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    上海市松江区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷(一模)
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    上海市松江区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷(一模)

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    这是一份上海市松江区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷(一模),共22页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.下列函数中,属于二次函数的是( )
    A. y=x−2B. y=x2
    C. y=x2−(x+1)2D. y=2x2
    2.在Rt△ABC中,已知∠C=90∘,∠A=α,BC=a,那么AB的长为( )
    A. asinαB. acsαC. asinαD. acsα
    3.关于二次函数y=−2(x−1)2的图象,下列说法正确的是( )
    A. 开口向上B. 经过原点
    C. 对称轴右侧的部分是下降的D. 顶点坐标是(−1,0)
    4.下列条件中,不能判定a//b的是( )
    A. a//c,b//cB. a−=−c,b=2c
    C. a=−2b−D. |a|=3|b|
    5.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90∘,斜边BC上的高AH=3,矩形DEFG的边DE在边BC上,顶点G、F分别在边AB、AC上,如果GF正好经过△ABC的重心,那么BD⋅EC的积等于( )
    A. 4B. 1C. 1625D. 925
    6.某同学对“两个相似的四边形”进行探究.四边形ABCD和四边形A1B1C1D1是相似的图形,点A与点A1,点B与点B1,点C与点C1,点D与点D1分别是对应顶点,已知ABA1B1=k.该同学得到以下两个结论:①四边形ABCD和四边形A1B1C1D1的面积比等于k2;②四边形ABCD和四边形A1B1C1D1的两条对角线的和之比等于k.对于结论①和②,下列说法正确的是( )
    A. ①正确,②错误B. ①错误,②正确C. ①和②都错误D. ①和②都正确
    二、填空题:本题共12小题,每小题4分,共48分。
    7.若yx=12,则yx+y=______ .
    8.A、B两地的实际距离AB=250米,画在地图上的距离A′B′=5厘米,那么地图上的距离与实际距离的比是______ .
    9.某印刷厂一月份印书50万册,如果第一季度从2月份起,每月印书量的增长率都为x,三月份的印书量为y万册,写出y关于x的函数解析式是______ .
    10.已知点P是线段AB的黄金分割点,且AP>BP,如果AB=5,那么AP=______ .
    11.在直角坐标平面中,将抛物线y=−(x+1)2+2,先向左平移1个单位,再向下平移2个单位,那么平移后的抛物线表达式是______ .
    12.如果一个二次函数图象的顶点在x轴上,且在y轴的右侧部分是上升的.请写出一个符合条件的函数解析式:______ .
    13.如图,一辆小车沿着坡度为1:2.4的斜坡从A点向上行驶了50米,到达B点,那么此时该小车上升的高度为______ 米.
    14.如图,梯形ABCD中,AB//CD,且ABCD=43,若AB=m,AD=n.请用m,n来表示AC=______ .
    15.如图,已知直线l1、l2、l3分别交直线m于点A、B、C,交直线n于点D、E、F,且l1//l2//l3,AB=2BC,DF=6,那么EF=______ .
    16.如图,在梯形ABCD中,AD//BC,点E是AD的中点,BE、CD的延长线交于点F,如果AD:BC=2:3,那么S△EDF:S△AEB=______ .
    17.在△ABC中,AB=AC,点D、E分别是边AB、AC的中点,BE与CD相交于点O,如果△OBC是等边三角形,那么tan∠ABC=______ .
    18.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,将边AB绕点A逆时针旋转,点B落在B′处,联结BB′,CB′,若∠BB′C=90∘,则BB′=______ .
    三、解答题:本题共7小题,共78分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    19.(本小题10分)
    二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表.
    (1)由表格信息,求出该二次函数解析式,并写出该二次函数图象的顶点D的坐标;
    (2)如果该二次函数图象与y轴交于点A,点P(5,t)是图象上一点,求△PAD的面积.
    20.(本小题10分)
    如图,在△ABC中,点D、E、F分别在边AB、AC、BC上,连接DE、EF.已知ED//BC,EF//AB,AD=3,DB=9.
    (1)求BFFC的值;
    (2)若△ABC的面积为16,求四边形BFED的面积.
