精品解析：河南省重点高中2022-2023学年高一下学期阶段性测试（开学考）数学试题

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数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式求得，由此求得.
【详解】，
，所以，所以，
所以.
故选：B
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】取特值并根据充分条件和必要条件的定义可得答案.
【详解】当时，不能推出，
当时，不能推出，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
3. 已知是第二象限角，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据的象限推出的象限，再根据平方关系式可求出结果.
【详解】因为是第二象限角，所以是第一象限角，
又因为，所以.
故选：B
4. 若，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】将转化为，化简，再利用基本不等式求解即可.
【详解】由，所以，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为3.
故选：C.
5. 方程的解所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过构造函数法，结合函数单调性以及零点存在性定理求得正确答案.
【详解】由得，
设，则在上单调递增，
，
所以的唯一零点在区间，
即方程的解所在的区间为.
故选：B
6. 著名画家达·芬奇画完他的《抱银貂的女子》后，看着画中女人脖子上悬挂的黑色珍珠项链，开始思考这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，最终的答案是这条曲线的方程是双曲余弦函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，写出函数解析式，由奇偶性和单调性，解不等式即可.
【详解】由题意，，增函数，
由，
则函数为奇函数，
由，即，
所以，解得，
所以的取值范围为.
故选：A.
7. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数的知识求得正确答案.
【详解】，，即.
，
所以.
故选：A
8. 已知函数（，）为奇函数，且在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由为奇函数，可得，，由函数在上单调递减，结合正弦函数的图象与性质，列出不等式组求解即可.
【详解】解: 因为为奇函数，，所以，
所以.
令，，，
则，
因为在上单调递减，
所以，解得.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点对称
D. 在上单调递增
【答案】BC
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简，再根据正弦函数的图象和性质判断即可.
【详解】由题意，
所以的最小正周期，A错误；
当时，所以的图象关于直线对称，B正确；
当时，所以的图象关于点对称，C正确；
当时，，所以在上不具有单调性，D错误；
故选：BC
10. 已知函数，则（ ）
A. 的定义域为B. 的图象关于轴对称
C. 的值域为D. 是减函数
【答案】AC
【解析】
【分析】由，解出不等式解集即为的定义域，即可判断A；根据函数奇偶性的定义即可判断B；化简函数为，进而判断D；求出的值域，进而判断C.
【详解】由，即，解得，
所以函数的定义域为，故A正确；
又，
所以函数为奇函数，故B错误；
又，
因为函数在上为增函数，
所以函数在上增函数，故D错误；
又，所以，即，
所以，即，
所以，
故函数值域为，故C正确.
故选：AC.
11. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用三角恒等变换逐项判断即可.
【详解】，A正确；
，B正确；
，C错误；
由，
可得
，D正确；
故选：ABD
12. 已知函数有两个零点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】在坐标系作和的图象，则函数即和图象的交点，根据图象求解即可.
【详解】在坐标系作和的图象如图所示，
则和图象的交点即为函数的零点，
由图象可得，
所以 ，A错误；
，B正确；
，C正确；
因为，，且，
所以，
所以，D错误；
故选：BC
三、填空题：本题共4小题.
13. 命题：“，”的否定为______.
【答案】，
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题：“，”的否定为，.
故答案为：，.
14. 已知是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则在上的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据求得，结合函数的单调性、奇偶性求得正确答案.
【详解】依题意，是定义在上的奇函数，
所以，
即当时，，单调递增，
所以在区间上的最小值为，
所以在区间上的最大值为.
故答案为：
15. 已知为锐角，，，则__________
【答案】
【解析】
【分析】由，都是锐角，得出的范围，由和的值，利用同角三角函数的基本关系分别求出和的值，然后把所求式子的角变为，利用两角和与差的余弦函数公式化简计算，即得结果．
【详解】，都是锐角，，
又，，，，
则．
故答案为：.
16. 已知函数，若有三个零点，则______.
