精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市2023-2024学年高一上学期期末教学质量检测数学试卷

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注意事项：
1.考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1 设全集 ，集合，，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用集合的交集和补集运算进行求解即可.
【详解】，，
.
故选：B
2. 设命题：，则的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意直接写出命题的否定即可.
【详解】命题：，
命题的否定：.
故选：C.
3. 已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为0.9，0.8，且两人罚球是否命中相互独立．若甲、乙各罚球一次，则两人都命中的概率为（ ）
A. 0.08B. 0.18C. 0.25D. 0.72
【答案】D
【解析】
【分析】根据独立事件乘法公式求解
【详解】由题意，根据独立事件乘法两人都命中的概率为
故选：D
4. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可证明函数为奇函数，再利用特殊点的值即可逐项判断求解.
【详解】由题意得设，函数的定义域为，
，所以函数为奇函数.
对C、D：由图象可知函数为偶函数，因为函数为奇函数，故C、D错误；
对A、B：由图象可知函数为奇函数，令，得，故A错误，故B正确.
故选：B.
5. 设 ，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质，其中充分性中，等价于，得到后两边同乘即可；必要性中，取特殊值，按照必要性的定义进行判断即可.
【详解】充分性：由，可得，则，
即，两边同乘，可得，不满足充分性；
必要性：取特殊值，满足，但不满足，也不满足必要性；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件；
故选：D.
6. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数 定义域和值域相同的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案.
【详解】函数 的定义域为，值域为.
对于A，的定义域为，值域为，故A正确；
对于B，的定义域为，定义域不相同，故B错误；’
对于C，为常函数，定义域为，值域为，值域不相同，故C错误；
对于D，的定义域为，定义域不相同，故D错误.
故选：A.
7. 某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除. 现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中 为的初始质量）. 则当的质量衰减为最初的 时，所经过的时间约为（ ）（参考数据：，）
A. 300年B. 255年
C. 175年D. 125年
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意列出等式，结合对数的运算法则求解即可.
【详解】经过的时间为年，根据题意，
所以，
所以.
故选：.
8. 已知函 是 上的增函数，，点 在其图象上，那么的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题可得，原不等式等价于，根据函数的单调性可求得结果.
【详解】且，
，
原不等式等价于，又是上的增函数，
，解得.
所以不等式的解集为.
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9. 已知，都是正数，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. 若，则D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式，“一正二定三相等”求解即可.
【详解】，都是正数，
对于A，，，，
当且仅当，即时等号成立，故A正确；
对于B，，当且仅当，即时等号成立，
，故B错误；
对于C，，，当且仅当时等号成立，故C正确；
对于D，，，当且仅当时等号成立，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知一组样本数据，，，…，，将这组样本数据中的每一个数加2，得到一组新样本数据，，，…，，则（ ）
A. 两组样本数据的中位数相同B. 两组样本数据的极差相同
C. 两组样本数据的标准差相同D. 两组样本数据的平均数相同
【答案】BC
【解析】
【分析】根据中位数、极差、平均数、方差的性质判断即可；
【详解】解：
对于A，设原样本数据的中位数为，则新样本数据的中位数为，故A错误；
对于B，不妨设原样本数据最大为，最小为，则原样本数据中，样本数据的极差为，
新样本数据中，样本数据的极差为，故B正确．
对于D，原样本数据的样本平均数为，
新样本数据的样本平均数为，故D错误；
对于C，原样本数据的标准差为：，
新样本数据的标准差为：，故C正确；
故选：BC．
11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数 的结论中，正确的是（ ）
A. 函数 为偶函数
B. 函数 的值域是
C. 对于任意的 ，都有
D. 在 图象上不存在不同的三个点 ，使得 为等边三角形
【答案】AC
【解析】
【分析】选项A中注意“若，则；，则”即可；选项B中注意；选项C中，内层函数或，函数值都是有理数；选项D取特殊情况判断即可.
【详解】由于，
对于选项A，设任意，则，；
设任意，则，；
总之，对于任意实数，恒成立，A正确；
对于选项B，的值域为，，B错误；
对于选项C，当，则，；
当，则，；C正确；
对于选项D，取，得到为等边三角形，D错误；
故选：AC.
【点睛】本题主要考查了函数新定义问题和函数的基本性质，还考查了理解辨析的能力，解题的关键是将文化情景转化为数学模型即可，属于中档题.
12. 某池塘里浮萍的面积 （单位：） 为时间 （单位：月）的指数函数，即 ，且有关数据如图所示. 则下列说法错误的是（ ）
A. 浮萍面积的月增长率为1B. 浮萍面积的月增加量都相等
C. 第4个月，浮萍面积为D.
【答案】BC
【解析】
【分析】先求出指数函数的表达式，然后依次计算各个选项即可.
【详解】将点代入，得到，
该指数函数的表达式为.
对于A，浮萍面积的月增长率为，故A正确；
对于B，浮萍面积的月增加量为，是一个随变化的函数，所以浮萍面积的月增加量不相等，故B错误；
对于C，当时，，所以第4个月，浮萍面积为，故C错误；
对于D，，，所以，故D正确.
故选：BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 一个袋子中有2个红球，2个白球，若从中随机一次性取出2个球，则取出的2个球都是白球的概率为___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用古典概型的概率求解.