    21.(本小题10分)
    已知:如图,△ABC中,AB=15,BC=14,sinB=45,AD⊥BC于D.
    (1)求AC的长;
    (2)如果点E是边AC的中点,求ct∠EBC大小.
    22.(本小题10分)
    如图,A处有一垂直于地面的标杆AM,热气球沿着与AM的夹角为15∘的方向升空,到达B处,这时在A处的正东方向200米的C处测得B的仰角为30∘(AM、B、C在同一平面内).求A、B之间的距离.(结果精确到1米, 2≈1.414)
    23.(本小题12分)
    已知:如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,DE//BC,∠BDC=∠DEC.求证:
    (1)△ADE∽△ACD;
    (2)CD2BC2=AEAC.
    24.(本小题12分)
    在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过原点O(0,0)、点A(1,3a),此抛物线的对称轴与x轴交于点C,顶点为B.
    (1)求抛物线的对称轴;
    (2)如果该抛物线与x轴负半轴的交点为D,且∠ADC的正切值为2,求a的值;
    (3)将这条抛物线平移,平移后,原抛物线上的点A、B分别对应新抛物线上的点E、P.联结PA,如果点P在y轴上,PA//x轴,且∠EPA=∠CBO,求新抛物线的表达式.
    25.(本小题14分)
    在△ABC中,AC=BC.点D是射线AC上一点(不与A、C重合),点F在线段BC上,直线DF交直线AB于点E,CD2=CF⋅CB.
    (1)如图,如果点D在AC的延长线上.
    ①求证:DE=BD;
    ②联结CE,如果CE//BD,CE=2,求EF的长.
    (2)如果DF:DE=1:2,求:AE:EB的值.
    答案和解析
    1.【答案】B
    【解析】解:y=x−2不符合二次函数的定义,它不是二次函数,则A不符合题意;
    y=x2符合二次函数的定义,它是二次函数,则B符合题意;
    y=x2−(x+1)2整理得y=−2x−1,不符合二次函数的定义,它不是二次函数,则C不符合题意;
    y=2x2不符合二次函数的定义,它不是二次函数,则D不符合题意;
    故选:B.
    形如y=ax2+bx+c(,a,b,c是常数且a≠0)的函数即为二次函数,据此进行判断即可.
    本题考查二次函数的识别,熟练掌握其定义是解题的关键.
    2.【答案】A
    【解析】解:∵∠C=90∘,∠A=α,BC=a,
    ∴sinα=BCAB,
    ∴AB=asinα,
    故选:A.
    根据三角函数的定义进行选择即可.
    本题考查了锐角三角函数的定义,掌握三个三角函数的定义是解题的关键.
    3.【答案】C
    【解析】解:A、∵a=−2<0,∴抛物线开口向下,原说法错误,不符合题意;
    B、∵当x=0时,y=−2(0−1)2=−2,∴函数图象不经过原点,原说法错误,不符合题意;
    C、∵a=−2<0,∴抛物线开口向下,∴对称轴右侧的部分是下降的,正确,符合题意.
    D、由函数解析式可知其顶点坐标为(1,0),原说法错误,不符合题意.
    故选:C.
    根据二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可.
    本题考查的是二次函数的性质及二次函数的图象,二次函数图象上点的坐标特征,熟知以上知识是解题的关键.
    4.【答案】D
    【解析】解:∵a//c,b//c,
    ∴a//b;
    ∵a=−c,b=2c,
    ∴a//c//b;
    ∵a=−2b,
    ∴a//b;
    由|a|=3|b|不能得到a//b,
    故选:D.
    根据平面向量的相关定义逐一判断即可.
    本题考查了平面向量,熟记平面向量的相关定义是解题的关键.
    5.【答案】B
    【解析】解:设△ABC的重心是O,连接AO,延长AO交BC于M,
    ∴AO=2OM,
    ∵四边形DEFG是矩形,
    ∴GF//DE,∠GDE=∠FED=90∘,
    ∴AK:KH=AO:OM,
    ∴AK=2KH,
    ∵AH=3,
    ∴KH=13AH=1,
    ∵∠BAC=90∘,
    ∴∠B+∠C=90∘,
    ∵∠EFC+∠C=90∘,
    ∴∠B=∠EFC,
    ∵∠BDG=∠CEF=90∘,
    ∴△BDG∽△FEC,
    ∴BD:FE=GD:EC,
    ∴BD⋅CE=FE⋅DG,
    ∵FG//BC,GD⊥BC,KH⊥BC,FE⊥BC,
    ∴DG=FE=KH=1,
    ∴BD⋅CE=1×1=1.
