BP=PC时，
∵BC=16cm，
∴BP=PC=8，
∴t=8÷4=2．
故点Q的运动速度为12÷2=6．
所以，点Q的运动速度为4cm/s或6cm/s
故选：D．
设点P、Q的运动时间为t s，分别表示出BD、BP、PC、CQ，再根据全等三角形对应边相等，分①BD、PC是对应边，②BD、CQ是对应边两种情况讨论求解即可．
本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点．
12.【答案】D
【解析】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°−12∠A，
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=90°+12∠A；故②正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，
∵EF/​/BC，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，
∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，
∴BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE+OF=BE+CF，
故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON=OD=OM=m，
∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=12AE⋅OM+12AF⋅OD=12OD⋅(AE+AF)=12mn；故④正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确．
故选：D．
由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②∠BOC=90°+12∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=12mn，故④正确．
此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
13.【答案】12或43
【解析】解：当8为腰长时，
∵等腰△ABC的周长为20，
∴△ABC的底边长为：20−8−8=4，
∴“优美比”为48=12；
当8为底边长时，
△ABC的腰长为：12×(20−8)=6，
∴“优美比”为86=43；
故答案为：12或43．
分8为腰长和底边长，两种情况进行讨论即可．
本题考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的两腰相等，是解题的关键，注意分类讨论．
14.【答案】3
【解析】解：180°−108°=72°，
360°÷72°=5，
则从该多边形的一个顶点出发引对角线，可以将该多边形分成5−2=3个三角形．
故答案为：3．
先求出每一外角的度数是72°，然后根据多边形的边数=360°÷72°求出边数，再根据从n边形的一个顶点出发引出的对角线把多边形分成(n−2)个三角形求解即可．
本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．
15.【答案】100°
【解析】解：∵点P为△ABC三边垂直平分线的交点，
∴PA=PC=PB，
∴∠PAC=∠PCA=20°，∠PCB=∠PBC=30°，
∵∠ACB+⊥ABC+∠BAC=180°，
∴∠PCA+∠PCB+∠PAC+∠PBC+∠PAB+∠PBA=180°，
∴∠PAB+∠PBA=80°，
∴∠APB=180°−(∠PAB+∠PBA)=100°，
故答案为：100°．
先根据线段垂直平分线的性质可得PA=PC=PB，从而利用等腰三角形的性质可得∠PAC=∠PCA=20°，∠PCB=∠PBC=30°，然后利用三角形内角和定理可得∠PAB+∠PBA=80°，从而再利用三角形内角和定理求出∠APB的度数，即可解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键．
16.【答案】6
【解析】解：
过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，
∵P(3,3)，
∴PN=PM=3，
∵x轴⊥y轴，
∴∠MON=∠PNO=∠PMO=90°，
∴∠MPN=360°−90°−90°−90°=90°，
则四边形MONP是正方形，
∴OM=ON=PN=PM=3，
∵∠APB=90°，
∴∠APB=∠MON，
∴∠MPA=90°−∠APN，∠BPN=90°−∠APN，
∴∠APM=∠BPN，
在△APM和△BPN中
∠APM=∠BPNPM=PN∠PMA=∠PNB
∴△APM≌△BPN(ASA)，
∴AM=BN，
∴OA+OB
=OA+0N+BN
=OA+ON+AM
=ON+OM
=3+3
=6，
故答案为：6．
过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，得出四边形PMON是正方形，推出OM=OM=ON=PN=3，证△APM≌△BPN，推出AM=BN，求出OA+OB=ON+OM，代入求出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，坐标与图形性质，正方形的性质的应用，关键是推出AM=BN和推出OA+OB=OM+ON．
17.【答案】6
【解析】解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，
AB=ACAD=AD
∴Rt△ADB≌Rt△ADC，
∴S△ABC=2S△ABD=2×12AB⋅DE=AB⋅DE=3AB，
∵S△ABC=12AC⋅BF，
∴12AC•BF=3AB，
∵AC=AB
∴12BF=3，
∴BF=6．
故答案为6．
先利用HL证明Rt△ADB≌Rt△ADC，得出S△ABC=2S△ABD=2×12AB⋅DE=AB⋅DE=3AB，又
S△ABC=12AC⋅BF，将AC=AB代入即可求出BF．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，利用面积公式得出12AC•BF=3AB是解题的关键．
18.【答案】18°≤α<22.5°
【解析】解：由题意要使得得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，
需要满足：∠P4P3P5=4α<90°且∠MP4P5=5α≥90°，
∴18°≤α<22.5°．
故答案为：18°≤α<22.5°．
