精品解析：福建省泉州市实验中学2023-2024学年高一上学期1月考试数学试题

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一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40 分.在每小题四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由补集的定义运算即可得.
【详解】由，，则.
故选：C.
2. 若，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】用立方差公式，按照充要条件的定义推理即可.
【详解】依题意有，
故，，
于是即，充分性获证，
取，则，但，故无必要性，
故选：A.
3. 若关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】含参解一元二次不等式，分类讨论的范围确定整数解即可.
【详解】由，得，
当时，不等式的解集为，不符合题意，舍去；
当时，不等式解集为，此时若有个整数解，
此时，解集中的三个整数分别为、、，则需；
当时，不等式的解集为，此时若有个整数解，
此时，解集中的三个整数分别为、、，则需
综上：所以或，
故选：A．
4. 如果，，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】举反例判断AC，根据不等式的性质即可判断BD.
【详解】当时，，故A错误；
因为，所以，所以，故B错误；
当时，，由得不到，故C错误；
因为，所以，故D正确.
故选：D.
5. 已知，则（ ）
A. 5B. 11C. 18D. 21
【答案】B
【解析】
【分析】用换元法求出的表达式即可得结果.
【详解】令，则，
所以，
即，所以，
故选：B.
6. 若函数是在R上的奇函数，则下列结论不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】ABC选项，根据函数的奇偶性得到和，故ABC正确，D选项，可能无意义，D错误.
【详解】A选项，因为是在R上的奇函数，所以，且，AB正确；
C选项，因为，所以，当时，等号成立，C正确；
D选项，当时，，此时无意义，D错误.
故选：D
7. 设，，，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的单调性，借助中间值比较大小.
【详解】因为函数在单调递增，且，所以，即，
因为函数在单调递减，且，所以，即，
因为函数在单调递增，且，所以，即，
所以，
故选：C
8. 在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】结合任意角的概念分析即可.
【详解】因为锐角，所以小于的角不一定是锐角，故①不成立；
因为钝角，第二象限角，，所以钝角一定是第二象限角，故②成立；
若两个角的终边不重合，则这两个角一定不相等，故③成立；
例如，，但，故④不成立.
故选：B.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中 ，有多项是符合题目要求的.正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分）
9. 下列不等关系成立的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据不等性质分别判断各选项.
【详解】A选项：，当时，，A选项错误；
B选项：，即，又，即，所以，B选项正确；
C选项：，即，又，即，所以，所以，C选项正确；
D选项：，即，又，即，所以，无法判断与是否异号，D选项错误；
故选：BC.
10. 已知函数的定义域为，且满足以下三个条件：①；②；③，则下列说法正确的有（ ）
A. 的图象关于直线轴对称
B. 的图象关于点中心对称
C.
D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由题意可得函数的奇偶性与对称性，借助赋值法推导出其周期性与其它性质，运用所得性质及计算其它值即可得.
【详解】，为奇函数，
又，的对称轴为；
A选项：，，
，
的图象关于直线轴对称，故A正确；
C选项：，，
，，故C正确；
B选项：，，
的图象关于点中心对称，故B正确；
D选项：，，，，
，
故D错误.
故选：ABC.
11. 给出下列结论，其中不正确的是（ ）
A. 函数的最大值为.
B. 已知函数且在上单调递减，则实数的取值范围是
C. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称
D. 已知定义在上的奇函数在内有1011个零点，则函数的零点个数为2023
【答案】AB
【解析】
【分析】选项A，换元法求值域；选项B，由复合函数单调性可知；选项C，两函数互为反函数，则图象关于直线对称；选项D，由奇函数定义可得，再由对称性可得在内的零点个数.
【详解】A选项，函数中，
若令，即有，故A错误；
B选项，函数且在上单调递减，
由单调递减，由复合函数单调性知，故B错误；
选项，函数与互为反函数，
所以图象关于直线对称，故C正确；
选项，定义在上的奇函数在内有1011个零点，
由函数的对称性可知在内有1011个零点，
且，所以是函数的个零点，
即函数的零点个数为2023，故D正确.
故选：AB.
12. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在值域为
D. 将函数的图象向右平移个单位，所得函数为
【答案】ACD
【解析】
【分析】先由图象信息求出表达式，从而根据对称性即可判断AB；根据单调性结合值域即可判断C；按平移函数图象，求出新的函数解析式，对比即可判断D.
【详解】由图可知，又，
所以，所以，
又函数图象最低点为，
所以，即，
所以，解得，
由题意，所以只能，所以
由A选项分析可知，但，从而函数的图象关于直线对称，故A选项正确；
但，从而函数的图象不关于对称，故B选项错误；
当时，，
而函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在的值域为，故C选项正确；
若将函数的图象向右平移个单位，
则得到的新的函数解析式为，故D选项正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 集合,，则_________
【答案】1或0
【解析】
【分析】注意讨论集合是否为空集即可.
【详解】,
,或，
故或.
故答案为：1或0
14. 设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可设，结合的奇偶性判断的奇偶性，再结合题设判断的单调情况，进而结合不等式，讨论x的正负，结合的单调情况，分类求解，即可得答案.