    故选:B.
    △ABC的重心是O,连接AO,延长AO交BC于M,由三角形重心的性质,得到AO=2OM,由矩形的性质推出GF//DE,∠GDE=∠FED=90∘,由平行线分线段成比例得到AK:KH=AO:OM,因此AK=2KH,即可求出KH=13AH=1,由余角的性质推出∠B=∠EFC,又∠BDG=∠CEF=90∘,即可证明△BDG∽△FEC,推出BD⋅CE=FE⋅DG=1.
    本题考查三角形的重心,相似三角形的判定和性质,矩形的性质,关键是由三角形重心的性质,平行线分线段成比例推出KH=13AH=1,由△BDG∽△FEC,推出BD⋅CE=FE⋅DG.
    6.【答案】D
    【解析】解:∵四边形ABCD和四边形A1B1C1D1是相似的图形,ABA1B1=k,
    ∴四边形ABCD和四边形A1B1C1D1是相似比为k,
    ∴四边形ABCD和四边形A1B1C1D1的面积比等于k2,四边形ABCD和四边形A1B1C1D1的两条对角线之比等于k,
    ∴四边形ABCD和四边形A1B1C1D1的两条对角线的和之比等于k,
    则①和②都正确,
    故选:D.
    根据相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方解答即可.
    本题考查的是相似多边形的性质,熟记相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键.
    7.【答案】13
    【解析】解:∵yx=12,
    ∴x=2y,
    ∴yx+y=y2y+y=13,
    故答案为:13.
    利用比例的性质进行计算,即可解答.
    本题考查了比例的性质,熟练掌握比例的性质是解题的关键.
    8.【答案】1:5000
    【解析】解:∵250米=25000厘米,
    ∴比例尺=5:25000=1:5000;
    故答案为:1:5000.
    根据比例尺=图上距离:实际距离,直接求出即可.
    本题主要考查了比例尺,掌握比例尺的计算方法,注意在求比的过程中,单位要统一.
    9.【答案】y=50(1+x)2
    【解析】解:根据题意得:y=50(1+x)2.
    故答案为:y=50(1+x)2.
    利用三月份的印书量=一月份的印书量×(1+每月印书量的增长率)2,即可得出y关于x的函数解析式.
    本题考查了根据实际问题列二次函数关系式,根据各数量之间的关系,找出y关于x的函数解析式是解题的关键.
    10.【答案】5 5−52
    【解析】解:∵点P是线段AB的黄金分割点,且AP>BP,AB=5,
    ∴AP= 5−12AB=5 5−52,
    故答案为:5 5−52.
    利用黄金分割的定义进行计算,即可解答.
    本题考查了黄金分割,熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.
    11.【答案】y=−(x+2)2
    【解析】解:抛将抛物线y=−(x+1)2+2,先向左平移1个单位,再向下平移2个单位,那么平移后的抛物线表达式是:yy=−(x+1+1)2+2−2,即y=−(x+2)2.
    故答案为:y=−(x+2)2.
    根据“上加下减,左加右减”的原则进行解答即可.
    主要考查的是函数图象的平移,用平移规律“左加右减,上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式.
    12.【答案】y=x2(答案不唯一)
    【解析】解:∵二次函数图象的顶点在x轴上,在y轴的右侧部分是上升的.
    ∴二次函数顶点在原点,对称轴是y轴,且开口向上,
    ∴符合条件的函数解析式为:y=x2(答案不唯一).
    根据题意,二次函数顶点在原点且开口向上即可.
    本题考查了二次函数解析式,熟练掌握解析式与图象位置关系式解答本题的关键.