【详解】解：2个红球记为AB，2个白球记为ab，
从中随机一次性取出2个球有AB，Aa，Ab, Ba，Bb，ab共6种取法，
则取出的2个球都是白球的有ab，1种取法，
所以取出的2个球都是白球的概率为，
故答案为：
14. 已知图象连续不断的函数 在区间 上有唯一零点，如果用二分法求这个零点（精确度为 ）的近似值，那么将区间等分的次数至少是_________________.
【答案】
【解析】
【分析】根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系满足（精确度）确定即可.
【详解】设需要计算次，则满足，
即，由于，，
所以将区间等分的次数至少是次.
故答案为：.
15. 函数 （，且 ）的图象恒过定点 ，且点 在幂函数 的图象上，则_________________.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数函数过定点的特点结合平移变换得到点，再设出幂函数 的解析式，将点代入，解出幂函数解析式，再将4代入求得结果.
【详解】由已知得点的坐标为，设幂函数 ，
将点代入得，解得，所以，
所以.
故答案为：
16. 已知函数，若函数 有三个零点，则实数 的取值范围是_________________.
【答案】
【解析】
【分析】由解析式画出函数草图，将问题化为与有三个交点，数形结合求参数范围.
【详解】由函数解析式可得图象如下，
若函数有三个零点，即方程有三个根，即函数与有三个交点，
由图象得，解得或.
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 2023年秋末冬初，呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：
（1）若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩低于50分的人数；
（2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数；
（3）首轮竞赛成绩位列前的学生入围第二轮的复赛，请根据图中信息，估计入围复赛的成绩（记为）.
【答案】17. 人
18.
19.
【解析】
【分析】（1）利用分层抽样的定义求解即可；
（2）利用平均数公式求解即可；
（3）根据题意设入围复赛的成绩的临界值为，则，求出的值即可.
【小问1详解】
成绩在的人数为（人），
成绩在的人数为（人），
则按分层抽样方法从成绩低于60分的同学中抽取5人，
成绩低于50分的人数为（人）.
故5人中成绩低于50分的人数为2人；
【小问2详解】
由，得，
则平均数，
故该校学生首轮竞赛成绩的平均数约为分；
【小问3详解】
根据频率分布直方图可知：
的频率为，的频率为，
所以入围复赛的成绩一定在，
可知入围复赛的成绩的临界值为，
则，解得，
故估计入围复赛的成绩为分.
18. （1）若关于的不等式对都成立，求的取值范围；
（2）已知二次不等式的解集为，且，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由条件分和两种情况讨论即可；
（2）由题意利用韦达定理得到和，再利用即可求出的值.
【详解】（1）当时，，符合题意；
当时，要使对都成立，
则，解得，
.
故的取值范围为；
（2）二次不等式的解集为，
且 ，为一元二次方程的两根，
由韦达定理得，，
，.
故的值为.
19. 已知函数（，且）.
（1）求函数的定义域，判断函数的奇偶性并予以证明；
（2）当时，求使的取值范围.
【答案】（1）定义域为；为奇函数，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对数的真数大于可求出定义域，根据奇偶性的定义可判断奇偶性；
（2）根据对数函数的单调性求解即可.
【小问1详解】
要使函数有意义，则有，解得，
所以函数的定义域为.
，，
，
函数是奇函数；
【小问2详解】
函数的定义域为，
要使，即，
，，解得，
当时，使的取值范围为.
20. 为了预防流感病毒，某中学对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量（单位：毫克）随时间（单位：）的变化情况如图所示，在药物释放过程中，与成正比，药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，与之间的函数关系；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低至毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室（精确到）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知图象过的点的坐标，即可直接求出相应解析式；
（2）令，即可得出结果.
【小问1详解】
由题知，药物释放过程中，设，
将代入解析式可得，，解得，
以及，解得，
所以从药物释放开始，.
【小问2详解】
由（1）知，，
令，则，
所以从药物释放开始，至少需要经过约小时后，学生才能回到教室.
21. 已知函数 .
（1）证明：；
（2）若，不等式恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用完全平方公式得到，从而得证；
（2）先将变形为，令，构造函数，研究其性质即可.
【小问1详解】
由于，左边；
右边；
右边右边，所以等式成立.
【小问2详解】
，，
当且仅当时，即时等号成立，
由第（1）问可知，“不等式恒成立”等价于：“不等式恒成立”，
令，即对任意，恒成立，
构造函数，
当时，函数在区间上单调递增，
函数的最小值为，只需，
此时满足题意；
当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
函数的最小值为，只需，
此时满足题意；
总之，不等式恒成立，实数 的取值范围为.
22. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
（1）求函数图象的对称中心；
（2）根据第（1）问结论，求 的值；
（3）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.
【答案】（1）
（2）
（3）答案见详解
【解析】
【分析】（1）根据函数为奇函数，求出，值；
（2）根据（1）的结论，分组相加即可；
（3）利用类比推理即可得出.
【小问1详解】
设的对称中心为点，，
则为奇函数，即，
，
，即，
，
整理得，，
，解得，即，
函数图象的对称中心为；
【小问2详解】
由（1）知， ，
，
且，
；
【小问3详解】
推广结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.