由题意要使得得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，需要满足：∠P4P3P5=4α<90°且∠MP4P5=5α≥90°，解不等式即可解决问题．解题关键是理解某个三角形为最后一个等腰三角形的条件．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题关键是理解某个三角形为最后一个等腰三角形的条件．
19.【答案】解：(1)−(x2)4+3×(x2)4⋅x4
=−x8+3x8⋅x4
=−x8+3x12；
(2)(2−y)3×(y−2)2×(y−2)5；
=−(y−2)3×(y−2)2×(y−2)5；
=−(y−2)10；
(3)∵ax=5，ax−y=30，
∴ax÷ay=30，
5÷ay=30，
ay=16，
∴ax+ay=5+16=516．
【解析】(1)先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法即可；
(2)利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可；
(3)由所给的条件可求得ay，从而可求解．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)∵△ABC2与△ABC关于直线AB对称，
∴点C2的坐标为(2,3)．
【解析】(1)根据轴对称的性质作图即可．
(2)根据轴对称的性质可得答案．
本题考查作图−轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)∵∠B=60°，∠C=42°，
∴∠BAC=180°−60°−42°=78°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=39°；
∵AD⊥BC，∠B=60°，
∴∠BAD=90°−∠B=90°−60°=30°，
而∠BAE=39°，
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=9°；
(2)可以．理由如下：
∵AE为角平分线，
∴∠BAE=12(180°−∠B−∠C)，
∵∠BAD=90°−∠B，
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=12(180°−∠B−∠C)−(90°−∠B)=12(∠B−∠C)，
若∠B−∠C=18°，则∠DAE=9°．
【解析】(1)利用三角形的内角和定理求出∠BAC，再利用角平分线定义求∠BAE；求出∠BAD，就可知道∠DAE的度数；
(2)根据AE平分∠BAC，得到∠BAE.再根据垂直定义，在直角△ABD中，可以求得∠BAD，即可求得∠DAE=12(∠B−∠C)．
本题要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义和垂直的定义，综合利用了直角三角形的性质．解题时注意：三角形内角和是180°．
22.【答案】(1)二；
(2)证明：∵∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠BDC=∠CEB=90°，
在△DOB和△EOC中，
∠BDO=∠CEO∠DOB=∠EOCOB=OC，
∴△DOB≌△EOC(AAS)，
∴OD=OE，
在Rt△ADO和Rt△AEO中，
OD=OEOA=OA，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL)，
∴∠1=∠2．
【解析】(1)解：小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，
故答案为：二；
(2)见答案．
(1)根据全等三角形的判定定理判断；
(2)证明△DOB≌△EOC，根据全等三角形的性质得到OD=OE，再证明Rt△ADO≌Rt△AEO，得到∠1=∠2．
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵△ADC是等边三角形，DF⊥AC，
∴DF垂直平分线段AC，
∴AE=EC，
∴∠ACE=∠CAE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCE=90°=∠CAE+∠B=90°，
∴∠BCE=∠B，
∴CE=EB，
∴AE=CE=BE.∵
(2)连接PA，PB，PC．
∵DA⊥AB，
∴∠DAB=90°，∵∠DAC=60°，
∴∠CAB=30°，
∴∠B=60°，
∴BC=AE=EB=CE=6．
∴AB=12，
∵DE垂直平分AC，
∴PC=AP，
∴PC=PB+PA，
∴当PB+PC最小时，也就是PB+PA最小，即P，B，A共线时最小，
∴当点P与点E共点时，PB+PC的值最小，最小值为12．
【解析】(1)首先证明EA=EC，再证明EC=EB即可解决问题．
(2)当PB+PC最小时，也就是PB+PA最小，即P，B，A共线时最小，推出当点P与点E共点时，PB+PC的值最小，最小值为12．
本题考查轴对称−最短问题，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
24.【答案】(1)证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠ABD=60°．
∴∠BCE+∠BAC=180°，
(2)解：∵△ABD≌△ACE，
∴BD=CE
四边形ADCE的周长=AD+DC+CE+AE=AD+DC+BD+AE=BC+2AD，
∴当AD最短时，四边形ADCE的周长最小，
即AD⊥BC时，周长最小，
∵AB=AC，
∴BD=12CB=1，
(3)解：∠BCE+∠BAC=180°，
理由如下：如图2，记AD，CE的交点为F，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE．
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE．
∴∠ADB=∠AEC，
∵∠AFE=∠CFD，
∴∠EAF=∠ECD．
∵∠BAC=∠FAE，∠BCE+∠ECD=180°，
∴∠BCE+∠BAC=180°．
【解析】(1)先判断出△ABD≌△ACE得出∠ACE=∠ABD=60°，即可得出结论；
(2)先判断出BD=CE，进而得出四边形ADCE的周长=BC+2AD，判断出AD⊥BC时，周长最小，即可得出结论；
(3)先判断出△ABD≌△ACE，进而得出∠ADB=∠AEC，即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角的和差，判断出△ABD≌△ACE是解本题的关键．证明：∵∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠DOB+∠B=∠EOC+∠C=90°．
∵∠DOB=∠EOC，
∴∠B=∠C.……第一步
又OA=OA，OB=OC，
∴△ABO≌△ACO.……第二步
∴∠1=∠2.……第三步