    13.【答案】25013
    【解析】解:设小车上升的高度为x米,
    ∵斜坡AB的坡度为1:2.4,
    ∴AC=2.4x米,
    由勾股定理得:x2+(2.4x)2=502,
    解得:x=25013(负值舍去),
    ∴小车上升的高度为25013米,
    故答案为:25013.
    设小车上升的高度为x米,根据坡度的概念得到AC=2.4x米,再根据勾股定理计算,得到答案.
    本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题,熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键.
    14.【答案】n+34m
    【解析】解:∵AB//CD,ABCD=43,AB=m,
    ∴DC=34m,
    ∴AC=AD+DC=n+34m.
    故答案为:n+34m.
    由题意得DC=34m,再根据AC=AD+DC可得答案.
    本题考查平面向量,熟练掌握三角形法则是解答本题的关键.
    15.【答案】2
    【解析】解:∵l1//l2//l3,AB=2BC,
    ∴ABBC=DEEF=2,
    ∵DE=DF−EF=6−EF,
    ∴6−EFEF=2,
    解得EF=2.
    故答案为:2.
    先由l1//l2//l3,运用平行线分线段成比例的内容可得ABBC=DEEF=2,再将DE=DF−EF=6−EF代入求出EF,即可求解.
    本题主要考查了平行线分线段成比例,掌握平行线分线段成比例是解题的关键.
    16.【答案】1:2
    【解析】解:过点F作BC的垂线,交BC于点H,交DE于点G,过点B作BK⊥DA,交DA的延长线于点K,
    ∵AD//BC,
    ∴FG⊥AD.
    ∴四边形BHGK为矩形,
    ∴BK=GH.
    ∵点E是AD的中点,
    ∴AE=DE,
    ∵AD:BC=2:3,
    ∴DE:BC=1:3.
    ∵AD//BC,
    ∴∠FED=∠FBC,∠FDE=∠FCB,
    ∴△DEF∽△CBF,
    ∴FG:FH=DE:BC=1:3,
    ∴FG:GH=FG:BK=1:2,
    ∴S△EDF:S△AEB=(12DE⋅FG):(12AE⋅BK)=FG:BK=1:2.
    故答案为:1:2.
    过点F作BC的垂线,交BC于点H,交DE于点G,过点B作BK⊥DA,交DA的延长线于点K,可得四边形BHGK为矩形,则BK=GH.由题意可得DE:BC=1:3,证明△DEF∽△CBF,则FG:FH=DE:BC=1:3,即FG:GH=FG:BK=1:2,将S△EDF:S△AEB化简为FG:BK,即可得出答案.
    本题考查相似三角形的判定与性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.
    17.【答案】3 3
    【解析】解:如图:连接AO,延长AO交BC于H,
    ∵点D、E分别是边AB、AC的中点,BE与CD相交于点O,
    ∴O是△ABC的重心,
    ∴AH是△ABC的中线,
    ∵AB=AC,
    ∴AH⊥BC,
    ∵△OBC是等边三角形,
    ∴∠OBH=60∘,
    ∴OH= 3BH,
    ∵O是△ABC的重心,
    ∴AH=3OH=3 3BH,
    ∴tan∠ABC=AHBH=3 3.
    故答案为:3 3.
    如图:连接AO,延长AO交BC于H,由O是△ABC的重心,得到AH是△ABC的中线,由等腰三角形的性质得到AH⊥BC,由等边三角形的性质得到∠OBH=60∘,因此OH= 3BH,由三角形重心的性质得到AH=3OH=3 3BH,即可求出tan∠ABC=AHBH=3 3.
    本题考查解直角三角形,等腰三角形的性质,三角形的重心,等边三角形的性质,关键是由等腰三角形的性质,三角形重心的性质得到AH⊥BC,AH=3OH.
    18.【答案】125
    【解析】解:过点A作AE⊥BB′于点E,
    ∵将边AB绕点A逆时针旋转,点B落在B′处,
    ∴AB=AB′,
    ∵AE⊥BB′,
    ∴BE=B′E,
    ∵四边形ABCD是矩形,
    ∴∠ABC=∠ABE+∠B′BC=90∘,
    ∵∠BB′C=90∘,
    ∴∠B′BC+∠BCB′=90∘,
    ∴∠ABE=∠BCB′,
    ∵∠AEB=∠BB′C,
    ∴△ABE∽△BCB′,
    ∴ABBC=AEBB′,
    设BE=B′E=x,
    ∴BB′=2x,AE= AB2−BE2= 4−x2,
    ∴23= 4−x22x,
    解得x=65(负值舍去),
    ∴BE=65,
    ∴BB′=2BE=125.