【答案】
【解析】
【分析】先计算出的零点，再根据零点的个数求得的值.
【详解】依题意，的开口向下，对称轴为，，
由解得，，
由于有三个零点，
所以，解得（负根舍去）.
故答案为：
四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知函数的最小值为，方程有两个实根和6.
（1）求函数的解析式；
（2）求关于的不等式的解集.
【答案】（1）
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）由题知，，，进而解方程即可得答案；
（2）由题知，再分，，三种情况讨论求解.
【小问1详解】
解：因为方程有两个实根和，
所以，方程有两个实根和，
所以，①，②
因为函数的最小值为，
所以③，
所以，由①②得，代入③解得，
所以，，，
所以，；
【小问2详解】
解：因为，即为
所以，，即，
所以，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
18. 已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为.
（1）当时，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分别求出集合，,先求出集合的补集，再求出与集合的并集即可；
（2）由已知条件可知，即⫋,由此列出不等式即可求解.
【小问1详解】
∵的定义域为，即解得，
∴函数的定义域，∴；
又∵当时，的解集为，
∴；
【小问2详解】
∵ 是的充分不必要条件，∴,∴⫋,
又∵的解集为，
∴且等号不同时成立，解得，
∴实数的取值范围.
19. 已知函数.
（1）若当时，函数有意义，求实数的取值范围.
（2）是否存在实数，使得函数在上为增函数，并且在此区间的最小值为？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）由且，则为减函数，可得，要使有意义，则时，恒成立，进而求解即可；
（2）由复合函数单调性可得，又最小值为，可得，进而求解即可.
【小问1详解】
因为且，设，则为减函数，
所以当时，，
要使有意义，则时，恒成立．
所以．所以．
又且，所以且，
所以的取值范围为；
【小问2详解】
由（1）知，且，为减函数，
要使函数在上为增函数，
根据复合函数的单调性可知，，且
则，解得，
所以存在使得函数在上为增函数，并且在此区间的最小值为.
20. 已知函数.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若当时，关于不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简的解析式，利用整体代入法求得的单调递减区间.
（2）求得在区间上的最大值，由此求得的取值范围.
【小问1详解】
.
由
解得，
所以函数的单调递减区间为
【小问2详解】
由（1）得，
若，则，
所以当时，
取得最大值为，
所以.
21. 已知函数.
（1）求函数的值域.
（2）求不等式的解集.
（3）当为何值时，关于的方程在内的实根最多？最多有几个？（直接给出答案即可，无需说明理由）
【答案】（1）；
（2）；
（3）,5.
【解析】
【分析】（1）原式等价变形得到一个关于的二次函数，配方并结合的范围，即可得到本题答案；
（2）逐步化简，结合图像的函数与性质，即可解得不等式；
（3）结合在的图像以及函数，即可得到本题答案.
【小问1详解】
因为，
所以当时，，当时，，
所以函数的值域为.
【小问2详解】
因为，所以，则 ，
所以，得的解集为.
【小问3详解】
当时，方程在内的实根最多，最多有5个.
22. 已知函数.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若存在正实数且，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围.
【答案】（1）函数为偶函数，理由见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据奇偶性的定义判断即可；
（2）由题知函数在上单调递增，进而得有两个不相等的正实数根，再令，进而得两个均大于且不相等的正实数根，最后根据二次函数根的分布求解即可.
【小问1详解】
解：函数为偶函数，理由如下：
由题知函数的定义域为，
因为，
所以函数为偶函数.
【小问2详解】
解：因为，，
所以，当时，，
设，则，
所以，
所以，即，
所以，函数在上单调递增，
因为在正实数且，使得在区间上的值域为，
所以，即方程有两个不相等的正实数根，
所以，方程有两个不相等的正实数根，
令，
所以，方程有两个均大于且不相等的正实数根，
所以，两个均大于且不相等的正实数根，
令，
所以，两个均大于且不相等的零点，
所以，，即，解得，
所以，实数的取值范围是