【详解】设，
而是定义在上的奇函数，即，
故，即为偶函数；
对任意的，不妨设，则
，
又对任意的满足，
当时，，则，即，
而，故，
则在上单调递减，
又偶函数，故在上单调递增，
，故，则，
而不等式，即为不等式或，
即或，
故或，
即不等式的解集为，
故答案为：
【点睛】方法点睛：诸如此类抽象函数的问题，解答时要结合题设构造出函数，由此判断出其奇偶性和单调性，再结合所求解不等式同构为所构造函数的函数值大小比较形式，结合单调性以及奇偶性，即可求解.
15. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且当时，，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】先根据函数的奇偶性得到的一个周期为4，再结合题意求得，，，，进而求解即可．
【详解】由为奇函数，则，
又为偶函数，则 ，用替换，则，
所以，用替换，则，
所以，即的一个周期为4，
又当时，，
则，，
所以，，
所以，
故．
故答案为：1．
【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性，考查考生的逻辑思维能力和运算求解能力．
16. 若函数一段图象如图所示，则______．

【答案】
【解析】
【分析】根据函数图象先确定A的值，继而确定周期，求出，由代入函数解析式求出，即可得答案.
【详解】由函数的图象可知；
函数的最小正周期,
故；
将代入中，即，
由于，故，
故，
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知全集为R，集合，．
（1）求；
（2）若，且“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用交集的定义求解．
（2）利用必要不充分条件的定义列出不等式组即可求解．
【小问1详解】
∵，又，
∴．
【小问2详解】
∵是必要不充分条件，
∴，
∴（等号不同时成立），解得，
∴a的取值范围为．
18. 已知一次函数过定点．
（1）若，求不等式解集．
（2）已知不等式的解集是，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出，然后代入解不等式即可.
（2）由的解集是，得的解集是，根据韦达定理，求得，再根据基本不等式求最值即得.
【小问1详解】
设一次函数，因为过定点，
所以，所以，
因为，即，所以，
所求不等式为，可得，即，
将其转化为不等式组得，解得或，
原不等式的解集为.
【小问2详解】
由（1）知，
又不等式的解集是，
所以的解集是，
由题意得，，，且，所以且，
即，所以，
因为，，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为.
19. 已知函数（其中），且.
（1）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（2）解不等式：.
【答案】（1）函数在上单调递增，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用已知条件求出，根据定义法求解单调性即可；
（2）根据题意研究函数奇偶性，根据奇函数性质转化不等式，再结合单调性解不等式即可.
【小问1详解】
函数在上单调递增，证明如下：
因为，所以，所以，
任取，且，
则，
因为，且，所以，
所以，所以在上单调递增；
【小问2详解】
定义域关于原点对称，
且，所以函数为奇函数，
所以不等式，即，
又因为在上单调递增，，，
所以，即，则，则，
所以或，即不等式的解集为.
20. 已知函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由奇函数在上有定义知，即可求的值；
（2）判断函数的单调性，结合奇函数可得，再求出二次函数最小值即得.
【小问1详解】
函数的定义域为，由是奇函数，得，解得，即，
当时，，即函数是奇函数，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，而函数在上单调递增，因此在上单调递减，
不等式化为，
由是奇函数，得，因此不等式化为，
于是，即，
依题设，对任意的，不等式恒成立，
显然当时，取得最小值1，从而，
所以实数的取值范围是.
21. 已知函数，且.
（1）当时，在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）若，且在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）由奇偶性、单调性定义判断为奇函数且单调递增，再由奇函数、单调性及恒成立有恒成立，进而求参数范围；
（2）由题设得，令，则，应用指数幂运算性质有，进而将问题化为在上无零点求参数范围.
【小问1详解】
由且定义域为R，即为奇函数，
由，结合指数函数及复合函数单调性知：在定义域上单调递增，
所以，
则，即恒成立，
故，可得.
【小问2详解】
由且，可得，即，
令且，则，
而，即，
所以，
所以，
问题化为在上恰有一个零点，
即在上无零点，故，
由，则，只需或，
【点睛】关键点点睛：第二问，令，运用指数幂运算得到，并将问题化为在上无零点.
22. 某地2023年7月30日、31日的温度y（单位：摄氏度）随时间x（单位：小时）的变化近似满足如下函数关系：，其中．从气象台得知：该地在30日的最高气温出现在下午14时，最高气温为32摄氏度，最低气温出现在凌晨2时，最低气温为16摄氏度．
（1）求函数的解析式，并判断是否为周期函数；
（2）该地某商场规定：在环境温度大于或等于28摄氏度时，需要开启空调降温，否则关闭空调，问2023年7月30日、31日这两天需开启空调共多少小时？
【答案】（1），；不是周期函数
（2）16小时
【解析】
【分析】（1）先求A，再求b，再由周期公式求，最后代入点的坐标求即可得解析式，根据定义域也能判断是否为周期函数；
（2）利用正弦型函数的性质解不等式即可.
【小问1详解】
由题意，，，得，
，得，
将代入得，即，
所以，得，，又，得，
所以，；
因为定义域是，所以不是周期函数．
【小问2详解】
由题意，，得，，
解得，，
又，所以，
所以两天共需开启空调16小时．