    故答案为:125.
    过点A作AE⊥BB′于点E,由旋转的性质得出AB=AB′,证明△ABE∽△BCB′,得出ABBC=AEBB′,设BE=B′E=x,得出23= 4−x22x,求出x即可得出答案.
    本题考查了相似三角形的判定与性质,旋转的性质,矩形的性质,熟练掌握以上知识是解题的关键.
    19.【答案】解:(1)∵抛物线经过点(0,3),(4,3),
    ∴抛物线的对称轴为直线x=2,
    ∴抛物线的顶点D的坐标为(2,−1),
    设抛物线解析式为y=a(x−2)2−1,
    把(0,3)代入得3=a×(0−2)2−1,
    解得a=1,
    ∴抛物线解析式为y=(x−2)2−1;
    (2)把P(5,t)代入y=(x−2)2−1得t=9−1=8,
    ∴P(5,8),
    ∵A(0,3),
    ∴△PAD的面积=5×9−12×3×9−12×2×4−12×5×5=15.
    【解析】(1)利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=2,则顶点D的坐标为(2,−1),设顶点式y=a(x−2)2−1,然后把(0,3)代入求出a即可;
    (2)先利用抛物线解析式确定P(5,8),A(0,3),然后用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△PAD的面积.
    本题考查了待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.也考查了二次函数的性质.
    20.【答案】解:(1)∵ED//BC,EF//AB,
    ∴ADBD=AEEC,BFFC=AEEC,
    ∴ADBD=BFFC,
    ∵AD=3,DB=9,
    ∴BFFC=39=13;
    (2)∵AD=3,DB=9,
    ∴AB=AD+DB=12,
    ∵DE//BF,
    ∴△ADE∽△ABC,
    ∴ADAB=312=14,S△ADES△ABC=(ADAB)2,
    ∴S△ADE=116S△ABC,
    ∵△ABC的面积是16,
    ∴S△ADE=1,
    ∵EF//AB,
    ∴△EFC∽△ABC,
    ∴S△EFCS△ABC=(FCBC)2=(31+3)2=916,
    ∴△EFC的面积=916×16=9,
    ∴四边形BFED的面积=S△ABC−S△EFC−S△ADE=16−9−1=6.
    【解析】(1)根据平行线分线段成比例定理求解即可;
    (2)根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得△ADE的面积是1,同理可得△EFC的面积是9,根据四边形BFED的面积=S△ABC−S△EFC−S△ADE可得答案.
    本题主要考查了相似三角形的性质和判定,掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题关键.
    21.【答案】解:(1)∵AD⊥BC,
    ∴sin∠ABC=ADBA=45,
    ∵AB=15,
    ∴AD=12,
    ∴BD= AB2−AD2=9,
    ∴CD=BC−BD=14−9=5,
    ∴AC= AD2+CD2=13;
    (2)过E作EH⊥CD于H,
    ∵AD⊥BC,
    ∴EH//AD,
    ∴AE:EC=DH:HC,
    ∵E是边AC的中点,
    ∴AE=EC,
    ∴DH=CH=12CD=52,
    ∴EH是△ADC的中位线,
    ∴EH=12AD=6,
    ∵BH=BD+DH=232,
    ∴ct∠EBC=BHEH=2312.
    【解析】(1)由锐角的正弦求出AD长,由勾股定理求出BD长,得到CD长,由勾股定理即可求出AC长.
    (2)过E作EH⊥CD,由平行线分线段比例定理,推出DH=CH=12CD=52,得到EH是△ADC的中位线,因此EH=12AD=6,求出BH=BD+DH=232,即可求出ct∠EBC=BHEH=2312.
    本题考查解直角三角形,三角形中位线定理,平行线分线段成比例,勾股定理,关键是由锐角的正弦求出AD长,证明EH是△ADC的中位线.
    22.【答案】解:过点A作AD⊥BC,垂足为D,
    由题意得:AC=200米,∠BAC=90∘+15∘=105∘,∠C=30∘,
    ∴∠ABD=180∘−∠BAC−∠C=45∘,
    在Rt△ACD中,∠C=30∘,
    ∴AD=12AC=100(米),
    在Rt△ABD中,AB=ADsin45∘=100 22=100 2≈141(米),
    ∴A、B之间的距离约为141米.
    【解析】过点A作AD⊥BC,垂足为D,根据题意可得:AC=200米,∠BAC=105∘,∠C=30∘,从而利用三角形内角和定理可得∠ABD=45∘,然后在Rt△ACD中,利用含30度角的直角三角形的性质可得AD=100米,再在Rt△ABD中,利用锐角三角函数的定义进行计算,即可解答.
    本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.
    23.【答案】证明:(1)∵∠BDC=∠DEC,∠BDC=∠A+∠ACD,∠DEC=∠A+ADE,
    ∴∠ADE=∠ACD,
    ∵∠A=∠A,
    ∴△ADE∽△ACD;
    (2)∵DE//BC,
    ∴∠EDC=∠BCD,
    ∵∠BDC=∠DEC,
    ∴△DEC∽△BDC,
    ∴CDBC=DECD,
    ∴CD2=DE⋅BC.
    ∴CD2BC2=DEBC.
    ∵DE//BC,
    ∴△ADE∽△ABC,
    ∴DEBC=AEAC,
    ∴CD2BC2=AEAC.
    【解析】(1)利用三角形的内角和定理的推论和相似三角形的判定定理解答即可;
    (2)利用三角形的内角和定理的推论和相似三角形的判定定理得到△DEC∽△BDC,利用相似三角形的性质得到CD2=DE⋅BC,再证明△ADE∽△ABC,利用相似三角形的性质和等量代换的性质解答即可.
    本题主要考查了平行线的性质,相似三角形的判定与性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
    24.【答案】解:(1)把O(0,0),A(1,3a)代入y=ax2+bx+c,解得b=2a,c=0,
    得抛物线的解析式为y=ax2+2ax,
    则抛物线的对称轴为直线x=−1;
    (2)把y=0代入y=ax2+2ax,解得x=−2,x=0(点O的横坐标,舍去),
    ∴点D的坐标为(−2,0),
    过点A作AF⊥x轴,垂足为F,
    ∵D(−2,0),A(1,3a),
    ∴DF=3,AF=3a,
    ∵∠ADC的正切值为2,
    ∴AFDF=2,即3a3=2,
    解得a=2;
    (3)由条件可得如下图象,过点E作EG垂直于PA的延长线,垂足为G,
    ∵PA//x轴,点A的坐标为(1,3a),
    ∴点P的坐标为(0,3a),
    由新抛物线是原抛物线平移得到,且顶点B(−1,−a)的对应点是点P,
    即原抛物线向左平移1个单位长度,向上平移4a个单位长度得到新抛物线,
    设新抛物线的解析式为y=ax2+3a,
    由点A的坐标为(1,3a),得点E的坐标为(2,7a)
    ∴PG=2,EG=4a,
    ∵∠EPA=∠CBO,∠EGP=∠OCB=90∘,
    ∴△BCO∽△PGE,
    ∴CBPG=OCGE,
    ∴a2=14a,解得a=± 22,
    ∵a>0,
    ∴a= 22,
    ∴新抛物线的解析式为y= 22x2+3 22.
    【解析】(1)把O(0,0),A(1,3a)代入y=ax2+bx+c,求出a和b的数量关系,即可求出抛物线对称轴;
    (2)把y=0代入y=ax2+2ax求出点D的坐标,过点A作AF⊥x轴,垂足为F,在直角三角形ADF中求出DF和AF的长,根据∠ADC的正切值为2列方程求出a;
    (3)根据条件画出图象,过点E作EG垂直于PA的延长线,垂足为G,通过原抛物线上的点A、B分别对应新抛物线上的点E、P得到原抛物线向左平移1个单位长度,向上平移4a个单位长度得到新抛物线,再证明△BCO∽△PGE,通过对应线段成比例列方程求出a的值,进而得到新抛物线的解析式.
    本题考查了待定系数法求函数解析式,求二次函数对称轴,锐角三角函数,二次函数的平移,相似三角形的性质和判定等知识点.
    25.【答案】(1)①证明:如图1,∵CD2=CF⋅CB,
    ∴CDCB=CFCD,
    ∵∠FCD=∠DCB,
    ∴△FCD∽△DCB,
    ∴∠CDF=∠CBD,
    ∵AC=BC,
    ∴∠A=∠ABC,
    ∴∠A+∠CDF=∠ABC+∠CBD,
    ∵∠DEB=∠A+∠CDF,∠DBE=∠ABC+∠CBD,
    ∴∠DEB=∠DBE,
    ∴DE=BD.
    ②解:如图1,∵CE//BD,CE=2,
    ∴∠FCE=∠CBD,
    ∵∠CDE=∠CBD,
    ∴∠FCE=∠CDE,
    ∵∠CEF=∠DEC,
    ∴△FCE∽△CDE,
    ∴CEDE=EFCE,
    ∴EF⋅DE=CE2=22=4,
    ∵△CEF∽△BDF,
    ∴EFDF=CEBD=CEDE,
    ∴EF⋅DE=2DF,
    ∴2DF=4,
    ∴DF=2,
    ∴EF(EF+2)=4,
    解得EF= 5−1或EF=− 5−1(不符合题意,舍去),
    ∴EF的长是 5−1.
    (2)解:如图2,点D在AC的延长线上,
    联结CE,作EG//BD交BC的延长线于点G,则∠G=∠DBF,
    ∴∠G=∠ADE,
    ∵DF:DE=1:2,
    ∴DF=EF=12DE,
    在△GEF和△BDF中,
    ∠G=∠DBF∠GFE=∠BFDEF=DF,
    ∴△GEF≌△BDF(AAS),
    ∴GE=BD,
    ∴GE=DE,
    ∵∠DEB=∠DBE=∠GEA,
    ∴∠DEB+∠GED=∠GEA+∠GED,
    ∴∠BEG=∠AED,
    在△BEG和△AED中,
    ∠G=∠ADEGE=DE∠BEG=∠AED,
    ∴△BEG≌△AED(ASA),
    ∴BE=AE,
    ∴AEEB=1;
    如图3,点D在线段AC上,
    ∵∠CDF>∠A,
    ∴∠CDF>∠ABC,
    ∵∠ABC>∠BFE,∠BFE=∠DFC,
    ∴∠ABC>∠DFC,
    ∴∠CDF>∠DFC,
    ∵∠DFC>∠CBD,
    ∴∠CDF>∠CBD,
    ∴△FCD与△DCB不相似,
    ∴不存在CD2=CF⋅CB的情况,
    综上所述,AE:EB的值为1.
    【解析】(1)①由CD2=CF⋅CB,得CDCB=CFCD,因为∠FCD=∠DCB,所以△FCD∽△DCB,得∠CDF=∠CBD,由AC=BC,得∠A=∠ABC,所以∠A+∠CDF=∠ABC+∠CBD,则∠DEB=∠DBE,即可证明DE=BD;
    ②由CE//BD,得∠FCE=∠CBD,则∠FCE=∠CDE,可证明△FCE∽△CDE,得CEDE=EFCE,所以EF⋅DE=CE2=4,而△CEF∽△BDF,得EFDF=CEBD=CEDE,所以EF⋅DE=2DF,则2DF=4,求得DF=2,于是得EF(EF+2)=4,求得EF= 5−1;
    (2)分两种情况讲座,一是当点D在AC的延长线上,联结CE,作EG//BD交BC的延长线于点G,可证明△GEF≌△BDF,得GE=BD=DE,再证明△BEG≌△AED,得BE=AE,则AEEB=1;二是当点D在线段AC上,可证明△FCD与△DCB不相似,则不存在CD2=CF⋅CB的情况.
    此题重点考查相似三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识,证明△FCD∽△DCB是解题的关键.x

    0
    1
    2
    3
    4

    y

    3
    0
    −1

    3

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